Радиогеохимический эффект можно применять при исследованиях в интервале пластов, не вскрытых перфорацией

5. Радиогеохимический эффект можно применять при исследованиях в интервале пластов, не вскрытых перфорацией.

2. Основные уравнения

Содержанием этой главы являются основные понятия и уравнения, и их решения, необходимые разработки теории на основе математической модели.

2.1. Уравнение неразрывности

В замкнутой изолированной системе полная масса остается постоянной, т.е. она не возникает и не исчезает сама по себе.

Закон сохранения массы означает, что для любого  с поверхностью  изменение массы в  должно равняться количеству массы протекающему через .

Плотностью  в точке  пространства называют предел отношения массы  в элементарном объеме  этому объему, охватывающему точку , при стягивании его в эту точку, т.е.:

,

(2.1)

Тогда

,

(2.2)

где m - интегральный параметр, удовлетворяющий закону аддитивности,  -локальный параметр.

Выделим в пространстве неподвижную замкнутую поверхность  ограничивающую объем . Каждой точке выделенного объема  сопоставим вектор .

Рис.3.

 

Выберем на поверхности  ориентированный элемент поверхности, где – вектор внешней нормали,  - площадь выбранной площадки.

Тогда через элемент площади  входит или выходит количество массы сплошной среды , где – вектор потока массы.

Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы

(2.3)

Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде:

(2.4)

В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если  образует с  острый угол, т.е., то  проходит через  изнутри наружу, т.е. масса в  убывает.

(2.5)

Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной форме.

Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по  как по параметру (поскольку  не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция  зависит от переменной интегрирования, получим:

(2.6)

Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим

(2.7)

где

Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим

(2.8)

Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем

(2.9)

Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.

2.2. Закон Фика

 

Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала  

В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид

(*)

где  – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде

(2.10)

– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:

(2.10*)

 – коэффициент концентрационной диффузии, (далее  будем опускать).

Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком.

Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим

(2.11)

Подставим (2.11) в (2.9), получим

(2.12)

В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

(2.13)

Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение).

Из выражения (2.13), получим

(2.14)

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

Условие не сжимаемости жидкости:

(2.15)

Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим

(2.16)

Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):

(2.17)

 

2.3. Уравнение конвективной диффузии

Пусть имеется раствор с плотностью растворителя  и плотностью растворенного вещества –, тогда плотность раствора запишется в виде

(2.18)

 Запишем уравнение неразрывности для растворителя:

(2.19)

Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал.

Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е.  не зависит от пространственных координат и

(2.20)

Тогда из выражения (2.19), получим

(2.21)

Запишем уравнение неразрывности для раствора:

(2.22)

В (2.22) подставим (2.18), получим

Учитывая (2.20), (2.21) и независимость  от пространственных координат, получим

(2.23)

Опустим штрих, предполагая в дальнейшем  – плотность примеси.

(2.24)

Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:

Первое слагаемое  описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;

Второе слагаемое  отвечает за конвекцию;

Третье слагаемое  отвечает за диффузию.

Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.

На практике в (2.24) слагаемым  можно пренебречь, в силу его малости.

2.4. Метод характеристик

Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется

.

(1)

Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).

 

Задача Коши для уравнения (1).

Требуется найти функцию , где  и удовлетворяющую условиям:

(2)

Получим решение задачи методом характеристик.

Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных  и  к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:

.

(3)

Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:

(4) (5)

где уравнение (4) – уравнение для характеристик.

Из (5) следует, что , где  некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Из (4) получаем

.

(6)

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости ,, т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).

Пусть при , , т.е.

;
.	(7)

Подставляя (7) в (2), получим

.

(8)

Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:

,	(9)
.	(10)

Подставим уравнение (10) в (9), получим

.

(11)

Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).

Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью .

Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)

,,,	(1)
.	(2)
.	(3)

 

Рис.4.

На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при  начальное условие, а при  граничное условие,  граничная характеристика.

Для задачи Коши решенной ранее,

О  а)   О  б)  Рис. 5

(или ) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие .  Если  (), то будет влиять только граничное условие .

Получим решение для граничного решения.

