Доказательство с помощью построения цепочки импликаций

1.  Доказательство с помощью построения цепочки импликаций.

Этим методом пользуются при доказательстве теорем, выраженных в форме импликации: "Если высказывание A истинно, то и высказывание B истинно", то есть AÉB.

Доказательство строится как последовательность тождественно-истинных импликаций вида: AÉA1, A1ÉA2, … , An-1ÉAn, AnÉB, где A1, A2, A3, … , An - некоторые вспомогательные высказывания.

Отсюда делается вывод (в силу транзитивности импликации) о справедливости теоремы AÉB.

Такое доказательство называется прямым доказательством.

Прежде, чем рассмотреть другие типы доказательств напомним классификацию теорем из средней школы, которую иллюстрирует рис.2.1

Как легко проверить, используя метод истинностных таблиц, прямая теорема оказывается равносильной обратной противоположной, а обратная теорема - противоположной. И в то же время, таких равносильностей в общем случае не существует между прямой и обратной теоремами, между прямой и противоположной, между обратной и обратной противоположной, между противоположной и обратной противоположной.

Из указанных равносильностей вытекает следующий метод доказательства.

2.  Доказательство от противного.

Этот метод используется при доказательстве теорем вида AÉB и основывается на законе контрапозиции XÉY º ØY É ØX, который фактически гласит, что доказательство теоремы AÉB может быть заменено доказательством эквивалентной ей теоремы, которая формулируется как ØB ÉØA . Последняя теорема называется обратная противоположной (или противоположная обратной).

Доказательство теоремы ØB ÉØA осуществляется прямым путем, то есть как цепочка импликаций: ØBÉB1, B1ÉB2, …, Bn-1ÉBn, BnÉØA, из которой делается вывод (в силу транзитивности импликации) о справедливости теоремы ØB ÉØA. А в силу закона контрапозиции заключается о справедливости теоремы AÉB.

3.  Доказательство приведением к абсурду.

Пусть требуется доказать истинность некоторого утверждения A. Предположим, что A ложно, тогда ØA - истинно, поскольку закон противоречия (X&ØXºЛ), имеющий место в логике высказываний, означает, что одновременно не могут быть истинными утверждение и его отрицание.

После этого показывается, что тогда имеется некоторое утверждение B такое, что истинными являются одновременно два утверждения: ØAÉB и ØAÉØB.[4]) Это и есть то, что называют абсурдом.

В логике высказываний тождественно-истинной является формула: (ØAÉB)&(ØAÉØB) ÉA (проверку чего мы предоставляем читателю).

Из этой формулы и (ØAÉB)&(ØAÉØB) по правилу вывода modus ponens следует, что имеет место утверждение A.

4. Доказательство необходимых и достаточных условий.

В математике часто встречаются теоремы вида: "Условие A равносильно условию В", что также выражается словами: "Для того, чтобы имело место условие А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие В". В виде формулы логики высказываний такая теорема может быть записана в виде: А~В. Доказательство ее обычно сводится к доказательству двух утверждений:

1.  АÉВ (Если имеет место условие А, то выполняется и условие В)

2.  ВÉА (Если имеет место условие В, то выполняется и условие А).[5])

Первое условие называют необходимым (то есть, В необходимо для А), а второе условие - достаточным (то есть, А достаточно для В). По-другому, первое называют прямой теоремой, а второе - обратной.

Доказательство и прямой, и обратной теорем может быть осуществлено любым из трех приведенных выше способов. После чего, можно утверждать и справедливость теоремы "Условие A равносильно условию В".

Существует и другой способ доказательства теорем вида: "Условие A равносильно условию В", когда одновременно доказывается необходимость и достаточность условия В для А. Для этого находится последовательность тождественно-истинных эквиваленций вида: A~A1, A1~A2,…,An-1~An, An~B, где A1,A2,A3,…,An - некоторые вспомогательные высказывания.

Отсюда делается вывод (в силу транзитивности эквиваленции) о справедливости теоремы A~B.

Наконец, доказательство теоремы вида A~B можно заменять доказательством равносильной ей противоположной теоремы ØА~ØВ. (В равносильности этих теорем легко убедиться с помощью таблиц истинности.)

Изложив основные структуры математических доказательств, мы надеемся, что читатель теперь по иному будет относиться к доказательству любой теоремы из курсов линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и т.д. Приступая к изучению доказательства любой теоремы, прежде всего, необходимо выяснить структуру доказательства, постараться отнести его к одному из рассмотренных четырех видов, а уже затем изучать само доказательство, четко представляя ту идею, которую применил автор теоремы для того, чтобы ее доказать.

