Разработка математической модели электронного устройства

Курсовая работа

по курсу

“Моделирование в электронике”

”Разработка математической модели электронного устройства"

Содержание

Введение

1. Анализ поставленной задачи

2. Расчет переходного процесса на основе численных методов решения дифференциальных уравнений

2.1 Разработка математической модели и её решение с использованием метода пространства состояний

2.2 Составление математической модели с помощью матрично-векторного метода

3. Разработка алгоритма и программ модели

4. Исследование схемы в частотной области

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Развитие вычислительной техники и повышение требований к разрабатываемой электронной аппаратуре выдвинули на первый план создание систем автоматизированного проектирования. До начала шестидесятых годов вычислительные методы использовались при анализе и проектировании цепей крайне незначительно. Квалифицированный инженер мог синтезировать простые цепи, пользуясь минимумом вычислений. Он создавал макет схемы, производил измерения и различные модификации и в результате получал конечный вариант цепи. За последние годы ситуация значительно изменилась. Появились интегральные схемы и стали доступными ЭВМ. Оба эти обстоятельства повлияли друг на друга. Интегральные схемы сделали возможным производство более совершенных и дешевых ЭВМ, а те, в свою очередь, облегчили проектирование новых интегральных схем. Относительно дешевые ЭВМ стали широкодоступными, так что малые фирмы и даже индивидуальные пользователи могут себе позволить их иметь. Несомненно, что в этой связи вычислительные методы будут иметь все большее значение. Рассмотрев эту проблему под другим углом зрения, можно заключить, что технологический прогресс сделал возможным проектирование больших функциональных блоков, содержащей в одной схеме тысячи взаимосвязанных транзисторов. Очевидно, разработка такой схемы невозможна при экспериментальной отладке на макете. Изучением методов разработки моделей, электронных компонентов, их устройств, а также решением этих моделей и определением их параметров занимается моделирование. Моделирование - это исследование каких-либо явлений, процессов или систем путём построения и изучения их моделей, использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструированных объектов.

Модель (фр. modele, лат. modulus) - образ (аналог, изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т.п.) какого-либо процесса, объекта или явления, используемый в качестве его заместителя. Для анализа физических систем с использованием цифровых, аналоговых или гибридных ЭВМ применяется метод математического моделирования. Это описание поведения физической системы при помощи математических уравнений или соотношений называется математическими моделями. Воспроизведение математической модели на ЭВМ называется машинным моделированием. При этом машина становится рабочей моделью физической системы. Определение переменных математической модели, взаимосвязанных с переменными изучаемого физического процесса и отражающихся основным законом его поведения при заданных начальных условиях и внешних воздействиях, даёт решение задачи моделирования. При решении задачи моделирования выполняются следующие этапы:

постановка задачи;

получение математической модели;

выбор и применение метода решения;

разработка алгоритма решения;

написание программы на ЭВМ;

отладка программы, корректировка ошибок;

реализация программы на ЭВМ, расчет и оценка результатов.

Результат реальных измерений исследуемого явления или объекта и результаты расчета на ЭВМ обрабатываются, сравниваются и рассчитываются поправки к математической модели. Учёт поправок приводит к более точной математической модели. Этот замкнутый процесс повторяется до тех пор, пока не достигается требуемая точность совпадения реальных и имитационных данных. Важным характером математической модели является степень её адекватности реальному процессу и её реализуемость на имеющихся технических средствах.

1. Анализ поставленной задачи

Согласно варианта задания №25 в рамках курсовой работы необходимо произвести следующие расчеты для схемы рис.1.1:

Рисунок 1.1 - Структурная схема устройства

1) Определить длительность и вид переходного процесса при подаче на вход схемы единичного скачка напряжения (найти ) рис.1.2

Рисунок 1.2 - График зависимости U_вх от t

2) Рассчитать частотные характеристики цепи. Определить АЧХ и ФЧХ.

3) Проанализировать зависимость вида переходного процесса от параметров схемы.

2. Расчет переходного процесса на основе численных методов решения дифференциальных уравнений 2.1 Разработка математической модели и её решение с использованием метода пространства состояний

При рассмотрении физической системы как объекта исследования или проектирования целесообразно распределить все переменные, характеризующие систему, или имеющие к ней какое-либо отношение на три множества:

1) Входные переменные, характеризующие внешнее воздействие на входы системы.

