Розрахунок розгалуженого електричного кола

ЗАВДАННЯ № 1

Розрахувати розгалужене електричне коло методом рівнянь Кіргофа та методом контурних струмів

При виконанні необхідно:

1)  визначити струми на всіх ділянках кола;

2)  визначити напруги на ЕРС;

3)  перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою балансу потужностей;

4)  побудувати потенційну діаграму для будь-якого контура електричного кола (до контура входять 2 ЕРС, при чому один із зажимів береться як заземлений, тобто його потенціал рівний 0 ).

Розрахунок

В схемі 6 віток зі струмами І₁, І_{2, …,} І₆, довільний напрямок яких вказано стрілками.

Підставляємо ці вирази в п’яте та шосте рівняння та спрощуємо їх:

I₃ (r₃+r_1в) + (-І₂ + І₃)r₅ + (І₁ + І₃ )r₆ = E₁

I₂r₂ +(І₁ + І₂)∙(r₄+r_2в)+ (І₂ - І₃)r₅ = E₂

Звідси:

I₁r₆ -І₂r₅ + І₃ (r₃+r_1в+r₅+r₆) = E₁

І₁(r₄+r_2в) +І₂ (r₂+r_2в+r₄+r₅) = E₂

Підставляємов четверте рівняння системи та в два останні рівняння числові значення опорів та спростивши їх отримуємо систему трьох рівнянь:

I₁∙(-5)+ I₂∙8 + I₃ ∙4 = 100

I₁∙6 - I₂∙8 + I₃ ∙(3+1+8+6) = 100

I₁∙(2+1) + I₂∙(8+1+2+8) - I₃ ∙8 = 60

або

I₁∙(-5)+ I₂∙8 + I₃ ∙4 = 100

I₁∙6 + I₂∙(-2) + I₃ ∙18 = 100

I₁∙3 + I₂∙19 + I₃ ∙(-8) = 60

Записуємо цю систему в матричній формі:

∆₁ = -3240

∆₂ = 19840

∆₃ = 25220

Визначаємо струми:

I₁ = ∆₁ / ∆ = - 1,1747 А;

I₂ = ∆₂ / ∆ = 7,2145 А;

I₃ = ∆₃ / ∆ = 9,1443 А;

З виразів (1), (2), (3) знаходимо решту струмів:

І₄ = 6,0398 А

І₅ = 1,9298 А

І₆ = 7,9696 А

б) Методом контурних струмів:

В незалежних контурах направляємо в одному напрямку ( за годинниковою стрілкою) фіктивні контурні струми I_11,I_{22 ,} I₃₃ і складаємо для їх знаходження систему рівнянь, записавши їх в загальному вигляді:

r₁₁I₁₁ + r₁₂I₂₂ + r₁₃I₃₃ = E₁₁

r₂₁I₁₁ + r₂₂I₂₂ + r₂₃I₃₃ = E₂₂ (4)

r₃₁I₁₁ + r₃₂I₂₂ + r₃₃I₃₃ = E₃₃

Визначаю власні опори контурів:

r₁₁ = r₁ + r₂ + r₃ + r_1в = 17 Ом;

r₂₂ = r₃ + r_1в + r₅ + r₆ = 18 Ом;

r₃₃ = r₂ + r₄+ r_2в + r₅ = 19 Ом.

Опори взаємні для двох контурів , при однакових напрямках контурних струмів , беруться зі знаком "-":

r₁₂=r₂₁= -(r₃+r_1в) = -4 Ом;

r₁₃=r₃₁= -r₂ = -8 Ом;

r₂₃=r₃₂= -r₅ = -8 Ом.

Контурні ЕРС:

Е₁₁ = Е₁ = 100 В;

Е₂₂ = - Е₁ = - 100 В;

Е₃₃ = - Е₂ = - 60 В.

Записуємо систему рівнянь (4) в матричній формі з числовими коефіцієнтами:

∆₁₁ = 3240

∆₂₂ = -21980

∆₃₃ = -16600

Визначаємо контурні струми:

I₁₁ = ∆₁₁ / ∆ = 1,1747 А;

I₂₂ = ∆₂₂ / ∆ = - 7,9695 А;

I₃₃ = ∆₃₃ / ∆ = - 6,0398 А;

Знаходимо силу струмів кожної з віток кола через контурні струми:

I₁ = -І₁₁ = - 1,1747 А;

I₂ = І₁₁ –І₃₃= 7,2145 А;

I₃ = І₁₁ –І₂₂ = 9,1443 А;

I₄ = –І₃₃ = 6,0398 А;

I₅ = І₃₃ –І₂₂ = 1,9298 А;

I₆ = –І₂₂ = 7,9695 А;

2. Визначити напруги на ЕРС.

U₁ = E₁ – I₃∙r_1в = 100 – 9,1443∙1 ≈ 90,8587 В;

U₂ = E₂ – I₄∙r_2в = 60 – 6,0398∙1 ≈ 53,9602 В.

3. Перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою баланса потужностей.

Баланс потужностей грунтується на законі збереження енергії:

Потужність яку генерують джерела ЕРС дорівнюють сумі потужностей ,споживаних колом та потужностей втрат.

Знаходимо потужність яку генерують джерела:

P_E = І₃E₁ + І₄E₂ = 9,1443 ∙ 100 + (- 6,0398 ∙ 60) = 1277 Вт.

Знаходимо потужність , яку споживає коло:

P_R = І₁²r₁ + І₂²r₂ + І₃²r₃ + І₄²r₄ + І₅²r₅ + І₆²r₆ = (-1,1747)²∙ 5 +7,2145²∙ 8 + + 9,1443²∙ 3 + (-6,0398)²∙2 + 1,9298²∙ 8 + 7,9695²∙6 = 1157 Вт.

Потужність втрат на внутрішніх опорах джерел ЕРС:

P_∆R = І₃²r_1в + І₄²r_2в = 9,1443²∙1 + (-6,0398)²∙1 = 120 Вт.

Умова балансу потужностей виконується:

P_R+Р_∆R =1157 + 120 = 1277 = P_E

Отже, можна зробити висновок, що розрахунок кола виконаний правильно.

4. Побудувати потенційну діаграму для контура a-e-d-b-f-c-a, який включає в себе обидва джерела ЕРС.

Приймаємо потенціал вузла а , як нульовий: φ_а =0.

Тоді потенціали решти точок контура:

φ_е = φ_а – I₃r₃ = 0- 9,1443∙3 = - 27,4329 B;

φ_d = φ_e + U₁ = - 27,4329 + 90,8587 = 63,4258 B;

φ_b = φ_d – I₅r₅ = 63,4258 - 1,9298∙8 = 47,9874 B;

φ_f = φ_b - U₂ = 47,9874 – 53,9602 = - 5,9728 B;

φ_с = φ_f + I₄r₄ = - 5,9728 - 6,0398∙2 = 6,0168 B;

Перевірка:

φ_а = φ_с+ I₁r₁ = 6,0168 + (-1,1747)∙5= 0

Повний опір контуру:

r_пов = r₃ +r₅ + r₄ + r_1в + r_2в = 15 Ом.

Вибираємо масштаби m_φ= 10 В/см, m_R= 2 Ом/см та будуємо потенційну діаграму