Математическая модель задачи приводится к канонической форме с помощью дополнительных неотрицательных переменных

1. Математическая модель задачи приводится к канонической форме с помощью дополнительных неотрицательных переменных.

2. Определяется начальное базисное допустимое решение. Для этого переменные разбивают на две группы – основные (базисные) и неосновные. В качестве основных переменных следует выбрать (если возможно) переменные, каждая из которых входит только в одно из уравнений системы ограничений. Дополнительные переменные удовлетворяют этому правилу.

3. Составляется исходная симплекс-таблица (таблица 1), в которую записывают параметры, соответствующие начальному базисному допустимому решению:

3.1. Весовые коэффициенты c_j при переменных x_j (j = 1,...,n) целевой функции (строка C).

3.2. Весовые коэффициенты c_i при базисных переменных x_i (i = 1,...,m) целевой функции (столбец C_b).

3.3. Переменные x_i (i = 1, ... ,m) , которые входят в текущий базис (столбец A_b ).

3.4. Свободные коэффициенты b_i (i =1, ... ,m) уравнений ограничений (столбец B). В этом же столбце находим оптимальный план задачи.

3.5. Элементы a _ij (i = 1, ... ,m ; j = 1, ... ,n) матрицы условий задачи (столбцы A₁, .., A_n ).

Таблица 1

Аб	Сб	В	c1	...	cj	...	ck	...	cn
			A1	...	Aj	...	Ak	...	An
А1	c1	b1	a11	...	a1j	...	a1k	...	a1n
…	...	...	...	...	...	...	...	...	...
Аi	ci	bi	ai1	...	aij	...	aik	...	ain
…	...	...	...	...	...	...	...	...	...
Ar	cr	br	ar1	...	arj	...	ark	...	arn
…	...	...	...	...	...	...	...	...	...
Am	cm	bm	am1	...	amj	...	amk	...	amn
m+1		S	S1	...	Sj	...	Sk	...	Sn

 

3.6. Оценки S_j (j=1, ... ,n) векторов условий A_j , которые определяются по формуле:

где c_i - весовые коэффициенты при базисных переменных.

Из этой формулы следует, что коэффициенты z_j вычисляются для каждого столбца как сумма почленных произведений коэффициентов c_i на одноименные коэффициенты j-го столбца. При заполнении симплекс-таблицы при условии, что рассматривается задача максимизации целевой функции, необходимо иметь в виду:

•  если S_j ³ 0 для всех j = 1, ..., n, то полученное решение является оптимальным;

•  если имеются S_j < 0 и в столбцах A_j, соответствующих этим отрицательным оценкам, существует хотя бы один элемент a_ij >0, то возможен переход к новому решению, связанному с большим значением целевой функции;

•  Из отрицательных оценок выбирают ту, у которой значение по абсолютной величине больше. Если имеется несколько одинаковых отрицательных оценок, то выбирают ту, которой соответствует максимальный коэффициент целевой функции c_i.

•  если имеются S_k<0 и в столбце A_k все элементы a_ik £0, то в области допустимых решений целевая функция не ограничена сверху.

4. Определяется вектор A_k, который необходимо ввести в базис для улучшения решения, по наибольшему значению S_k . Переменная этого столбца x_k будет новой базисной переменной, которая вводится в базис. Столбец, содержащий эту переменную, называется направляющим столбцом.

5. Определяется вектор, который нужно вывести из базиса, используя равенство:

Это условие позволяет найти направляющую строку. Переменная x_r, соответствующая этой строке, выводится из базисного решения и заменяется переменной x_kнаправляющего столбца. Элемент a_rk, который стоит на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, называется разрешающим элементом.

6. Заполняется таблица соответствующая новому базисному решению. В этой таблице, прежде всего заполняются клетки строки r с вводимой переменной x_k. Для этого все элементы этой строки делятся на направляющий элемент. Получаются элементы новой строки:

b_r/a_rk, a_r1/a_rk , ... , a_rn/a_rk.

Остальные элементы новой таблицы определяются по правилу прямоугольника:

Процесс вычислений заканчивается, когда найдено оптимальное решение см. п.п.3.6.

Критерий оптимальности решения для нахождения максимального значения целевой функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.

Критерий оптимальности решения для нахождения минимального значения целевой функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.

  §3. «Метод искусственного базиса».

Если ограничения исходной задачи содержат единичную матрицу порядка М, то при неотрицательности правых частей уравнений определен первоначальный план, из которого с помощью симплекс – таблиц находится оптимальный план.

Если ограничения можно привести к виду:

Ах≤А₀ при А₀≥0, то система ограничений содержит единичную матрицу всегда.

Если задача не содержит единичной матрицы и не приводится к указанному виду, то для решения задачи используется метод искусственного базиса.

Для получения единичной матрицы к каждому ограничению прибавляют по одной неотрицательной переменной, которые называются искусственными. Единичные вектора, соответствующие искусственным переменным, образуют искусственный базис.

В целевую функцию искусственные переменные добавляются с коэффициентом М, если задана задача на нахождение минимума. В этом случае величина М предполагается достаточно большим положительным числом. Если необходимо найти минимальное значение целевой функции, то искусственные переменные записывают с коэффициентом (-М), который предполагается достаточно малым отрицательным числом. Для нахождения оптимального плана в случае, если заранее не задана величина М, применяется симплекс-метод, который в таблице имеет на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица.

Строка оценок разбивается на две:

(m+1) – оценка, не зависящая от М;

(m+2) – коэффициент при М.

По (m+2) строке определяют вектор, подлежащий включению в базис. Итерационный процесс проводят до исключения из базиса всех искусственных векторов. Затем процесс продолжают по (m+1) строке обычным симплекс-методом.

