Чисельне розв’язання задач оптимального керування

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ оптимального керування
1 Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності

Розглянемо неперервну задачу оптимального керування

,(1)

,(2)

, , . (3)

Виконаємо дискретну апроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок  точками ,  і будемо обчислювати значення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: , , . Закон руху в цьому випадку можна записати у вигляді:

.

Тепер дискретна задача оптимального керування, що апроксимує неперервну задачу (1) – (3), матиме вигляд:

, , (4)

 , (5)

 (6)

, . (7)

Для пошуку оптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований метод множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:

,

,(8)

де .

Обмеження на керування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, що перед першим доданком стоїть знак «–», оскільки  і якщо не додавати «–», то характер екстремуму початкової функції зміниться.

Якщо  – локально-оптимальний процес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множники Лагранжа , , , , що матимуть місце наступні умови:

1.  або

,

,

. (10)

2.  або

,

. (11)

Із (9) одержимо ітераційні співвідношення для спряжених змінних , а з (10) – співвідношення для :

, (12)

 . (13)

Перепишемо співвідношення (12) у вигляді:

.

Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,

.

Якщо , то з останнього співвідношення одержимо

.

Зі співвідношення (13) випливає, що .

Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції ,  неперервно-диференційовані за змінними  і опуклі за . Тоді для локально-оптимального процесу  існують такі множники Лагранжа , , , , не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:

1) умови стаціонарності в точці :

;

2) . (14)

Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:

Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного :

Або

Якщо , то з останнього співвідношення одержимо

2 Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням

Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори:  і . Перший із них містить -е наближення для керувань у моменти часу  для системи (14), при , а другий – -е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес , що є -м наближенням до шуканого оптимального процесу.

Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.

Розглянемо алгоритм методу.

1. Задаємо крок розбиття  та точність обчислень .

2. Задаємо початкове наближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегію керування:

, , ,

де  – наближення керування в момент  на ітерації .

3. За визначеною в п. 2 стратегією керування  будуємо фазову траєкторію процесу

, ,

на початкової ітерації , використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимують рівняння руху:

, .

4. Визначаємо початкове наближення  відповідно до (5).