Доказательство великой теоремы Ферма

Файл: FERMA-FIN © Н. М. Козий, 2008

Свидетельства Украины № 27312 и 28607

о регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

 

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

Аⁿ+ Вⁿ= Сⁿ* /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2·B +A^n-3·B²- …-A·B^n-2+B^n-1] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.

* Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем:

А¹ + В¹ = С¹

А + В= С/3/

Следовательно, число (А + В) является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =(A+B)ⁿ∙ Dⁿ , /4/

где число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /4/ следует:

 /5/

Из уравнения /4/ также следует, что число [Cⁿ= Aⁿ+ Bⁿ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)ⁿ. Однако известно, что:

Aⁿ+ Bⁿ < (A+B)ⁿ /6/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /7/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2^q, является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом:

n= pkm = 2^q∙km, /8/

где: p=2^q;

q =1, 2, 3,…;

k =1,3,5,7,9,…;

m=3,5,7,9,11,…

Тогда уравнение /1/ можно записать следующим образом:

Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =A^pkm + B^pkm= (A^pk )^m + (B^pk )^m /9/

Поскольку показатель степени m – нечетное число, то алгебраическое выражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом:

Cⁿ= C^pkm= (A^pk+ B^pk)∙[ (A^pk)^m-1 - (A^pk)^m-2 ∙B^pk+

+ (A^pk)^m-3 ∙(B^pk)² -…- A^pk∙(B^pk)^m-2 + (B^pk)^m-1 ] /10/

При этом уравнения /4/ и /5/ преобразуются следующим образом:

Cⁿ = C^pkm= (A^pk+ B^pk)^m∙ D^pkm /11/

D^pkm = (A^pkm + B^pkm) / (A^pk + B^pk )^m /12/

В соответствии с уравнением /6/:

(A^pkm + B^pkm) < (A^pk + B^pk )^m /13/

Следовательно, число D^pkm – дробное число, меньшее единицы.

Отсюда следует, что и при четном показателе степени n= 2^q∙km уравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном, так и при четном показателе степени n >2 и не равном n ≠2^q.

Для показателя степени n =2^q существует иное доказательство великой теоремы Ферма.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик