Передавальні функції окремих елементів корегованої системи

10. Передавальні функції окремих елементів корегованої системи

 

1)  Передавальна функція розімкненої системи:

2) Передавальна функція замкненої системи відносно завдання:

3) Передавальна функція для похибки замкненої системи:

5)  Передавальна функція замкненої системи відносно збурення:

11. Усталена похибка корегованої системи

Визначимо граничний коефіцієнт підсилення скорегованої системи.

Запишемо характеристичне рівняння скорегованої САК:

Т_мТ_п Т₂р⁴+((Т_м+Т_п)×Т₂+Т_мТ_п )р³+(Т_м+Т_п+Т₂)·р²+(1+KG₀T₁)p+КG₀ = 0

0,001132р⁴ + 0,12р³ +0,693р² + (1+0,283K)р + 0,435K = 0

 

Для стійкості необхідно виконання двох умов :

·  Правило Стодоли: щоб усі три корені були додатніми, ця умова виконується.

·  Критерій Гурвіца: для кубічного рівняння а₃ × (а₁×а₂–а₀×а₃)–а₁²× а₄ > 0

а₀ = 0,001132 а₁ = 0,12 а₂ = 0,693 а₃ = 1+ 0,283K а₄ = 0,435K

Маємо квадратну нерівність К² – 184,4·К – 911,1 = 0

Знаходимо корені К₁ = 189,2;К₂ = -4,8.

Вибираємо К = 189

З умови, що запас стійкості має лежати в межах 2¸3 коефіцієнт підсилення дорівнює

К= К_г/2,5 = 189/2,5 = 75,6

Приймаємо К = 75

Тоді коефіцієнт електронного підсилювача дорівнює:

К_гр = 75/0,21 = 357,14

Усталена похибка слідкуючої системи дорівнює:

Де a₀ , f₀ – усталені значення завдання і збурення відповідно.

Оскільки ми не маємо даних стосовно збурю вальної дії М_с то ми нехтуємо другим доданком. Отже усталена похибка нашої САК дорівнює:

12. Логарифмічні характеристики розімкненої корегованої системи.

 

12.1  Логарифмічно-частотні характеристики розімкненої корегованої системи.

Передавальна функція розімкненої корегованої системи має вигляд:

ЛАЧХ будуємо за допомогою спряжених частот

w₁ = 1/Т₁ = 1/0,65 = 1,54 с^-1;w₂ = 1/Т₂ = 1/0,283 = 3,53 с^-1;

w₃ = 1/Т_м = 1/0,4 = 2,5 с^-1;w₄ = 1/Т_п = 1/0,01 = 100 с^-1;

wÎ [0, w₁] – пряма лінія з нахилом –20 (дб/дек);

wÎ [w₁, w₂] – пряма лінія без нахилу;

wÎ [w₂, w₃] – пряма лінія з нахилом –20 (дб/дек);

wÎ [w₃, w₄] – пряма лінія з нахилом –40 (дб/дек);

wÎ [w₄, ¥] – пряма лінія з нахилом –60 (дб/дек);

ЛАЧХ корегованої системи:

Рис. 7. ЛАЧХ розімкненої корегованої системи.

ЛФЧХ системи складається з трьох складових j = j₁ + j₂ + j₃ + j₄.

j₁ = -arctg(1/0) = -90°;

j₂ = -arctg(0,17×w);

j₃ = -arctg(0,008×w)

Тоді маємо j(w)=– 90° – arctg(0,4×w) – arctg(0,01×w);

По одержаним залежностям будуємо графік.

Рис. 8. ЛФЧХ розімкненої корегованої системи.

12.2 Перехідна функція замкненої корегованої системи

Передавальна функція замкненої корегованої системи має вигляд:

де G₀ = T₂/T₁= 0,283/0,65 = 0,435

Маємо a = 1/р тоді

Підставивши числові значення одержимо

Запишемо характеристичне рівняння системи:

0,001132р⁴ + 0,12р³ + 0,693р² + 22,22р + 32,62 = 0

За допомогою ЕОМ знаходимо корені рівняння (19):

р₁ = –101,9;

р₂ = –2,175 – 23,961j = 24,06·e^85°j;

р₃ = –2,175 + 23,961j = 24,06·e^-85°j;

р₄ = –1,746.

Далі для знаходження оригіналу h(t) скористаємося другою теоремою Хевісайда , суть якої в наступному : якщо зображення F(p) функції f(t) має вигляд

 ;

то її оригінал дорівнює

де p_k – корені характеристичного рівняння.

В нашому випадку F₁(p) = 32,6·(0,65р + 1);

F₂(p) = 0,001132р⁴ + 0,12р³ + 0,693р² + 22,22р + 32,62;

F’₂(р) = 0,00453р³ + 0,36р² + 1,386р + 22,22.

Знайдемо значення F’₂(р_к) , де p_k – корені характеристичного рівняння.

F’₂(р₁)=0,001108(–130)³ + 0,1131 (-130)² + 0,764 (–130) + 21,4 = -600,8

F’₂(р₂)=0,001108(–2,175 – 23,961j)³ + 0,1131 (–2,175 – 23,961j)² + 0,764 · ·(–2,175 – 23,961j) +21,4 = -40,521+8,348j = 41,372e^-11,6°j

F’₂(р₃)=0,001108(–2,175 + 23,961j)³ + 0,1131 (–2,175 + 23,961j)² + 0,764 · ·(–2,175 + 23,961j) + 21,4 = -40,521-8,348j = 41,372e^11,6°j

F’₂(р₄)=0,001108(–1,746)³+0,1131(–1,746)² + 0,764 (–1,746) + 21,4=20,405

F₁(0) = 36,4F₂(0) = 36.4

F₁(р₁) = 36,4·(0,56 (–130) + 1) = -2614

F₁(р₂) = 36,4·(0,56 (–2,175 – 23,961j) + 1) = -7,935-488,421j = 488,485·e^89°j

F₁(р₃) = 36,4·(0,56(–2,175 + 23,961j) + 1) = -7,935+488,421j = 488,485·e^-89°j

F₁(р₄) = 36,4·(0,56 (-1,746) + 1) = 0,81

Знайдемо вираз для оригіналу f(t) :

h(t)=1–0,0335е ^{-130 t}+0,49(е ^{-2,175t+(0,272-23,961t)j}+ е ^{-2,175t-(0,272-23,961t)j})-0,0227e^-1,746t

h(t)=1–0,0335е ^-130t –0,0227е ^-1,746t +0,245e^-2,175t ×cos(-23,961t + 0,272)

По одержаному аналітичному виразу будуємо графік.

Перехідна характеристика замкненої корегованої системи:

Рис. 9. Перехідна функція замкненої корегованої системи

Якість перехідного процесу характеризується величинами, які визначаємо з графіку:

-  Час регулювання Т_рг = 1,4 с.

-  Перерегулювання  = 20,52

-  Логарифмічний декремент затухання d=ln(h₂/h₁)=ln(0,18/0,52)=–1,061

-  Запас за фазою – Dy(w) = ½-180° - j(w_с)½ = ½-180° – (-162°)½= 18°

-  Запас за амплітудою – DL(w)=½L(w_-180)½=12 ДБ ; (j(w_-180) = -180°)

 
Список літератури

1.  Васильєв Д.В. “Системи автоматического управления”, Москва, “Высшая школа”, 1983 г

2.  Попович М.Г “Теорія автоматичного керування ” 1994р.

3.  Галай М. В., Бреус М.І “Методичні вказівки по курсовому проектуванню з ТАК” Полтава, ПолТУ.