  §4. «Транспортная задача»

Классическая транспортная задача формулируется следующим образом:

Имеется m пунктов отправления (производства) A₁, A₂, ... ,A_m, в которых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объём этого продукта в пункте A_i составляет a_i единиц. Кроме того, имеется n пунктов потребления B₁, B₂, ... ,B_n. Объём потребления в пункте B_j составляет b_j единиц. Предполагается, что из каждого пункта отправления возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость c_ij перевозки единицы продукта из пункта A_i в пункт B_j .

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки пунктов потребления полностью выполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость перевозок была минимальной.

При такой постановке данную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

В общем виде исходные данные представлены в таблице 9.

Таблица 9

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.

  П.1 Алгоритм метода минимального элемента.

1.  Из распределительной таблицы 9 выбирают наименьшую стоимость и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i или b_j (если таких клеток несколько, то выбирают любую);

2.  Из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и то и другое;

3.  Из оставшейся части таблицы снова выбирают наименьшую стоимость и процесс продолжается до тех пор, пока все запасы не будут вывезены, а потребности удовлетворены;

4.  Рассчитывают транспортные расходы: сумма произведений количества перевезенной продукции на стоимость для занятых клеток.

  П. 2 Алгоритм метода Фогеля.

1.  В каждой строке находят разность между двумя наименьшими стоимостями и записывают ее около соответствующей строки справа;

2.  В каждом столбце находят разность между двумя наименьшими стоимостями и записывают ее под соответствующим столбцом;

3.  Среди всех полученных разностей находят максимальную и распределяют объем перевозки в клетку строки или столбца с наименьшей стоимостью;

4.  Исключают из рассмотрения строку или столбец с распределенными поставками и возвращаются к пункту 1. Процесс продолжается до тех пор, пока все запасы не будут вывезены, а потребности удовлетворены;

5.  Когда план построен, рассчитываются транспортные расходы.

П.3 Алгоритм метода двойного предпочтения.

1.  В таблице 9 в каждом столбце отмечают галочкой клетку с наименьшей стоимостью и в каждой строке отмечают галочкой клетку с наименьшей стоимостью;

2.  В клетки с двумя галочками записывают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз, исключая соответствующий столбец или строку;

3.  Распределяют перевозки по клеткам с одной галочкой;

4.  В оставшейся части таблицы перевозки распределяют в клетки с наименьшей стоимостью.

5.  Когда план построен, рассчитываются транспортные расходы.

  П.4. Алгоритм метода северо-западного угла.

1.  Пользуясь таблицей 9 распределяют груз, начиная с левой верхней, условно называемой северо-западной, клетки (1,1). Необходимо удовлетворить потребности В₁ за счет поставщика А₁;

2.  а). Если b₁>a₁, в клетку (1,1) записывают a₁ и строку 1 вычеркивают из рассмотрения;

b). Если a₁>b₁, в клетку (1,1) записывают b₁ и столбец 1 вычеркивают из рассмотрения;

3.  а). Если b₁>a₁, ∆= b₁ - a₁ – неудовлетворенные потребности. Спускаются на клетку вниз и сравнивают ∆ с a₂;

b). Если a₁>b₁, ∆=a₁ - b₁ – не вывезенные запасы. Двигаются по строке вправо и сравнивают ∆ с b₂;

4.  Необходимо вернуться к пункту 2;

5.  Рассчитываются транспортные расходы.

  П.5. Алгоритм метода потенциалов.

1.  проверяется тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;

2.  находится опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшей стоимости;

3.  проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью « 0 »;

4.  для опорного плана определяются потенциалы u_i и v_j, соответствующие базисным клеткам, по условию:

u_i + v_j = c_ij

Таких уравнений будет m + n - 1 , а переменных будет m + n. Для их определения одну из переменных полагают равной любому постоянному значению. Обычно принимают u₁ = 0.

После этого для небазисных клеток опорного плана определяются оценки ,

где

При этом если  £0, то опорный план оптимален, если же среди  окажется хотя бы один положительный элемент, то опорный план можно улучшить.

Улучшение опорного плана осуществляется путем целенаправленного переноса из клетки в клетку транспортной таблицы отдельных перевозок без нарушения баланса по некоторому замкнутому циклу.

Циклом транспортной таблицы называется последовательное соединение замкнутой ломаной линией некоторых клеток, расположенных в одном ряду (строке, столбце), причем число клеток в одном ряду должно быть равно двум.

Каждый цикл имеет четное число вершин, одна из которых в клетке с небазисной переменной, другие вершины в клетках с базисными переменными. Клетки отмечаются знаком «+», если перевозки в данной клетке увеличиваются и знаком «–» в противном случае. Цикл начинается и заканчивается на выбранной небазисной переменной и отмечается знаком «+». Далее знаки чередуются.

Количество единиц продукта, перемещаемого из клетки в клетку по циклу, постоянно, поэтому сумма перевозок в каждой строке и в каждом столбце остаются неизменными. Стоимость всего плана изменяется на цену цикла.

Цена цикла – это стоимость перевозки единицы продукта по циклу с учетом знаков вершин.

Улучшение опорного плана осуществляется путем нахождения цикла с отрицательной ценой.

5.  Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу. Для этого:

а) в качестве начальной небазисной переменной принимается та, у которой оценка  имеет максимальное значение;

б) составляется цикл пересчета;

в) находится число перерасчета по циклу: число X=min{X_ij}, где X_ij- числа в заполненных клетках со знаком « - »;

г) составляется новая таблица, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла;