Возвращаются к пункту 3 и т.д

6.  Возвращаются к пункту 3 и т.д.

7.  Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходят к ответу, так как транспортная задача всегда имеет решение.

  §5. «Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори»

Задача линейного целочисленного программирования формулируется следующим образом:

Найти такое решение (план) Х=(х₁, х₂,…, х_n), при котором линейная функция

(5.1)

(5.2) (5.3) (5.4)

принимает максимальное значение при ограничениях:

Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы:

a.  методы отсечения;

b.  комбинаторные методы;

c.  приближенные методы.

Подробнее остановимся на методах отсечения. Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условий целочисленности. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

•  оно должно быть линейным;

•  должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

•  не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением.

Далее задача решается с учетом нового ограничения. После этого в случае необходимости добавляется еще одно ограничение и т.д.

Один из алгоритмов решения задачи линейного целочисленного программирования, предложенный Гомори, основан на симплексном методе и использует достаточно простой способ построения правильного отсечения.

Алгоритм метода Гомори:

1.  Симплексным методом решается задача (5.1)-(5.3) без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования (5.1)-(5.4). Если первая задача (8.1)-(8.3) неразрешима (т.е. не имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), то и вторая задача (5.1)-(5.4) также неразрешима.

2.  Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то выбирают компоненту с наибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы ограничений формируется правильное отсечение:

 (5.5)

3.  Неравенство (5.5) введением дополнительной неотрицательной целочисленной переменной преобразовывают в равносильное уравнение

(5.6)

и включить его в систему ограничений (5.2).

4.  Полученную расширенную задачу решить симплексным методом. Если найденный оптимальный план будет целочисленным, то задача целочисленного программирования (5.1)-(5.4) решена. В противном случае возвратиться к пункту 2.

Если задача разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден.

Заключение.

Задачи экономической науки, требующие применения математики

Имеется ряд определений предмета экономической теории. Из них вытекает необходимость экономико-математических методов, причем требуется самая изощренная современная математика, как теоретическая, так и прикладная. Фактически существует такая дисциплина, как математическая экономика, которая у ряда авторов представляет собой чисто математическую теорию с типичным для нее построением: формальные определения с соответствующими примерами реальных объектов, затем теоремы, их точные доказательства, интерпретация этих теорем. Такой способ построения экономической теории напоминает о некоторых реализациях такой дисциплины, как математическая физика, в виде чисто математической абстрактной теории. Все это крайности, которые необходимы для интенсивного развития математического аппарата, но они должны быть лишь частью теории, служащей некоторым содержательным, жизненно необходимым и в конечном счеты неформализуемым задачам.

Определения экономической теории, синтезированные из работ ряда авторов (таких, как Э.Маленво, П.Самуэльсон, Г.Саймон, И.Экланд):

Экономическая теория — это наука, которая:

Во-первых, изучает проблемы наилучшего использования ограниченных возможностей человеческой деятельности.

Но так как люди редко действуют рационально и эффективно, то:

Во-вторых, она изучает РЕАЛЬНОЕ поведение человека, который В ПРИНЦИПЕ умеет связывать экономические цели и средства их достижения.

Дальше идёт конкретизация:

В-третьих, она изучает, как ограниченные ресурсы используются для удовлетворения потребностей людей, живущих в обществе. И потому предмет её исследований — это основные экономические процессы, такие, как производство, распределение благ и их потребление. С другой стороны, экономическая теория изучает институциональные структуры и процессы, преследующие цель организации упорядоченного прохождения этих операций и процессов.

В-четвёртых, экономическая теория описывает и изучает человеческий выбор, в том числе — обмен в условиях ограничений. Ограниченные ресурсы, которые здесь существенны — это материальные, трудовые, финансовые, технологические, информационные и другие. Информационная сторона экономических процессов становится все более важной, в связи с чем все большее значение приобретает экономическая информатика.

В-пятых, теория изучает, как из индивидуальных способов поведения, рассматриваемых, как исходные, как заданные, выводятся закономерности на уровне общества; как индивидуальные решения синтезируются в коллективные.

При этом следует сказать, что экономическая теория может быть как дескриптивной, так и нормативной.

Дескриптивная - описательная - экономическая теория описывает поведение людей при выборе экономических действий (на основе оценок текущего состояния, его диагностики и прогнозирования его развития).

Нормативная теория даёт рекомендации по оптимальному экономическому поведению.

Таким образом, в абстрактной форме основные задачи экономики суть математические задачи выбора и диагностики (сюда включаются и прогнозирование, и оценки ситуаций), усложнённые неформализованными элементами, противоречивыми, сингулярными моделями и т.д.

Математика в экономической науке, в экономической информатике применяется во все больших масштабах. Сейчас очевидно, что она — необходимая часть экономической теории. Однако она недостаточна, так как и чисто экономическая содержательная составляющая становится все более сложной, а неформализованная сторона описания экономических явлений всегда будет присутствовать.

