Докажите. Что в прямоугольном треугольнике произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту к ней. Найдите площадь треугольника

1. Докажите. Что в прямоугольном треугольнике произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту к ней. Найдите площадь треугольника.

2.  Найдите площадь правильного треугольника, если радиус вписанной окружности равен  см.

3.  Вычислите периметр прямоугольника, если его площадь 375 дм², а одна сторона составляет 60% другой.

4.  Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его на 0,8 дм больше катета, а другой катет равен 20 см.

Цель уровневой дифференциации - достижение всеми школьниками базового уровня подготовки, представляющего собой государственный стандарт образования, и одновременно создание условий для развития учащихся, проявляющих интерес и способности к математике. В соответствии с этим и контроль должен иметь двухступенчатую структуру. А именно, в ходе контроля необходимо выделять два принципиальных подхода – проверку достижения уровня обязательной подготовки и проверку достижения на повышенном уровне. Например, по теме «Квадратные уравнения» Лазарева Т. для зачета предлагает использовать следующие виды заданий:

Обязательная часть

1. Решите уравнения:

а) 2x-x²=0; в) 3x²+5x-2=0;

б) x²-16=0; г) x²-3x-1=0.

Дополнительная часть.

2.  Решите уравнение (2x-4)(x-3)=5(6-2x).

3.  Сумма двух последовательных натуральных чисел на 71 меньше их произведения. Найдите эти числа.[17]

Приведем пример текста контрольной работы по алгебре в VΙΙ классе по теме “Преобразование целых выражений”, предложенный Морозовой Л.В. [24] Первый вариант – на уровне обычного государственного стандарта, второй – на повышенном уровне сложности.

Вариант 1

1. Упростите выражение:

а) 2c(1+c)-(c-2)(c+4);

б) (y+2)²-2y(y+2);

в) 30x+3(x-5)²;

г) (b²+2b)²-b²(b-1)(b=1)+2b(3-2b)².

2. Разложите на множители:

а) 4a-3a³; б) ax²+2ax+a;

в) 16 - y⁴; г) a+a²-b-b².

4.  Докажите, что выражение c²-2c +12 может принимать лишь положительные значения.

Вариант 2

1. Докажите, что при любом целом n значение выражения

(2n-3)²-(4n-1)(n+6) кратно 5.

2. Какое значение принимает выражение a(a+2)+c(c-2) – 2ac при a - c=7?

3. Найдите наименьшее значение выражения 4x²-4x+11.

4. Докажите, что если к произведению трех последовательных чисел прибавить среднее из них, то получится куб среднего числа.

5. Разложите на множители:

а) a²+4ab-3a²b-6ab²+4b²; б) (a+b+c)² - (a-b-c)².

Внутриклассная индивидуализация учебной работы.

Необходимость во внутриклассной индивидуализации тем настоятельнее, чем более разнородный класс служит объектом такой индивидуализации. В таком классе индивидуализация может происходить во всех трех формах классной работы: фронтальной, групповой, индивидуальной.

Возможности индивидуального подхода во фронтальной работе в отечественной дидактике 50-х годов изучал В.И.Гладких. В его исследовании принимались во внимание в основном индивидуальные особенности учащихся при опросе во всех звеньях учебного процесса. Кроме методики опроса, разработанной Гладких, для этого подходят и следующие приемы: использование различных уровней рассказа в устном изложении учителя, т.е. учитель в начале упрощает свой материал, а затем усложняет его; применение учебной беседы, в ходе которой учеников провоцируют на выдвижение проблем и демонстрацию своих дополнительных, внепрограммных знаний; учет индивидуальных различий в ролевой игре, в дискуссии и т.д.

Начиная с 60-годов, основные возможности индивидуализации в советской педагогике усматриваются в самостоятельной работе школьников (это понятие зачастую используется как синоним индивидуальной работы).

В качестве основной возможности индивидуализации при фронтальной работе в зарубежной педагогике выделяется учебная беседа. В беседе ученику дается возможность свободно выразить свои мысли, связанные с его личным опытом и интересами.

Ряд возможностей индивидуализации представляет и групповая работа. В малой группе учащийся находится в более благоприятных, чем при фронтальной работе всем классом, условиях в отношении возможности действовать в соответствии со своей индивидуальностью. В беседе внутри малой группы он может высказывать свое мнение, активнее участвовать в решении учебных задач в соответствии со своими интересами и способностями. Особенно благоприятные возможности для индивидуализации представляют группы, которые структурированы определенным образом. Это, прежде всего, группы, которые сформированы учителем на основании уровня развития учащихся (обычно уровня знаний и/или умственных способностей). В таких случаях более сильной группе предоставляются более сложные задания, а более слабой – задания полегче. Группа может быть сформирована и на основании пожеланий самих учеников. В таком случае совместно работают учащиеся со сходными интересами, стилем работы и связанные дружескими отношениями. Работа в такой группе создает особо благоприятные условия для проявления личных качеств. Кроме того, здесь можно предложить группам задание по выбору.

Наиболее широкие возможности для индивидуализации обучения представляет индивидуальная самостоятельная работа, которая проходит в одиночестве и в индивидуальном темпе. Самостоятельная работа учащихся – это такой способ учебной работы, где

1)  учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения;

2)  работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его руководством;

3)  выполнение работы требует от учащегося умственного напряжения.

В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное задание, которое предполагает выполнение определенной письменной работы, учащимся даются не одинаковые задания, которые варьируются в зависимости от индивидуальных особенностей учащихся, а также путем группировки учащихся внутри класса по различным признакам.

Следует заметить, что коллективные методы работы органически сочетаются с групповыми и индивидуальными. Практически это осуществляется так: в начале урока учитель ставит перед всеми учениками ту или иную задачу (усвоить какие-то знания, овладеть какими-то умениями и навыками) и начинает коллективную работу со всем классом. По мере того как часть учеников овладевает содержанием материала, изучаемого фронтально, учитель дает им самостоятельные задания (работа с книгой, выполнение каких-то заданий и т.д.), а сам продолжает отрабатывать материал с остальными учащимися. После того как учитель убедился, что материал усвоен следующей группой учащихся, он предлагает им самостоятельную работу по закреплению и углублению полученных знаний, умений, навыков и и продолжает заниматься с оставшимися учениками. Когда материал усвоили и они, им тоже дается самостоятельное задание (учитель в это время просматривает работы, выполняемые учениками первых двух групп). К концу урока ученики всех групп усваивают материал.

Важной составной частью учебного процесса являются домашние задания.

Известно, что усвоение знаний учащимися, приобретение умений и навыков в основном происходит на уроке.

Однако, ограниченность урока во времени не предоставляет возможности продолжать работу по дальнейшему осмысливанию и закреплению нового материала. Поэтому работа переносится на дом.

Значение домашних заданий исключительно велико. Домашние задания создают условия для ликвидации известного отрыва в изложении учебного материала, устраняют фрагментарность в овладении учащимися знаниями и умениями, устанавливают определенную связь между уроками данного предмета.

Выполнение домашних заданий носит, как правило, индивидуальный характер и рассчитано на полную самостоятельность учащегося.

При выполнении домашних заданий индивидуальные особенности учащегося, его отличия в обучаемости должны проявляется еще в большей степени, чем в классе. Кроме того, на качество выполнения домашних заданий может оказать решающее влияние место, время и различные обстоятельства домашних условий работы. К тому же многие учащиеся дома оказываются вне всякого контроля, им предоставляется полная свобода в учении.

Все это обуславливает необходимость и обязательность последовательного осуществления индивидуального подхода к учащимся при домашних заданиях.

