Уравнение энергии

2.1 Уравнение энергии

 

Умножение уравнения (1.2.9) скалярно нас последующим интегрированием дает

где— постоянная интегрирования.

Это выражение можно также получить, исключаяиз (1-2.4) и (1.2.3), с условием, чтоЭто приводит к

Вследствие того что

и

левая часть (1.2.11) вдвое превышает левую часть (1.2.10) и, следователь!; о,

Считаяв точке, гдеиз (1.2.10) находим

где

2.2 Шкалы времени

Уравнение (1.2.4)—дифференциальное, связывающее координатное и собственное время. С учетом (1.2.11) имеем

Еслиопределено интегрированием формулы (1.2.9), то можно найтии, следовательно, получить после интегрирования выражения (1.2.15)как функцию

Необходимо также выразить дифференциальное уравнение (1.2.15) через координатную скоростьПринимая в (1.2.11)

с учетом (1.2.4) получаем

Формулы (1.2.15) и (1.2.16) можно вывести делением формулы (1.2.32) на, соответственно,

3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ

 

Принимая в уравнении (1.2.9) получим известное выражение для ускорения под действием закона всемирного тяготения Ньютона

Здесь мы отождествляем где— постоянная тяготения, а - центральная масса. В этом случае в соответствии с (1.1.13)  а из  Таким образом, уравнение (1.2.4) дает. а координатное и собственное время оказывается идентичным.

Подставив (1.3.8) в (1.2.9) и зная, что— произвольная функция  можно получить уравнение геодезической в любых координатах. Очевидно, что даже и призакон обратных квадратов строго выводится только в случае постоянства к, что вновь приводит нас к стандартным координатам Шварцшильда с простой лишь сменой шкалы. Таким образом, уравнение геодезической (1.2.9) в стандартных координатах Шварцшильда является непосредственным релятивистским обобщением уравнения Ньютона (1.3.1). В этих координатах мы и будем рассматривать теорию орбитального движения, принимая ньютоново решение как первое приближение.

Теперь имеем

и, следовательно,

и далее по (3.3.1)

Учитывая, что—постоянный единичный вектор, интегрирование дает

где— произвольный постоянный единичный вектор, а е — произвольная константа. В силу перпендикулярности и из (1.3.3) следует, чтоперпендикулярнои находится в плоскости орбиты.

Умножив скалярно (1.3.3) наполучаем

где обозначеноРазделив (1.3.4) на, находим уравнение

орбиты

Поскольку— ортогональные единичные векторы в плоскости

орбиты, а— единичный вектор вдоль, можно ввести уголтакой, что

 (1.3.6)

и, следовательно,Отсюда можно заключить, что (1.3.5) —

уравнение конического сечения, отнесенное к фокусу как началу, с эксцентриситетом е и параметром орбитыЕдиничный вектор

 направлен вдоль большой полуоси (рис. 1.1) от центра к фокусу. Можно интерпретировать полную скоростьв (1.3.3) как сумму двух векторов: один из них — постоянная скорость всегда перпендикулярная радиусу-вектору, а другой— постоянная скорость  в фиксированном направлениивдоль малой оси сечения. Приняв большую полуось равной  для параметра орбиты имеем где верхний знак относится к эллиптическому движениюнижний — к гиперболическому Таким образом,

а уравнение орбиты (1.3.5) приводится к виду

Расстояние от фокуса О до ближайшей точки линии апсид

 поэтому полная энергия в соответствии с (1.2.13) имеет вид

поскольку в таком приближении мы полагаем, чтоили

Уравнение (1.3.9) показывает, что придвижение стабильно

и орбита — эллипс; при  орбита — гипербола; наконец, если

 орбита — парабола. Уравнение энергии в ньютоновом приближении выводится из

(1.3.9) при

Использованная литература:

 

1» Абалакин В, К Основы эфемеридной астрономии,—М. : Наука, 1979.— 448 с,

2, Бакулин Л, И., Блинов Н. С. Служба точного времени, 2-е изд. М.» Наука 1977.—352 с. Бакулин П. И. Фундаментальные каталоги звезд, 2-е изд. М. : Наука, 1980 — 336 с.

4.Блажко С. Н, Курс практической астрономии» 4-е изд.М. : Наука, 1979.— 432 с.

5.Бугославская Е. Я- Фотографическая астрометрия,— М. : Гостехиздат, 1947 — 296 с.

8. Губанов В. С, Финкельштейн А. М., Фридман П. А. Введение в радиоастрометрию.— М. : Наука, 1983.— 280 с.

7.Гуляев А. П., Хоммик Л. М. Дифференциальные каталоги звезд.— М. : Наука 1983.-136 с.

8.Загребин Д. В, Введение в астрометрию.— М. : Наука, 1966.— 280 с.