Применение логики высказываний к анализу и синтезу

переключательных (контактных) схем

Переключательной (или контактной) схемой мы будем называть участок электрической цепи, включающий ряд переключателей (контактных выключателей), подобный приведенному на рис.2.2.

 

Рис.2.2. Вид переключательной схемы.

Каждому переключателю схемы сопоставим пропозициональную переменную Xi, которая будет принимать значение И (истина) или Л (ложь), если соответствующий переключатель замкнут или разомкнут (то есть, не проводит электрический ток).

Поскольку функция участка электрической цепи состоит в том, чтобы проводить электрический ток, то два участка, содержащие одни и те же переключатели и проводящие или не проводящие ток при одном и том же состоянии всех выключателей , мы будем считать "равными" и не различать между собой.

Легко сообразить, что участку цепи, представляющему собой последовательное соединение двух переключателей X1 и X2 будет отвечать формула логики высказываний, представляющая собой конъюнкцию пропозициональных переменных X1 и X2, то есть, X1&X2 (что означает, что такой участок проводит ток тогда и тогда, когда оба переключателя X1 и X2 замкнуты), а участку цепи, представляющему собой параллельное соединение двух переключателей X1 и X2 - формула, представляющая собой дизъюнкцию пропозициональных переменных X1 и X2, то есть, X1ÚX2. Сказанное представлено на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Соответствие формул логики высказываний видам соединения переключателей.

Условимся обозначать через И всегда замкнутый контакт, а через Л - всегда разомкнутый. На схемах это будет выглядеть так, как представлено на рис. 2.4.

 

Рис.2.4. Соответствие логических констант всегда замкнутому и всегда разомкнутому контактам.

Условимся, наконец, обозначать через Xi и ØXi такую пару контактов, что когда контакт Xi замкнут, контакт ØXi обязательно разомкнут, и наоборот. Техническое осуществление такой пары контактов показано на рис.2.5.

Рис.2.5. Реализация контактов Xi и ØXi.

Ясно, что параллельное и последовательное соединение переключательных схем обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, идемпотентности.

Несколько сложнее проверяется выполнимость двух законов дистрибутивности:

Приведены попарно эквивалентные переключательные схемы, подтверждающие справедливость указанных законов дистрибутивности для переключательных схем.

Таким образом, все законы логики высказываний имеют аналоги в логике переключательных схем. Это, во-первых, позволяет моделировать сложные высказывания с помощью электрических цепей. Во-вторых, конструировать (синтезировать) переключательные схемы, удовлетворяющие наперед заданным условиям (которые могут быть и достаточно сложными).

Булевские функции

Многим из читателей, мы полагаем, приходилось иметь дело с так называемыми числовыми функциями: алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и т.д. Все они характеризовались тем, что область определения и область значений функций представляли собой подмножества множества действительных чисел.

Например, функция y = f(x), задаваемая формулой y = sin(x) + 1, имеет в качестве области определения (обычно обозначается буквой Х) все множество действительных чисел, а в качестве области значений (чаще обозначаемой буквой Y) множество неотрицательных чисел, принадлежащих интервалу [0, 2]; функция y = j(x) , задаваемая формулой j(x)=|lgx|+5, в качестве области определения имеет множество всех положительных действительных чисел, а в качестве области значений - множество положительных действительных чисел, больших 5.

Рассматриваемые нами здесь булевские (логические) функции характеризуются тем, что аргументы и сама функция принимают значения из множества логических констант {И, Л}.

В теории булевских функций чаще используются "числовые" эквиваленты логических констант: 1 вместо И, 0 - вместо Л. Ниже мы будем придерживаться именно этих обозначений.

Булевская функция в общем случае может содержать n аргументов: y=f(x1,x2,…,xn).

Как и математические функции, булевские функции могут задаваться: словесно, таблично или аналитически. Мы будем использовать последние два способа задания булевских функций: табличный (в виде таблиц истинности) и аналитический (в виде формул логики высказываний). Одна и та же функция может, естественно, задаваться по-разному.