Рабунский Е.С. пишет: «Индивидуализация домашних заданий осуществляется, прежде всего, посредством:

1)  частичной индивидуализации общеклассного домашнего задания,

2)  применения индивидуальных и групповых домашних заданий,

3)  применения, наряду с обязательными домашними заданиями, также не обязательных («желательных») заданий и рекомендаций,

4)  применения «текущих» индивидуальных заданий и рекомендаций в ходе выполнения учащимися заданий, рассчитанных на длительную подготовку («отсроченных заданий»)».

Прохождение учебного курса в индивидуально различном темпе.

Обучение в индивидуальном темпе, пожалуй, самая старая форма индивидуализации. До возникновения классно-урочной системы использовалась именно эта форма, да и иначе не могло быть. Когда учитель занимался с каждым учеником, он неизбежно должен был считаться со скоростью его восприятия, мышления, усвоения учебного материала.

В настоящее время этот способ представляет собой сравнительно мало используемую форму индивидуализации обучения. Если курс проходится в замедленном темпе, то мы имеем дело с ретардацией, если же в убыстренном темпе – с акселерацией.

В массовой школе индивидуальный темп обучения можно обеспечить, как считают учителя, лишь в течение небольшого промежутка времени. В противном случае возникают трудности для возврата к общеклассной работе, поскольку различия в прохождении программы становятся слишком большими.

Ретардация, или прохождение школьного курса в замедленном темпе, используется при повторении курса, а также во вспомогательных школах (для детей с расстройствами слуха и зрения, олигофренов и т.д.), где в дополнении к необходимости приспосабливаться к дефектам детей учебная работа проводится в замедленном темпе, сопровождаясь при этом упрощением учебных программ. С ретардацией мы имеем дело и в том случае, когда ребенок с низкой школьной зрелостью принимается в школу позже, чем это предусмотрено школьным законодательством. Школьная зрелость трактуется как комплексное понятие, охватывающее умственную, социальную, эмоциональную и физическую зрелость.

Таким образом, при ретардации учитывается более слабая подготовленность и более низкий уровень развития ребенка.

Повторение курсов обучения (второгодничество) задерживает развитие ребенка на целый учебный год. Его цель – заставить отстающего ученика в течение целого учебного года повторять учебные курсы, чтобы таким образом он получил возможность обучаться в следующем классе. Скрытой целью здесь является побуждение школьников лучше учиться, ибо в противном случае им грозит второгодничество. Многие исследования показывают малую эффективность повторения курсов обучения. Например, по данным А.А.Бударного, у 16,6% учащихся–второгодников успеваемость не повысилась.

Именно из-за малого развивающего эффекта повторения курсов обучения оно во многих странах ликвидировано. Отстающих учащихся также переводят в следующий класс, причем используются два варианта: 1)ученик переводится в обычный класс, и необходимость индивидуализации здесь возрастает; 2)слабоуспевающие школьники переводятся в такой поток, где учебная работа проводится на более низком уровне.

В советской школе практиковался перевод в следующий класс учащихся с одной неудовлетворительной оценкой с условием, чтобы эта оценка была исправлена в течение определенного периода следующего учебного года.

Акселерация (ускорение темпов обучения). В школьной практике используются следующие виды акселерации: 1)раннее поступление в школу; 2)перескакивание через класс; 3)формирование школ и классов с ускоренным обучением; 4)акселерация по отдельным предметам или группам предметов.

При раннем поступлении в школу детей принимают не на основании их возраста, а на основании их более высокой школьной зрелости.

Из исследований в этой области сделаны следующие заключения. Раннее поступление в школу оправдывает себя в том случае, когда умственное развитие ребенка значительно выше среднего, а остальные компоненты – по меньшей мере нормальные. Было опровергнуто мнение, что ребенок, поступивший в школу раньше, не может приспособиться к коллективу старших его по возрасту и что это в дальнейшем может затормозить его развитие и снизить успеваемость. Но кроме умственной зрелости должны по меньшей мере соответствовать возрасту, т.е. не должны быть недоразвитыми, и другие компоненты школьной зрелости. Иначе у детей, рано поступивших в школу, могут возникнуть трудности. Умеренная акселерация, особенно в случаях одаренных детей, не только желательна, но и необходима. Оставление ребенка, достигшего школьной зрелости, в детском саду или дома из-за недогрузки его умственной сферы будет тормозить его развитие и приведет его к умственной лени, начиная уже с раннего возраста.

Перескакивание через класс – организационно наиболее удобный вид акселерации для школы, однако, не для школьника. Желающим здесь дается возможность самостоятельно усвоить учебные курсы старшего класса и тем самым пропустить этот класс. Школа помогает ему консультациями. Этот вид акселерации считается все-таки нежелательным, так как он требует от учащегося слишком большой самостоятельности, способствует при этом поверхностному и неполному усвоению предметов. Такое перескакивание можно рекомендовать только особо одаренным учащимся в случае, если другие возможности акселерации учебной работы отсутствуют.

Школы и классы с ускоренным обучением создавались на уровне как начальной, так и средней школы. Они предназначены для более сильных по умственным способностям учащихся. Например, создавались школы, где 6-летний курс проходился за 5 лет или 8-летний – за 7 лет. В таком случае вся школа (класс) постоянно работает в более высоком темпе, чем обычная школа. Такой способ не требует от учащихся большей самостоятельности, но зато необходима большая выносливость, чтобы выдержать убыстренный темп.

С целью ускоренного прохождения отдельных предметов или групп предметов для особо способных учащихся (имеющих специальные способности в какой-то конкретной области) создаются специальные групп, которые обучаются отдельно в ускоренном темпе. Остальные предметы эти учащиеся изучают вместе со сверстниками в обычном темпе. Освободившееся время используется ими для изучения какого-либо дополнительного курса.

Ускоренное прохождение учебного предмета можно встретить и в классах с углубленным изучением отдельных предметов, где освобождающееся время используется для более глубокого изучения профилирующих предметов.

В заключение следует отметить, что различные виды акселерации в современной школьной системе заслуживают гораздо большего внимания, в особенности различного рода комбинации акселерации с другими формами индивидуализации обучения. Потому что при акселерации

1)  в результате большого умственного напряжения находят посильное применение способности учащихся,

2)  учащиеся выигрывают по времени и раньше получают свою академическую специальность.

Комбинации основных форм индивидуализации учебной работы.

В дополнении к трем основным формам индивидуализации используются также и различные их комбинации.

Одной из основных возможностей в этом отношении является создание постоянных или временных относительно гомогенных групп, по какому либо предмету или разделу, причем учащиеся, составляющие эти группы, по остальным предметам будут заниматься в своих обычных классах. Этим достигаются сразу две цели:

1)  преодолеваются те воспитательные и организационные недостатки, которые были присущи гомогенным классам;

2)  одновременно здесь появляется возможность более гибко, чем в обычных классах, учитывать индивидуальные особенности учащихся.

В отечественной школьной системе использование некоторых из этих вариантов прямо предусмотрено учебным планом, а именно формирование групп по интересам при преподавании факультативных курсов. Задачи факультативов – развитие разносторонних интересов и способностей учащихся и их профессиональной ориентации.

Специфика факультативных курсов в индивидуализации учебной работы заключается в том, что учащиеся получают здесь более широкие и глубокие знания, чем это предусмотрено обязательной школьной программой в тех областях, которые соответствуют интересам и специальным способностям учащихся, выбравших их.

Факультативные курсы по математике предполагаются двух видов.

Первый – это «Дополнительные главы и вопросы математики», цель которых расширить и углубить знания учащихся по обязательной для всех программе, изучение вопросов, примыкающих к программным или раскрывающих приложения математики. Второй – небольшие специальные курсы, знакомящие учащихся (в основном старших классов) с некоторыми областями современной математики (векторная алгебра, математическая логика и др.).