И существует не только рациональный выбор индивидуумами их решений, который есть предмет неоклассической экономической теории. Рациональное целесообразное поведение ограничено в своих возможностях — с точки зрения ресурсов, организационных возможностей, степени охвата разнообразных, разноплановых, в том числе и неформализованных, связей, с точки зрения возможности учёта традиций, психологии и так далее.

Оно ограничено также потенциалом вычислительных средств для вычисления эффективного поведения и учёта поведения других субъектов. Это и требует дополнения неклассической теории (основанной на принципах целесообразного поведения) другими средствами моделирования. Неоклассическая теория базируется на концепции выбора из множества альтернатив с использованием функции полезности.

Но это нужно дополнить средствами решения таких проблем:

1.  как обнаруживать и записывать эти альтернативы, их множество и способы выбора из них;

2.  как описывать и идентифицировать функцию полезности или отношения предпочтения;

3.  Как связывать альтернативы, полезности, действия, выбора и реализации альтернатив (причем и чисто эмпирические реализации);

4.  как учитывать реальную и нормативную рациональную эмпирику;

5.  как учитывать ограничения на передачу информации (скорость, объемы) и на вычислительную сложность.

В отношении экономики можно сказать, что это динамическая система - множество, обладающее целостностью, в котором эволюционируют и элементы множества, и их свойства, и отношения между ними.

Систему, в том числе алгебраическую, можно рассматривать и как инструмент принятия решений, и как модель, как способ восприятия реальных феноменов.

Абстрактная система - это совокупность взаимосвязанных переменных (разной алгебраической природы), отражающих характеристики описываемого явления или объекта. Фактически это математическая модель. Опишем структуру системы. В систему входят:

·  совокупность взаимосвязанных элементов;

·  субъект исследования - исследователь;

·  формулировка задачи - отношения наблюдателя, исследователя, к совокупности элементов, соответствующий отбор элементов и их существенных свойств;

·  отношения между элементами;

·  описание наборов элементов, переменных, параметров и констант, а также связей между ними.

И теперь нужно обратиться к понятию структуализма в экономической теории. Структуралистская идея заключается в аксиоматическом формальном задании отношений и связей между элементами системы, включая как идентифицированные, так и неизвестные элементы, первоначально заданные чисто символически. Кроме того задается логика анализа следствий из имеющихся посылок и правил вывода. В результате многократного применения (иногда в бесконечном процессе) этих правил происходит частичная или полная идентификация искомых блоков модели.

Структурное исследование экономики - это:

·  логико-математическое описание реальных или абстрактных процессов и явлений;

·  если же имеет место дополнение постструктуалистской методологией, то к этому добавляется подобное изучение во всей многоплановости и полноте экономических явлений, в их противоречивости и возможной неформализованности.

Модели математической экономики

Математическая экономика изучает свойства экономической динамики и равновесия с помощью математических моделей этих феноменов и точного исследования моделей. При этом получены условия положительного экономического роста и условия равновесия экономики при различных предположениях о природе производства. и распределения продуктов, о механизме рынка и установления цен, ренты и других экономических величин.

Классические модели математической экономики таковы:

·  модель оптимального использования ограниченных ресурсов в технологических способах. Это модель оптимального выбора;

·  модель Леонтьева — модель межотраслевого баланса — как в статической, так и в динамической формах. Это модель прямых, косвенных и полных взаимосвязей подразделений экономики;

·  теоретико-игровые модели;

·  модель фон Неймана о росте капитала и натурального производства, об образовании ценностей товаров и о вычислении объективно обоснованной ренты;

·  модели технологических множеств и теоремы о магистралях как образцовых траекториях экономического развития;

·  модели равновесия: Вальраса, Эрроу, Дебре и других;

·  модели обмена, в том числе международного;

·  модели согласования предпочтений экономических субъектов;

·  модели прямого и расширенного воспроизводства национальной экономики;

В настоящее время интенсивно развиваются модели финансовой и актуарной математики, которые включают в себя в качестве блоков математическую статистику и распознавание образов.

Модели исследования операций являются граничащими с математической экономикой моделями, они дополняют теоретические исследования и позволяют строить и исследовать более практические модели — такие, например, как модели управления запасами, модели календарного планирования и другие.

Используемая литература:

1.  Е.С. Вентцель. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.: 2004.

2.  О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. Учебник для ВУЗов. - М.: «Экзамен», 2003.

3.  Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман.- М.: ЮНИТИ, 2002.

4.  Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. 6-е издание: пер. с англ.-М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.

5.  П.В. Конюховский. Математические методы исследования операций. - М.: Питер, 2000.

6.  Н.Ш. Кремер. Исследование операций в экономике. - М.: «Банки и биржи» Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.

7.  А. Б. Аронович, М.Ю.Афанасьев, Б.П. Суворов. Сборник задач по исследованию операций. – М.: Издательство МГУ, 1997.

8.  Ю.И. Дегтярев. Системный анализ и исследование операций. Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1996.

9.  Г. Вагнер. Основы исследований операций. Т.1-3. - М.: Мир, 1972.

10.  Исследование операций. Учебник для ВУЗов под общей редакцией д.э.н. Н.П. Тихомирова.