Булевские функции одной переменной

Булевских функций от одной переменной всего 4. Эти функции и задающие их формулы логики высказываний приведены в следующей таблице:

x	0	1	Формулы логики высказываний, задающие функции
φ1	0	0	φ1(x) = 0 (константа 0)
φ2	0	1	φ2(x) = x (совпадает с переменной х)
φ3	1	0	φ3(x) = Øx (является отрицанием переменной х)
φ4	1	1	φ4(x) = 1 (константа 1)

Булевских функций от двух переменных всего насчитывается 16. Все они представлены в следующей таблице:

x	0	0	1	1	Формулы логики высказываний, задающие функции
y	0	1	0	1
f1	0	0	0	0	f1(x,y) = 0 (константа 0)
f2	0	0	0	1	f2(x,y) = x&y (конъюнкция)
f3	0	0	1	0	f3(x,y) = Ø(xÉy) (отрицание импликации)
f4	0	0	1	1	f4(x,y) = x (совпадает с переменной x)
f5	0	1	0	0	f5(x,y) = Ø(yÉx) (отрицание обратной импликации)
f6	0	1	0	1	f6(x,y) = y (совпадает с переменной y)
f7	0	1	1	0	f7(x,y) = xÅy (строгая дизъюнкция)
f8	0	1	1	1	f8(x,y) = xÚy (дизъюнкция)
f9	1	0	0	0	f9(x,y) = Øx&Øy (конъюнкция отрицаний)
f10	1	0	0	1	f10(x,y) = x~y (эквиваленция)
f11	1	0	1	0	f11(x,y) = Øy (отрицание y)
f12	1	0	1	1	f12(x,y) = yÉx (обратная импликация)
f13	1	1	0	0	f13(x,y) = Øx (отрицание x)
f14	1	1	0	1	f14(x,y) = xÉy (импликация)
f15	1	1	1	0	f15(x,y) = Ø(x&y) (отрицание конъюнкции)
f16	1	1	1	1	f16(x,y) = 1 (константа 1)

Естественно, многие из перечисленных функций могут быть заданы другими, но равносильными формулами логики высказываний.

Булевские функции n переменных

Областью определения такой булевской функции будет n-тая декартова степень множества {0,1}, то есть всевозможные двоичные наборы длины n вида <a1a2…an>, где aiÎ{0,1}. Число таких всевозможных наборов (n-ок) составляет 2n.

Область значений булевской функции от n переменных - это множество {0,1}.

В дальнейшем мы будем рассматривать только всюду определенные булевские функции, то есть область определения таких функций совпадает с n-той декартовой степенью множества {0,1}.

Булевские функции от большего числа переменных могут быть так же заданы таблично, или с помощью формул логики высказываний, или в виде суперпозиции (взаимной подстановки) булевских функций одной и/или двух переменных.

Например, булевская функция y=f(x,y,z), задаваемая формулой логики высказываний x&y Ú Øx&Øy Ú z может быть задана в виде следующей суперпозиции функций от одной и двух переменных: y=f8(f8(f2(x,y),f9(x,y)),φ2(z)).

Учитывая принципиальную возможность выразить булевскую функцию от любого числа переменных в виде суперпозиции (взаимной подстановки) булевских функций от одной и двух переменных, мы чаще будем использовать либо табличный способ задания таких функций, либо с помощью формул логики высказываний.

Табличный способ задания булевских функций от одной и двух переменных (см. приведенные выше таблицы, определяющие эти функции) наводит нас на некоторые соображения:

-  число наборов истинностных значений, на которых определена булевская функция от n переменных, составляет 2n (при n=1 это число составляет 2, при n=2 - 4);

-  значение каждой булевской функции от n переменных представляет собой двоичный набор длины 2n;

-  каждая булевская функция отличается от любой другой булевской функции с тем же числом переменных своим значением хотя бы на одном из таких наборов

А отсюда можно сделать предположение о том, число N различных булевских функций от n переменных равно числу различных двоичных наборов длины 2n, то есть:

При n=1 это число равно 4, при n=2 - 16, n=3 - 256, n=4 - 65536 и т.д.

Полные системы булевских функций

В предыдущем пункте было отмечено, что можно выразить любую булевскую функцию от n переменных в виде суперпозиции (взаимной подстановки) булевских функций от одной и двух переменных. В свою очередь эти функции задаются формулами, содержащими логические операции: отрицание(Ø), конъюнкцию (&),строгую дизъюнкцию (Å), дизъюнкцию(Ú), импликацию(É), эквиваленцию (~).

Но как известно из логики высказываний, операции логики высказываний строгая дизъюнкция (Å), импликация (É), эквиваленция (~) могут быть выражены через дизъюнкцию (Ú), конъюнкцию (&) и отрицание (Ø).

В свою очередь, дизъюнкция (Ú) может быть выражена через конъюнкцию (&) и отрицание (Ø), а конъюнкция (&) - через дизъюнкцию (Ú) и отрицание (Ø).

Таким образом, конъюнкция и отрицание, а также дизъюнкция и отрицание, образуют полную систему логических связок, то есть через эти операции могут быть выражены все остальные.

Более того, можно определить логическую операцию, через которую выражаются все шесть операций: отрицание (Ø), конъюнкция (&), дизъюнкция (Ú), строгая дизъюнкция (Å), импликация (É), эквиваленция (~). Таковой, например, является операция, соответствующая сложному союзу "не А или не В" ("или" соединительное). Эта операция обозначается символом ô(например, АôВ) и получила название штрих Шеффера. Штрих Шеффера определяется с помощью следующей таблицы:

X	Y	XôY
Л	Л	И
Л	И	И
И	Л	И
И	И	Л

Как легко видеть, штрих Шеффера представляет собой отрицание конъюнкции: XôY º ØXÚØY º Ø(X&Y).

Можно убедиться, что ØX º XôX.

А отсюда: X&Y º Ø( XôY) º (XôY) ô( XôY).

Таким образом, через штрих Шеффера могут быть выражены конъюнкция и отрицание, а значит и все остальные операции логики высказываний. То есть система логических связок, содержащая единственную операцию - штрих Шеффера, является полной.

Есть еще одна логическая операция, аналогичная штриху Шеффера и называемая стрелкой Пирса. Она обозначается символом ­ и представляет собой отрицание дизъюнкции (или конъюнкцию отрицаний): X­Y º Ø(XÚY) º ØX&ØY.

Можно убедиться, что ØX º X­X.

А отсюда: XÚY º Ø( X­Y) º (X­Y) ­ ( X­Y).

Таким образом, через стрелку Пирса могут быть выражены дизъюнкция и отрицание, а значит и все остальные операции логики высказываний. То есть система логических связок, содержащая единственную операцию - стрелку Пирса, является полной.

Систему булевских функций будем называть функционально полной, если любую булевскую функцию можно выразить в виде суперпозиции (взаимной подстановки) функций из этой системы.

В соответствии с высказанными выше соображениями о полноте системы логических связок и задании булевских функций формулами логики высказываний, можно сделать вывод о функциональной полноте следующих систем булевских функций:

S0 = {φ3(x), f2(x,y), f8(x,y)} - отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

S1 = {φ3(x), f2(x,y)} - отрицание, конъюнкция.

S2 = {φ3(x), f8(x,y)} - отрицание, дизъюнкция.

S3 = {f15(x,y)} - отрицание конъюнкции (штрих Шеффера).

S4 = {f9(x,y)} - отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса).

S5 = {φ3(x), f14(x,y)} - отрицание, импликация.

В последующем мы увидим, что с точки зрения проектирования вычислительных устройств особый интерес представляют S3 и S4.

Общий критерий функциональной полноты системы булевских функций, выражающий необходимые и достаточные условия, носит название критерия Поста-Яблонского.[6] Его изложение выходит, к сожалению, за рамки настоящего пособия.

Применение аппарата булевских функций к анализу и синтезу комбинационных схем

Рассмотрим так называемые схемы из функциональных элементов (комбинационные схемы), вычисляющие (реализующие) булевские функции.

Под функциональным элементом будем понимать некоторое устройство (внутренняя структура которого нас не интересует[7]), обладающее такими свойствами:

1)  оно имеет n³1 упорядоченных входов и один выход;

2)  на входы этого устройства могут подаваться сигналы, принимающие два значения, которые будем обозначать через 0 и 1;

3)  при каждом наборе сигналов на входах устройство выдает один из сигналов (0 или 1) в тот же момент, в который поступили сигналы на входе;

4)  набор сигналов на входах однозначно определяет сигнал на выходе, то есть, если в различные моменты времени на входы поступает одна и та же комбинация сигналов, то в эти моменты на выходе будет один и тот же сигнал.

С каждым функциональным элементом с n входами сопоставим булевскую функцию от n переменных f(x1,x2,…,xn), определяемую следующим образом: входу с номером i (i = 1, 2, … , n) ставится в соответствие переменная xi и с каждым набором <a1, a2, … , ai, …, an> этих переменных (aiÎ{0,1}) сопоставляется число f(a1, a2, … , ai, …, an), равное 0 или 1 в зависимости от того, какой сигнал вырабатывается на выходе при подаче этого набора сигналов на входы данного функционального элемента. О функции f(x1,x2,…,xn) будем говорить, что данный функциональный элемент ее реализует.

В дальнейшем мы будем рассматривать функциональные элементы, реализующие полную систему логических операций: конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание. Эти элементы представлены на рис.2.18.

Теперь определим понятие "схема из функциональных элементов в базисе {&, Ú, Ø}" и понятия ее выходов и входов. Определение будет носить индуктивный характер (подобно тому, как выше определялось понятие формулы логики высказываний).