(5)

Запишем уравнения (1) в виде

(6) (7)

Из (6) следует, что , где .

Учитывая (3) получим .

Интегрируя (7) получаем

.

(8)

Пусть при ,  тогда

(9)

Разделим обе части (9) на  получим

.

(10)

При ,

.

(11)

Подставляя (11) в (3) получаем

.

Тогда решая систему

получаем решение граничной задачи в виде

.

(12)

В (12) .

Решение начально-краевой задачи будет иметь вид

,

где , единичная функция Хевисайда.

 

Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения

Построим формулу Даламбера для уравнения

, ,

(1)

Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.

.

(2)

Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:

(3) (4)

Интегрируя (4), получим

(5)

Пусть при , , тогда

.

Подставим (5) в (3), получим

.
,	(6)
,	(7)
.	(8)

Исключим в (6)  для этого учтем начальное условие (7).

,
.	(9)

Подставим (9) в (6), получим

,
.	(10)

Исключим в (10)  и , потом :

.

(11)

Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения).

Покажем что (11) является решением (1).

Продифференцируем формулу (11) по , получим

.

(12)

Продифференцируем формулу (11) по , получим

.

(13)

Подставляя (13) и (12) в (1), получаем

.

Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).

Начально-краевая задача для неоднородного конвективного уравнения

, ,	(1)
.	(2)
.	(3)

Найдем решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).

Решение будем искать в виде дифференцируя которое по  , получим

.

Умножая правую и левую части на , приходим к выражению

.

(4)

Перепишем уравнение (1) в виде двух уравнений:

(5) (6)

Из (6) следует, что . Пусть при , , тогда .

Откуда получим

.

(7)

Подставим уравнение (7) в уравнение (5), получим

.
	(8) (9) (10)

Исключим в (8)  , для этого учтем граничное условие (9).

.

Подставим (11) в (8), получим

(12)

Исключим в (12) ,  и  получим

.
,	(13)

Выражение (13) – формула Даламбера (решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1)).

Покажем, что (13) является решением (1). Для этого продифференцируем формулу (13) по , получим

.

(14)

Продифференцируем формулу (13) по , получим

.

(15)

Умножая (15) на  и складывая с (14), получим, после сокращений, что

то есть, (13) является решением граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).

Решение смешанной задачи запишем, в виде

.

 

2.5 Слабые растворы

Рассмотрим термодинамические свойства слабых растворов, т. е. таких растворов, в которых число молекул растворенных веществ значительно меньше числа молекул растворителя. Рассмотрим сначала случай раствора с одним растворенным веществом; обобщение для раствора нескольких веществ можно будет произвести непосредственно [1].

Пусть  – число молекул растворителя в растворе, а – число молекул растворяемого вещества. Концентрацией раствора назовем отношение ; согласно сделанному предложению .

Найдем выражение для термодинамического потенциала раствора. Пусть  есть термодинамический потенциал чистого растворителя (в котором ничего не растворено). Согласно формуле  (справедливой для чистых веществ) его можно написать в виде,

.

(1)

где  – химический потенциал чистого растворителя. Обозначим посредством  малое изменение, которое испытал бы термодинамический потенциал при введении в растворитель одной молекулы растворяемого вещества. В силу предполагаемой слабости раствора молекулы растворенного вещества в нем находятся на сравнительно больших расстояниях друг от друга, и поэтому их взаимодействие слабо. Пренебрегая этим взаимодействием, можно утверждать, что изменение термодинамического потенциала при введении в растворитель  молекул растворяемого вещества равно . Однако в получаемом таким путем выражении еще не учтена должным образом одинаковость всех молекул растворенного вещества. Это есть выражение, которое получилось бы по формуле (2), если бы при вычислении статического интеграла все частицы растворенного вещества считались отличными друг от друга. Вычисленный таким образом статический интеграл должен в действительности еще быть поделен на .

.

(2)

где – элемент объема фазового пространства, деленный на :

.

(3)

Это приводит к появлению в свободной энергии, а потому и в потенциале  дополнительного члена . Таким образом,

.

(3)

Далее, поскольку – само по себе очень большое число, хотя и малое по сравнению с , в последнем члене можно заменить . Тогда

.

(3)

Учтем теперь, что  должно быть однородной функцией первого порядка по отношению к  и . Для этого, очевидно, стоящая под знаком логарифма функция  должна иметь вид . Таким образом,

.

(3)

Вводя новую функцию от  и :

,

(3)

находим окончательно для термодинамического потенциала раствора выражение

.

(8)

Сделанное в начале этого параграфа предположение относительно прибавления члена вида  к потенциалу чистого растворителя есть в сущности не что иное, как разложение в ряд по степеням  с оставлением только первых членов. Член следующего порядка по пропорционален , а с учетом однородности по переменным  и  должен иметь вид , где  – функция только от  и . Таким образом, с точностью до членов второго порядка термодинамический потенциал слабого раствора имеет вид

.

(3)

Обобщение этого выражения на случай раствора нескольких веществ очевидно:

.

(3)

где – число молекул различных растворенных веществ.

Из (8) легко найти химические потенциалы для растворителя () и растворенного вещества () в растворе:

,

(3)

.

(12)

2.6. Равновесие по отношению к радиактивному веществу веществу

 

Рассмотрим систему, состоящую из двух соприкасающихся растворов одного и того вещества в различных растворителях (например, в двух несмешивающихся жидкостях). Их концентрации обозначим буквами  и .

Условием равновесия этой системы является равенство химических потенциалов растворенного вещества в обоих растворах. С помощью (12, см. 2.5) это условие можно написать в виде

.

(1)

Функции  и  для различных растворителей, конечно, различны. Отсюда находим

.

(2)

Коэффициент равновесия растворенного вещества между растворами  есть функция только от  и . Таким образом, растворенное вещество распределяется между двумя растворителями так, чтобы отношение концентраций было (при заданных давлении и температуре) всегда одинаково, независимо от полного количества растворенного вещества и растворителей (закон распределения). Этот же закон относится, очевидно, и к растворению одного вещества в двух соприкасающихся фазах одного и того же растворителя.

Далее рассмотрим равновесие между газом (который будем считать идеальным) и его раствором в некотором конденсированном растворителе. Условие равновесия, т.е. равенство химических потенциалов газа чистого и растворенного напишется (с помощью (12) из 2.1.5) в виде

,

(2)

откуда

.

(4)

Функция  характеризует свойство жидкого (или твердого) раствора; однако при небольших давлениях свойства жидкости очень слабо зависят от давления. Поэтому и зависимость  от давления не играет роли, и можно считать, что коэффициент при  в (4) есть постоянная, не зависящая от давления:

.

(4)

Таким образом, при растворении газа концентрация раствора (слабого) пропорциональна давлению(подразумевается, что молекулы газа переходят в раствор в неизменном виде. Если при растворении молекулы распадаются (например, при растворении водорода Н₂ в некоторых металлах), то зависимость концентрации от давления получается иной).

 

2.7. Химический потенциал

 

Для учета изменения термодинамических функций при изменении количества вещества в системе, необходимо к дифференциалу каждого термодинамического потенциала добавить член , где – число частиц вещества в системе, а  – коэффициент пропорциональности.

В этом случае термодинамические функции будут описывать также и те системы, в которых совершаются процессы с изменением количества вещества.

Например,

,

(1)

отсюда

.

(2)

где – тепловая функция, или энтальпия ().

Так все термодинамические потенциалы имеют размерность энергии, то согласно формуле (2) коэффициент пропорциональности  может быть определен как энергия, отнесенная к одному молю. Этот коэффициент получил название химического потенциала.

Выражение (1) справедливо для системы, состоящей из однородных молекул. Если же система состоит из разнородных веществ, последний член в формуле (1) надо представить в виде суммы

.

(3)

Здесь

(4)

характеризует изменение энергии при изменении количества данного компонента вещества в системе на один моль.

Понятно, что химический потенциал можно определить, исходя не только из выражения тепловой функции (2), но и из выражения любой другой термодинамической функции. При этом по определению

.

(5)

Таким образом, химический потенциал характеризует изменение энергии при изменении количества вещества в системе на один моль.