2) Переменные состояния - внутренние (промежуточные) переменные, совокупность которых полностью характеризует свойства системы.

3) Выходные переменные, представляющие реакцию системы на внешние воздействия и те состояния системы, которые представляют интерес для исследователя.

Собственно система, её входы и выходы - это три взаимосвязанных объекта, которые в каждом конкретном случае однозначно описывают систему. В зависимости от того, какой из объектов подлежит определению при остальных двух заданных различают три типа задач исследования проектирования: анализ, синтез и измерения. Решение любой из этих задач связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний.

Переменными состояниями динамической системы является минимальный набор переменных или чисел, содержащих информацию о предыстории системы, достаточную для полного определения её поведения в настоящий и будущий момент времени при известных возмущениях, воздействующих в настоящий момент. Они выбираются так, чтобы имели физический смысл.

Выбор переменных состояний не является однозначным, т.е. разные наборы переменных состояний дают разные описания одного объекта. Уравнения, описывающие поведение системы и определяющие всю вышеуказанную информацию, называются уравнениями состояния.

Для схемы устройства, приведенной на рис.2.1, получим выражение для передаточной функции, которая представляет собой отношение выходного сигнала ко входному, преобразованные по Лапласу при начальных нулевых условиях. Для этого составим систему уравнений, используя метод контурных токов.

Рисунок 2.1 - Структурная схема устройства

Составляем уравнения для каждого

Выражаем из системы

 

Перейдём от передаточной функции W (p) к дифференциальному уравнению.

Представим дифференциальное уравнение во временной области:

 

 или

где: А₂=4R²C²A₁=6RCA₀=1

Полученное дифференциальное уравнение является математической моделью и описывает поведение анализируемого устройства. Решим эту математическую модель с использованием метода пространства состояний.

Уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Приведём его к системе уравнений первого порядка и решим эту систему.

Выражаем дифференциальное уравнение относительно старшей производной:

 

Осуществляем цепочку замен:

Пусть ,

тогда

По полученной системе уравнений сформируем структурную схему нашей математической модели, где операцию интегрирования обозначим с помощью интегратора.

Рисунок 2.2 - Структурная схема алгоритма решения нашего дифференциального уравнения

Запишем матрицу коэффициентов переменных состояний:

 

На следующем этапе анализа системы составляем строки для подпрограммы, реализующей метод Рунге-Кутта, осуществляем запуск программы и получаем результат в виде числового и графического материала.

Для анализа системы зададимся в исходном случае следующими значениями сопротивления и ёмкости: R = 100 Ом; С = 0,1 Ф.

Тогда коэффициенты в матрице будут иметь следующие значения:

A₀ = 1; A₁ = 60 (Ом×Ф); A₂ = 400 (Ом×Ф) ²

Составляем строки для подпрограммы:

500 F (1) =H*y2

510 F (2) =H*Y (3)

520 F (3) =H* (-A0/A2Y ())

Осуществляем запуск программы RUNKUT. BAS (приложение 2), в режиме диалога вводим следующие значения:

МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ N УРАВНЕНИЙ

НАЧ. И КОН. ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА (X,XK)? 0,50

КОЛИЧЕСТВО ФУНКЦИЙ N? 2

ВВЕДИ КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК М? 1500

ЧЕРЕЗ СКОЛЬКО ТОЧЕК ВЫВОДИТЬ НА ЭКРАН?? 150

НАЧ. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Y (1) =? 0

Y (2) =? 0

В результате получаем решение (приложение 3, а).

Определим длительность переходного процесса, как , где r_min - минимальный корень соответствующего характеристического уравнения, которое мы получим, если приравняем левую часть нашего неоднородного дифференциального уравнения к нулю, если корни действительные и вещественная часть корня, если корни комплексные.

Соответственное характеристическое уравнение имеет вид:

 

Корни этого уравнения будем искать по формуле:

 

Где: A₀ = 1; A₁ = 60; A₂ = 400

То есть:

То есть время переходного процесса:

Увеличиваем емкость С в 5 раз: R = 100 Ом; С = 0,5 Ф.

Тогда коэффициенты в матрице будут иметь следующие значения:

A₀ = 1; A₁ = 300 (Ом×Ф); A₂ = 10000 (Ом×Ф) ²

Составляем строки для подпрограммы: