Оценка параметров генеральной совокупности

2. Оценка параметров генеральной совокупности

 

2.1 Основные формы статистических показателей и виды их оценки

Статистические показатель – обобщающая количественная характеристика части или всей совокупности явлений в конкретных условиях места и времени. В теории несплошного наблюдения показатель выражается в следующих формах:

среднее значение признаков в совокупности;

суммарное значение признака по совокупности;

доля единиц в совокупности, обладающих определенным значением признака;

число единиц в совокупности, обладающих определенным значением признака;

отношения признаков в совокупности.

Для генеральной и выборочной совокупностей соответственно рассчитываются свои статистические показатели.

Среднее значение признака в совокупности находят по формулам:

для генеральной совокупности

,

где N - численность генеральной совокупности, xi – соответствующее значение признака;

для выборочной совокупности

,

где n – численность выборочной совокупности, xi – соответствующее значение признака;

суммарное значение признака в совокупности находят по формулам:

для генеральной совокупности

,

где xi – соответствующее значение признака;

для выборочной совокупности

,

где n – численность выборочной совокупности; xi – соответствующее значение признака;

долю единиц в совокупности, обладающих определенным значением признака находят по формулам:

для генеральной совокупности

,

где A - число единиц, обладающих определенным значением признака, N - численность генеральной совокупности;

для выборочной совокупности

,

где a - число единиц, обладающих определенным значением признака, n – численность выборочной совокупности;

число единиц, обладающих определенным значением признака, находят по формулам:

для генеральной совокупности

,

где P – доля единиц в совокупности, обладающих определенным значением признака, N – численность генеральной совокупности;

для выборочной совокупности

,

 - доля единиц в совокупности, обладающих определенным значением признака, n – численность выборочной совокупности;

отношения признаков в совокупности (отношение двух средних или суммарных значений признаков) находят по формулам:

для генеральной совокупности

,

где  - среднее значение признака  в генеральной совокупности;

для выборочной совокупности

,

где  - среднее значение признака  в выборочной совокупности.

Существует два вида оценок форм статистических показателей: простая и сложная. Сложная оценка - оценка по отношению, по регрессии, по разности, по произведению, по скорректированным весам. Сложные оценки, возможно, производить при наличии дополнительной информации о признаке в генеральной совокупности. Но в большинстве исследований подобной информации нет, поэтому чаще используется простая оценка генеральных параметров.

Оценка - приближенное значение неизвестного параметра генеральной совокупности, полученное на основании результатов выборочного наблюдения.

2.2 Точечная и интервальная оценка генеральных параметров

Оценки являются случайными величинами и бывают двух видов:

точечная - оценка параметра в генеральной совокупности одним числом;

интервальная - предполагает построение числового интервала, относительно которого с заданной вероятностью можно утверждать, что внутри него находится оцениваемый параметр генеральной совокупности. Интервальная оценка предполагает расчет нижней и верхней границы интервала. Между точечной и интервальной оценками существует взаимосвязь, которую можно представить следующим образом:

Верхняя (нижняя) граница интервала = точечная оценка  ошибка доверительного интервала (ошибка репрезентативности).

Ошибка репрезентативности присуще только выборочному наблюдению и возникает в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную совокупность. Она представляет собой расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и значениями показателей этих же величин, которые были бы получены при проведенном с одинаковой степенью точности сплошном наблюдении, т.е. между величинами выборных и соответствующих генеральных показателей. Для каждого конкретного выборочного наблюдения значение ошибки репрезентативности может быть определено по соответствующим формулам, которые зависят от вида, метода и способа формирования выборочной совокупности [№7, стр. 88].

Ошибки репрезентативности бывают двух видов: предельная () и средняя () и соответственно

,

где t - коэффициент доверия, который зависит от уровня вероятности, с которым результаты выборки распределяются на генеральную совокупность; t определяется по таблице вероятностей Лапласа:

при значении t равном 1, вероятность равна 0,682;

при значении t равном 2, вероятность равна 0,954;

при значении t равном 3, вероятность равна 0,997;

при значении t равном 4, вероятность равна 0,999.

При типическом отборе аналитическое выравнивание точечных и интервальных оценок генеральных параметров обусловлено механизмом отбора. При типическом отборе предполагается деление генеральной совокупности на группы и эти группы должны быть однородны с точки зрения вариации значения группировочного признака. Ну а далее из типов отбор осуществляется либо собственно-случайным способом, либо механическим. Собственно-случайный применяется, когда единицы генеральной совокупности располагаются в случайном порядке. Всем единицам генеральной совокупности присваивается порядковый номер, затем осуществляется отбор единиц в выборочную совокупность следующими способами:

по жребию;

по таблице случайных чисел;

через генерацию случайных чисел в MS Excel.

Механический отбор применяется, когда единицы в генеральной совокупности упорядочены. Суть механического отбора состоит в том, что единицам генеральной совокупности присваиваются порядковый номер, затем генеральная совокупность делится на число групп равных численности и из каждой группы берется один представитель.