В современной школе весьма актуальными стали альтернативные предметы. В случае факультативных предметов у школьников есть возможность свободного выбора: он должен решить, изучать какой либо предмет или нет. При альтернативных же предметах он обязан выбрать один из предложенных предметов. С одной стороны, это лишает ученика возможности отказаться от изучения какого-либо предмета вообще, что в воспитательном смысле необходимо именно при пассивных и ленивых учениках. С другой стороны, это активизирует учащихся, ставит их перед необходимостью осуществить выбор.

В старших классах заслуживает внимания использование таких различных видов обучения, которые расширили бы возможности творческой, самостоятельной работы учащихся и способствовали бы их занятиям в собственном индивидуальном стиле. Так ученик может изучать какой-либо предмет самостоятельно при условии своевременной сдачи соответствующего зачета.

§2 Анализ опытной работы.

Некоторые положения по индивидуализации и дифференциации, высказанные выше, были проверены в ходе педагогической практики в школе №27 г. Кирова в 2002 году.

Главной целью опытной работы было проверить влияние некоторых форм и методов индивидуализации на развитие учащихся, используя такие показатели как обученность, познавательный интерес и возможности прохождения некоторых тем математики в различном темпе.

Опытная работа проводилась в 11^д классе школы №27. В классе 28 учеников. Из них на 4 и 5 учились 10 человек, на 4 и 3 – 15 человек, на 3 – 3 человека, отличников и неуспевающих не было. Наблюдения и беседы с учащимися показали, что у 5 учеников имелся познавательный интерес к математике.

В начале опытной работы была проведена самостоятельная работа на применение правил дифференцирования: нахождение производной суммы двух функций и вынесение константы за знак производной. Задания были дифференцированные. На оценку 3 нужно было выполнить задания №1-5, (вычислить производные данных функций). На 4 – задания №1-5 и задание №6. на 5 – задания №1-6 и №7.

Приведем пример одного варианта.

Вычислить производные следующих функций:

№1 f(x)=13x-8;

№2 f(x)=6x⁴+9x²-10x;

№3 f(x)=(2x)¹⁵;

№4 f(x)=(3x+2)⁴;

№5 f(x)=.

№6 Решить уравнение f ^'(x)=0, если f(x)=x³-x²-3x.

№7 Найти f ^'(4), если f(x)=.

Были получены следующие результаты:

все задания (оценка 5) выполнили 4 ученика;

задания №1-6 (оценка 4) выполнили 10 учеников;

задания №1-5 (оценка 3) выполнили 11 учеников;

не справились с заданием 3 ученика.

Исходя из уровня развития, учащихся была продумана система индивидуальных и групповых заданий, а также работа факультатива.

Например, на уроке по теме «Правила дифференцирования» (урок закрепления) пятерым более сильным учащимся были выданы индивидуальные карточки со следующими заданиями:

Даны функции g(x)=

h(x)=2x³+4x²-2x+7

t(x)=(3x+1)³

1) Найти

1.  (g(x)·t(x))';

2.  g'(1);

2)Решить уравнение t'(x)=0.

Трое из них успешно справились с этими заданиями.

Использовался и такой прием: задания всему классу дополнялись заданиями, которые могли выполнить те, кто быстрее мыслит, глубже знает математику и проявляет к ней интерес. Так на уроке по теме «Производная сложной функции», тем, кто усвоил новый материал и выполнил основные задания быстрее остальных, были предложены дополнительные задания.

Вычислить производные функций:

f(x)=;

h(x)=(x³+3x-1)².

Четыре ученика выполнили основные задания и успешно справились с дополнительными.

При проведении проверочной работы по теме «Правила дифференцирования» также было дано дополнительное задание, решение которого предполагало нахождение производной в измененной ситуации.

Проверочная работа (1 вариант).

1.  Решить уравнение f ^'(x)=0, если f(x)=.

2.  Найти f ^'(x₀), если f(x)=, x₀=2.

3.  Решить неравенство: f ^'(x)≥0, если f(x)=.