Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу ( в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

 (1)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (y_t) от выравненных, расчетных (ŷ_t):

 (2)

При использовании кривых роста ŷ_t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e_t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе 1, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения авто корреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, Т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

d =  (3)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d≈ 2(1-r₁)

где r₁- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е₁, е₂, ... ,е_n-1 и е₂, е₃,…,e_n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная авто корреляция ( r₁≈1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r₁≈-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r≈0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1; 2,5; и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина- Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице. В этой таблице d₁ и d₂ – соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина- Уотсона; k¹ – число переменных в модели; n- длина ряда.

Таблица.

Значение критерия Дарбина- Уотсона d₁ и d₂ при 5% уровне значимости

n	K1=1		K1=2		K1=2
	d1	d2	d1	d2	d1	d2
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36	1.08 1.1 1.13 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.27 1.29 1.3 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.49 1.4 1.41	1.36 1.37 1.38 1.39 1.4 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.45 1.46 1.47 1.48 1.48 1.49 1.5 1.5 1.51 1.51 1.52 1.52	0.95 0.98 1.02 1.05 1.08 1.1 1.13 1.15 1.17 1.19 1.21 1.22 1.24 1.26 1.27 1.28 1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35	1.54 1.54 1.54 1.53 1.53 1.54 1.54 1.54 1.54 1.55 1.55 1.55 1.56 1.56 1.56 1.57 1.57 1.57 1.58 1.58 1.58 1.59	0.82 0.86 0.9 093 0.97 1 1.03 1.05 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.28 1.29	1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.68 1.67 1.66 1.66 1.66 1.66 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65

Применение на практике критерия Дарбина- Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (3), с теоретическими значениями d₁ иd₂ , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнеии величины d с d₁ и d₂ возможны следующие варианты:

1)  Если d<d_1, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2)  Если d>d₂ , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

3)  Если d₁≤d≤d₂, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности" .

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e_t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d_j и d₂ сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство

нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

А= (4)

Э= (5)

σ_a= (7)

где А- выборочная характеристика асимметрии;

Э- выборочная характеристика экцесса;

σ_А- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

σ_Э- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики экцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

|А|<1,5σ_А; | |<1,5σ_Э (8)

 

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|А|≥2σ_А; |Э+| ≥2σ (9)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Классификация прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, их компонентный состав

1. Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице:

курс акции (Дол.)

t Yt t Yt t Yt t Yt

1 509 6 515 11 517 16 510

2 507 7 520 12 524 17 516

3 508 8 519 13 526 18 518

4 509 9 512 14 519 19 524

5 518 10 511 15 514 20 521

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами:

а) с помощью метода Фостера - Стюарта;

б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки. Доверительную вероятность принять равной 0,95.