Постановка задачи

3.1.1. Постановка задачи

Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физики. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмотрения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями. Однако плотности в скелете  и насыщающей жидкости  связаны равенством . Это соотношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, поскольку второе решение находится умножением или делением на . Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных.

Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений.

Требуется найти решение уравнения для жидкости

,

(3.16)

в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти . Предполагается, что на левом конце стержня поддерживается постоянная концентрация радиоактивного вещества , поэтому для подобласти  граничное условие имеет вид

.

(3.18)

 Требуется найти решение уравнения для скелета

,

(3.17)

в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти .

В подобласти  на правой подвижной границе поддерживается неизменной плотность радиоактивного вещества в скелете, поэтому граничное условие для уравнения скелета имеет вид

(3.19)

Это условие определяет перенос радиоактивных веществ из нефтенасыщеной зоны пористой среды в водонасыщенную.

3.1.2 Решение задач

Найдем решение уравнения (3.16) в более общем виде. То есть для уравнения

,

с граничным условием

.

(3.20)

для области

Решение уравнений (3.16) находится методом характеристик.

(3.21)

Интегрируя первое уравнение системы (16), получаем

(3.22)

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к., то .

Найдем границы области в котором есть решение.

Пусть при , тогда

Для начального момента, при  и

(3.23)

Уравнение (3.23) представляет собой границу.

Параметризуем уравнение (3.22).

Зададим  так, чтобы получить значение при , т. е. .

При ,  

(3.24)

(3.25)

Подставляя значение параметра в (15) получим

(3.26)

Так как , то

(3.27)

Таким образом это выражение (3.27) есть решение уравнения (3.16) в более общем виде.

Для частного случая, т. е.  не зависит от , решение

(3.28)

Полученное решение (8) для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости, удовлетворяет граничному условию для жидкости в подобласти .

Решение для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим из условия равенства химических потенциалов

.

(3.29)

Таким же образом, в более общем виде решим уравнение для скелета

,

(3.30)

с граничным условием

,

(3.31)

для области .

(3.32)

Интегрируя первое уравнение (3.32), получаем

.

(3.33)

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к., то .

Параметризуем уравнение (3.33): при , . Тогда

;

;

Так как

.

.

.

(3.34)

Подставим значение параметра (3.34) в граничное условие для скелета пористой среды

,

То теперь

,

(3.35)

Выражение (3.35) есть решение уравнения для скелета (3.30) в общем виде. Частное решение получаем из (3.35) исключая .

.

(3.36)

Полученное решение (3.36) для плотности радиоактивного вещества в скелете, удовлетворяет граничному условию подобласти .

Используя соотношение (3.15) находим решение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости подобласти  получим из условия равенства химических потенциалов

.

(3.37)

Проверка значений на границах подобласти

При ,  на правой границе

;

(3.38)

при  и  на левой границе

.

(3.39)

Окончательное выражение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости имеет вид:

(3.40)

и для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим

(3.41)

Для области , занимаемой вытесняемой нефтью плотности радиоактивного вещества в скелете и нефти остаются неизменными:

(3.42)

Результирующая плотность радиоактивных веществ в пористой среде ρ⁺ складывается из плотности в насыщающей жидкости, скелете и нефти, поэтому окончательное выражение имеет вид

(3.43)

3.3. Рельзультаты расчетов и их анализ 3.3.1. График модели

На рисунке приведена зависимость относительной плотности радиоактивного вещества  от координаты  в фиксированный момент времени. В расчетах принято: =0.2, μ΄/μ_s΄=0.05, μ_o΄/μ_w΄=10, ρ_s0/ρ_w0=5. Сплошной линией изображен график зависимости относительной результирующей плотности радиоактивных веществ, а пунктирной ‑ их плотность в скелете.

Из рисунка видно, что в области  образуется зона II с повышенным содержанием радиоактивных веществ. Отметим, что на границах зон наблюдается скачкообразное изменение плотности радиоактивного вещества. В реальных условиях эти скачки нивелируются диффузией, которая в рассматриваемом случае для простоты не учитывается.

Рис.5. Зависимость относительной плотности радиоактивного вещества в пористой среде от пространственной координаты в фиксированный момент времени: I – промытая зона, II – зона радиогеохимического эффекта; III – нефтенасыщенная зона; 1 – результирующие значения плотности в пористой среде, 2 – составляющая плотности в скелете

Из анализа кривых, приведенных на рисунке, следует, что возникновение зоны с повышенной радиоактивностью объясняется вымыванием радиоактивных веществ, первоначально сосредоточенных в скелете, водой.

Из изложенного выше следует, что область радиогеохимического эффекта представляет зону обратного массового влияния вытесняемой жидкости на вытесняющую. Это происходит за счет взаимодействия жидкостей через скелет. Дело состоит в том, что скорость движения границы вытеснения  превышает скорость конвективного переноса примесей в пористой среде , с которой только и возможно движение разрывов. В результате размеры области радиогеохимического эффекта увеличиваются со временем со скоростью , которая, как показывают оценки, в несколько раз превышает скорость . Процессы, аналогичные описываемым, происходят при формировании черенковского излучения.

В реальных условиях возможность измерения распределения радиоактивности в пласте ограничена только определенным числом скважин, в области расположения которых происходит обводнение пласта. В этих скважинах возможно измерение зависимости радиоактивности от времени. Отметим, что наблюдаемая при этом временна̀я развертка радиоактивности соответствует пространственной, изображенной на рисунке.

3.3.2 Условие возникновения радиогеохимического эффекта

Условие возникновения радиогеохимического эффекта заключается в повышении радиоактивного фона, математическим выражением которого является неравенство , откуда с использованием (20) получим

(3.44)

После соответствующих преобразований получим

.

(3.45)

Неравенство (3.45) определяет соотношение производных химического потенциала, при котором наблюдается радиогеохимический эффект. В условие (3.45) не входит пористость, это означает, что радиогеохимический эффект должен наблюдаться в пластах с любой пористостью. Отметим, однако, что величина эффекта согласно предлагаемой теории пропорциональна пористости

,

(3.46)

где  – коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения.

Заключение

Таким образом, предложенная теория в достаточной мере отражает механизм перекачки радиоактивных веществ и образование зоны радиогеохимического эффекта. Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов геолого-промысловых исследований для определения принимающих и отдающих интервалов пластов. Они позволяют также более глубоко понять процессы, происходящие с растворенными веществами при движении пресных питьевых вод в подземных пластах.

Литература

 

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука. – 1986. – 773 с.

2. Орлинский Б.М. Котроль за разработкой нефтяных месторождений. – М.:Недра, 1982.

3. Хуснуллин М.Х. Геофизические методы контроля разработки нефтяных пластов. –М: Недра, 1989.

4. Валиуллин Р.А., Шарафутдинов Р.Ф., Азизов Ф.Ф., Никифоров А.А., Зелеев М.Х. Исследование закономерностей формирования радиогеохимического эффекта в пласте//Изв. ВУЗов. Нефть и газ. №3, 2000. С 26-31.

5. Советский энциклопедический словарь. – М.: «Советская энциклопедия», 1985. Под ред. Прохорова А.М.