Математические методы и модели

Задача 1

Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента

Решение:

Построим расчетную таблицу

N	Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед), X	Основная заработная плата (тыс. ден. ед), Y	XY	X2	Y2
1	3,2	6,3	20,16	10,24	39,69	6,35	0,003	10,27
2	0,5	1,1	0,55	0,25	1,21	2,04	0,886	3,98
3	1,2	2,9	3,48	1,44	8,41	3,16	0,067	0,04
4	0,1	2,5	0,25	0,01	6,25	1,40	1,203	0,35
5	0,5	2,3	1,15	0,25	5,29	2,04	0,067	0,63
6	0,6	4,7	2,82	0,36	22,09	2,20	6,244	2,58
7	0,8	2,5	2	0,64	6,25	2,52	0,000	0,35
8	1,3	3,6	4,68	1,69	12,96	3,32	0,079	0,26
9	2,1	5	10,5	4,41	25	4,60	0,164	3,63
10	0,3	0,7	0,21	0,09	0,49	1,72	1,045	5,74
11	3,2	7	22,4	10,24	49	6,35	0,421	15,25
12	0,5	1	0,5	0,25	1	2,04	1,085	4,39
13	1,4	3,1	4,34	1,96	9,61	3,48	0,143	0,00
14	1,8	2,8	5,04	3,24	7,84	4,12	1,733	0,09
15	0,3	1,4	0,42	0,09	1,96	1,72	0,104	2,87
16	0,4	1	0,4	0,16	1	1,88	0,778	4,39
17	2,3	5,1	11,73	5,29	26,01	4,91	0,034	4,02
18	0,1	2,6	0,26	0,01	6,76	1,40	1,433	0,25
18	1,3	3,8	4,94	1,69	14,44	3,32	0,232	0,50
20	1,3	2,5	3,25	1,69	6,25	3,32	0,670	0,35
сумма	23,2	61,9	99,08	44	251,51	61,9	16,391	59,93
среднее		3,095

Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

r

где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин;

N- число наблюдений.

Получим:

Коэффициент корреляции лежит в пределах 0£ / r /£ 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая.

В нашем примере r = 0,852  связь тесная

Вычислим уравнение регрессии:

 - уравнение регрессии

Построим корреляционное поле

Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения

 r =

Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость

Вычислим точность аппроксимации:

где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ;

 - рассчитанное по формуле значение;

- среднее значение;

Вывод:

1.  Между факторами имеется тесная связь.

2.  Связь прямая

3.  Прямолинейная зависимость лучше отображает связь.

Задача 2

2.1 По приведенным ниже данным – матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа.

Состояние факторов внешней среды
	1	2	3	4	5	6
А	100	120	130	130	120	110
Б	110	90	150	120	120	100
В	150	150	100	90	100	90
Г	130	100	110	120	120	110
Д	150	110	110	100	130	150
Е	190	90	100	170	120	90
Ж	100	140	140	140	130	100
З	120	150	130	130	120	90
И	140	120	130	120	150	100

Критерий Лапласа.

Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания.

	Состояние факторов внешней среды							М
Варианты стратегий		1	2	3	4	5	6
	А	100	120	130	130	120	110	118
	Б	110	90	150	120	120	100	115
	В	150	150	100	90	100	90	113
	Г	130	100	110	120	120	110	115
	Д	150	110	110	100	130	150	125
	Е	190	90	100	170	120	90	127
	Ж	100	140	140	140	130	100	125
	З	120	150	130	130	120	90	123
	И	140	120	130	120	150	100	127

Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли.

Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как

	Состояние факторов внешней среды							min
Варианты стратегий		1	2	3	4	5	6
	А	100	120	130	130	120	110	100
	Б	110	90	150	120	120	100	90
	В	150	150	100	90	100	90	90
	Г	130	100	110	120	120	110	100
	Д	150	110	110	100	130	150	100
	Е	190	90	100	170	120	90	90
	Ж	100	140	140	140	130	100	100
	З	120	150	130	130	120	90	90
	И	140	120	130	120	150	100	100

W = 100

Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации.

Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей

,

где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0£ a£1,

Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации

Критерий Сэвиджа

Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si)

; при ,

где rij - показатель риска;

bj - максимально возможный выигрыш;

x ij - выигрыш при выбранной стратегии

На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает "сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы". Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации

	Без риска	С риском	Без риска	С риском	Без риска	С риском	Без риска	С риском	Без риска	С риском	Без риска	С риском	Max rij
	1		2		3		4		5		6
А	100	90	120	30	130	20	130	40	120	30	110	40	90
Б	110	80	90	60	150	0	120	50	120	30	100	50	80
В	150	40	150	0	100	50	90	80	100	50	90	60	80
Г	130	70	100	50	110	40	120	50	120	30	110	40	70
Д	150	40	110	40	110	40	100	70	130	20	150	0	70
Е	190	0	90	60	100	50	170	0	120	30	90	40	60
Ж	100	90	140	10	140	10	140	50	130	20	100	50	90
З	120	70	150	0	130	20	130	40	120	30	90	60	70
И	140	50	120	30	130	20	120	50	150	0	100	50	50
мах	190		150		150		170		150		150

S = 50

Вывод: В соответствие с критерием рекомендуемая стратегия СИ, выбирая её в самом худшем случаи наше сожаление не превысит 50.д.ед.

2.2 При заданном распределении состояний факторов внешней среды определить стандартные статистические показатели (среднюю ожидаемую прибыль, дисперсию, коэффициент вариации прибыли) и обосновать выбор стратегии по индивидуальному отношению к риску.

	0,2	0,4	0,1	0,2	0,05	0,05
	1	2	3	4	5	6
А	100	120	130	130	120	110
Б	110	90	150	120	120	100
В	150	150	100	90	100	90
Г	130	100	110	120	120	110
Д	150	110	110	100	130	150
Е	190	90	100	170	120	90
Ж	100	140	140	140	130	100
З	120	150	130	130	120	90
И	140	120	130	120	150	100

Вычислим среднюю ожидаемую прибыль по формуле:

МА=100*0,2+120*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+110*0,05=118,5

МБ=110*0,2+90*0,4+150*0,1+120*0,2+120*0,05+100*0,05=108

МВ=150*0,2+150*0,4+100*01+90*0,2+100*0,05+90*0,05=127,5

МГ=130*0,2+100*0,4+110*0,1+120*0,2+120*0,05+110*0,05=112,5

МД=150*0,2+110*0,4+110*0,1+100*0,2+100*0,05+150*0,05=119

МЕ=190*0,2+90*0,4+100*0,1+170*0,2+120*0,05+90*0,05=128,5

МЖ=100*0,2+140*0,4+140*0,1+140*0,2+130*0,05+100*0,05=129,5

МЗ=120*0,2+150*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+90*0,05=133,5

МИ=140*0,2+120*0,4+130*0,1+120*0,2+150*0,05+100*0,05=125,5

Вычислим среднее квадратичное (стандартное) отклонение:

где s - стандартное отклонение;

Ax - результат для вероятности Px;

a - среднее ожидаемое значение результата;

Px - вероятность появления этого результата

Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:

,

где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.

	1	2	3	4	5	6	м
А	100	120	130	130	120	110	118,5
Б	110	90	150	120	120	100	108
В	150	150	100	90	100	90	127,5
Г	130	100	110	120	120	110	112,5
Д	150	110	110	100	130	150	119
Е	190	90	100	170	120	90	128,5
Ж	100	140	140	140	130	100	129,5
З	120	150	130	130	120	90	133,5
И	140	120	130	120	150	100	125,5

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Построим таблицу

	1	2	3	4	5	6	м		[М-];[М+]	V%
А	100	120	130	130	120	110	118,5	10,61838	[107,88 ;129,12]	8,95
Б	110	90	150	120	120	100	108	18,60108	[89,40 ;126,60]	17,22
В	150	150	100	90	100	90	127,5	27,72634	[99,77 ;155,23]	21,74
Г	130	100	110	120	120	110	112,5	11,77922	[100,72; 124,28]	10,46
Д	150	110	110	100	130	150	119	18,9473	[100,05 ;137,95]	15,92
Е	190	90	100	170	120	90	128,5	43,04358	[85,46 ;171,54]	33,49
Ж	100	140	140	140	130	100	129,5	17,16828	[112,33 ;146,67]	13,25
З	120	150	130	130	120	90	133,5	15,89811	[117,60 ;149,40]	11,9
И	140	120	130	120	150	100	125,5	11,16915	[114,33 ;136,67]	8,9

Вывод: на мой взгляд самая оптимальная стратегия СЕ, т.к во время кризиса мы потеряем много прибыли, но в тоже время в благоприятных условиях мы приобретем много прибыли.