Анализ данных в линейной регрессионной модели

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный институт электронной технки

(технический универститет)»

 

Курсовая работа

по дисциплине

«Теория вероятности и математическая статистика»

Тема работы

«Анализ данных в линейной регрессионной модели»

Выполнил:

Студент группы ЭКТ-21

Рыжов С.А.

Проверил:

Преподаватель

Бардушкина И. В.

Москва - 2010

Вариант 20.

Задание 1

 

Выполнить предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:

1  построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля);

2  группировку данных и построение корреляционной таблицы;

3  оценку числовых характеристик для негруппированных и группированных данных.

Оценка числовых характеристик для негруппированных данных:

X	Y	X	Y
4,19	9,19	4,44	9,13
3,04	11,94	11,31	4,58
4,6	8,09	7,57	3,14
9,83	10,33	1,62	14,61
8,66	7,15	5,71	6,48
1,3	12,34	11,06	6,78
4,22	16,35	10,35	2,15
5,11	7,7	2,46	9,66
9,85	5,64	1,02	11,19
8,8	4,52	5,77	7,77
12,17	4,52	8,63	4,05
11,25	2,06	6,91	4,76
5,73	7,41	3,56	8,54
4,05	10,51	9,47	2,22
5,41	9,97	6,16	3,72
1,28	14,68	8,26	3,57
1,67	9,67	6,7	14,32
11,99	3,31	4,95	10,64
7,66	5,93	3,37	10,73
5,17	9,87	1,53	10,13
3,26	11,52	9,54	4,95
12,58	2,88	3,11	5,38
8,34	3,57	5,09	5,79
5,79	4,39	11,08	3,87
3,42	9,71	8,74	-2,23
Сумма X	317.78
Сумма Y	369,18
MX	6,3556
MY	7,3836
s2X	11,02005
s2Y	15,31479
KXY	-9,1594
ρXY	-0,7194

Числовые характеристики для негруппированной выборки находятся по следующим формулам:

, ;

;

;

;

;

Построение корреляционного поля:

Построение корреляционной таблицы:

Таблица 1.1

Y X	-1.5	1.5	4.5	7.5	10.5	13.5	16.5	ni.
2.5	0	0	1	1	8	3	0	13
5.5	0	0	4	5	6	1	1	17
8.5	1	1	8	1	1	0	0	12
11.5	0	3	4	1	0	0	0	8
nj.	1	4	17	8	15	4	1	50

Оценка числовых характеристик для группированных данных:

, ;

, ;

;

;

, ;

;

;

 = - 0.87

Задание 2

 

Для негруппированных данных проверить гипотезу  об отсуствии линейной статистической связи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе ( уровень значимости α = 0,05);

Выборочное значение статистики равно

,

 

Используя средства Matlab, найдем

Так как выборочное значение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза H₀ отклоняется в сторону гипотезы H₁. Корреляция значима.

Задание 3

Для негруппированых данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции ρ_X,Y, при уровне значимости α = 0,05.

Используя средства Matlab, найдем

,

,

 

Задание 4

 

Для негруппированных и группированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.

Рассмотрим вначале случай негруппированных данных.

Этот интервал не содержит нуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляция между X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.

,

y(x) = 12,77 – 0,848*x;

x(y) = 10,86 – 0,6*y;

Проверка.

, .

, ;

,

, ;

Случай группированных данных.

Подставим найденные значения  в уравнеиня линейной регрессии Y на x и X на y. Получим:

 

y(x) = 17,14 – 1,4*x;

x(y) = 10,83 – 0,54*y;

Проверка:

 

Задание 5

 

Для негруппированных данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеивания.

Задание 6

 

Для негруппированных данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s² для дисперсии ошибок наблюдений σ², найти коэффициент детерминации R², построить доверительные интервалы для параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ² и среднего значения Y при x = x₀ .

Для негруппированных данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов регрессии: , , , , , , , .

Используя соотношение , вычислим остаточную сумму

;

;

;

.

;

Тогда оценка дисперсии ошибок наблюдений равна

.

Коэффициент детерминации равен

 

.

Поскольку (знак ), то сделаем проверку правильности расчетов:

(верно).

Полученный результат для коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии  на 49,7% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .

Построим доверительные интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.

С помощью Matlab найдем квантили распределений Стьюдента и :

, , ;

– доверительный интервал для параметра :

;

;

– доверительный интервал для параметра :

;

;

– доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений :

;

.

-Найдем границы доверительных интервалов для среднего значения  при :

 

;

.

Задание 7. Для негруппированных данных проверить значимость линейной регрессии Y на x (уровень значимости α = 0,05).

Гипотеза :  отклоняется на уровне значимости , так как доверительный интервал  не накрывает нуль с доверительной вероятностью 0,95.

Этот же результат можно получить, используя для проверки гипотезу :  и статистику .

С помощью Matlab найдем квантили распределения Фишера:

, .

Выборочное значение статистики  равно:

.

Поскольку , то гипотеза :  отклоняется на уровне значимости . Таким образом, линейная регрессия  на  статистически значима.

Задание №8

 

Для данных, сгруппированных только по , проверить адекватность линейной регрессии  на  (уровень значимости ).

Для проверки адекватности воспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интервалов группировки , , являются значениями компоненты . Тогда число  повторных наблюдений равно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы

 

Таблица 1.2

	2,5	5,5	8,5	11,5
	11,94 12,34 14,68 9,87 11,52 9,71 14,61 9,66 11,19 8,54 10,73 10,13 5,38	9,19 8,09 16,35 7,70 7,41 10,51 9,97 9,87 4,39 6,48 7,77 4,76 3,72 14,32 10,64 5,79 9,13	10,33 7,15 5,64 4,52 4,52 3,57 3,14 4,05 2,22 3,57 4,95 -2,23	4,52 2,06 3,11 2,88 4,58 6,78 2,15 3,87
	13	17	12	8
	10,79	8,59	9,65	3,74

Для удобства расчетов в последней строке таблицы приведены средние значения , .

.

Получим уравнение выборочной линейной регрессии  на  для данных, сгруппированных по :

;

, , , , ;

y(x) = 8,29 – 0,9x.

;

.

Выборочное значение статистики  равно

.

Так как квантиль распределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен

3,19,

то , а значит, линейная регрессия  на  для данных, сгруппированных по , адекватна результатам наблюдений.

Задание 9. Для негруппированных данных проверить гипотезу : при альтернативной гипотезе : (уровень значимости )

Имеются следующие величины: , , , , .

Сначала проверяется гипотеза :, альтернативная гипотеза :.

Статистика равна

 = 1,931

С помощью средств Matlab, найдем:

F_0,975 (n-1; n-1)=F_0,975 (49,49) = 1.7622

z > F_0,975 (n-1; n-1),

 

следовательно отклоняется, а значит что

Теперь можно проверить гипотезу, :, при альтернативной гипотезе :.

Т.к. , статистика имеет вид

 = 1,418

Найдем количество степеней свободы

≈3,625

С помощью средств Matlab, найдем:

z < , значит нет оснований отклонять гипотезу :.

Приложение

A = [ 4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.41 1.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.71 11.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.53 9.54 3.11 5.09 11.08 8.74;

 9.19 11.94 8.09 10.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.31 5.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.66 11.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.79 3.87 -2.23]

 x = A(1,:);

 y = A(2,:);

 Mx = mean(x)

 Dx = var(x,1)

 My = mean(y)

 Dy = var(y,1)

 plot(x,y,'g*')

 grid on

 hold on

 axis([1 13 -3 18]);

 

 gca1 = gca;

 set(gca1,'xtick',[1 4 7 10 13],'ytick',[-3 0 3 6 9 12 15 18]);

 

 xlabel('X');

 ylabel('Y');

 

 z = 12.77 - 0.848*x; %построение регрессии Y на x

 Zplot = plot(z,x);

 set(Zplot,'Color','Red','LineWidth',[2])

 hold on

 

 text(12, -1,'x(y)');

 text(11.8, 2,'y(x)');

 

 t = 10.86 - 0.6*y; %построение регрессии X на y

 Tplot = plot(t,y);

 set(Tplot,'Color','Red','LineWidth',[2])

 

 hp = line([1 6.36],[7.38 7.38]); %эти прямые показывают положение

 set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5]) %среднего выборочного

 hp = line([6.36 6.36],[-3 7.38]);

 set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])

 

 K = cov(x,y) %находим ковариацию

 DEtK = det(K)

 

 M = corrcoef(x,y) %коэффициент корреляции

 detM = det(M)