Рассмотрим точечную и интервальную оценку генеральных параметров при типическом отборе.

Среднее значение признака в совокупности находят по формулам:

точечная оценка

,

где  - выборочная стратифицированная средняя величина, - выборочная средняя величина в i-той страте, ni - численность выборки в i-той страте, n - численность выборки;

интервальная оценка

,

где  - выборочная стратифицированная средняя величина, - предельная ошибка выборочной стратифицированной средней величины;

суммарное значение признака в совокупности  находят по формулам:

точечная оценка

,

где  - выборочная стратифицированная средняя величина, N – численность генеральной совокупности;

интервальная оценка

,

где  - выборочная стратифицированная средняя величина, - предельная ошибка выборочной стратифицированной средней величины, N – численность генеральной совокупности;

долю единиц в совокупности, обладающих определенным значением признака  находят по формулам:

точечная оценка

,

где  - выборочная стратифицированная доля,  - выборочная доля в i-той страте, ni - численность выборки в i-той страте, n - численность выборки;

интервальная оценка

,

где - выборочная стратифицированная доля,  - предельная ошибка выборочной стратифицированной доли;

число единиц, обладающих определенным значением признака, находят по формулам:

точечная оценка

,

где - выборочная стратифицированная доля, N – численность генеральной совокупности;

интервальная оценка

,

где - выборочная стратифицированная доля,  - предельная ошибка выборочной стратифицированной доли, N - численность генеральной совокупности;

отношения признаков в совокупности (отношение двух средних или суммарных значений признаков) находят по формулам:

точечная оценка

;

интервальная оценка

,

где рассчитывается по формуле:

,

где - предельная ошибка отношений двух средних величин.

Интервальное оценивание предполагает расчет предельных, а значит и средних ошибок выборки. Расчет ошибок выборки зависит от:

1) разновидностей типического отбора:

а) непропорциональный численности отдельных типов;

б) пропорциональный численности типов;

в) пропорциональный численности отдельных типов и вариации группировочного признака;

2) метода отбора:

а) повторный;

б) бесповторный.

Рассмотрим расчет средней ошибки репрезентативности при соответствующих разновидностях типического отбора.

Среднюю ошибку выборки при повторном методе находят по формулам:

а) для отбора непропорционального численности типов:

для средней количественного признака

= ,

где N – численность генеральной совокупности, - дисперсия i-той группы, Ni – численность признаков в соответствующем типе, ni – численность выборочной совокупности в i-том типе;

для доли (альтернативного признака)

= ,

где  - выборочная доля в i-той страте, Ni – численность признаков в соответствующем типе, ni – численность выборочной совокупности в i-том типе;

б) для отбора пропорционального численности типов:

для средней количественного признака

= ,

где  - средняя из групповых дисперсий, n – численность выборочной совокупности,

,

где  - среднее квадратическое отклонение в i-той группе, ni – численность выборочной совокупности в i-том типе, n – численность выборочной совокупности;

для доли (альтернативного признака)

=,

где  - доля единиц в совокупности, n – численность выборки;

в) для отбора пропорционального численности отдельных типов и вариации группировочного признака:

для средней количественного признака

= ,

где N – численность генеральной совокупности,  - среднее квадратическое отклонение в i-той группе, Ni – численность признаков в соответствующем типе, n – численность выборки;

для доли (альтернативного признака)

=,

где N – численность генеральной совокупности,  - выборочная доля в i-той страте, Ni – численность признаков в соответствующем типе, n – численность выборки;

среднюю ошибку выборки при бесповторном методе находят по формулам:

а) для отбора непропорционального численности типов:

для средней количественного признака

= ,

где N – численность генеральной совокупности, - дисперсия i-той группы, Ni – численность признаков в соответствующем типе, ni – численность выборочной совокупности в i-том типе;

для доли (альтернативного признака)

= ,

где N – численность генеральной совокупности,  - выборочная доля в i-той страте, Ni – численность признаков в соответствующем типе, ni – численность выборочной совокупности в i-том типе;

б) для отбора пропорционального численности типов:

для средней количественного признака

= ,

где  - средняя из групповых дисперсий, n – численность выборки, N – численность генеральной совокупности;

для доли (альтернативного признака)

= ,

где  - доля единиц в совокупности, n – численность выборки, N – численность генеральной совокупности;

в) для отбора пропорционального численности отдельных типов и вариации группировочного признака:

для средней количественного признака

= ,

где N - численность генеральной совокупности,  - среднее квадратическое отклонение в i-той группе, Ni – численность признаков в соответствующем типе, n – численность выборки, N – численность генеральной совокупности;

для доли (альтернативного признака)

= ,

где N - численность генеральной совокупности,  - выборочная доля в i-той страте, Ni – численность признаков в соответствующем типе, n – численность выборки, N – численность генеральной совокупности.