Планування експерименту для вивчення механізму складних процесів і властивостей багатокомпонентних систем

1. Планування експерименту для вивчення механізму складних процесів і властивостей багатокомпонентних систем.

2. Планування експерименту з метою оптимізації технологічних процесів і властивостей багатокомпонентних систем.

Переважна більшість експериментальних робіт виконується саме з метою вирішення задач оптимізації; такі експерименти називають екстремальними. Ця назва пов’язана з аналогією між рішенням задачі оптимізації та пошуком екстремуму функції, тому задачу, метою якої є пошук екстремуму, називають екстремальною. Як приклади задач оптимізації можна навести пошук оптимального складу багатокомпонентної суміші, підвищення продуктивності діючої установки, підвищення якості продукції тощо.

Як вже згадувалося, експеримент може проводитися безпосередньо на об’єкті або на його моделі. Останнім часом поряд з фізичними моделями дедалі ширше застосування знаходять абстрактні математичні моделі. Для опису такого об’єкта дослідження можна використати уявлення про кібертичну систему, яку схематично зображено на рис. 2. Таку кібертичну систему ще називають «чорною скринькою».

Чорна скринька

Х₁ y₁

Х₂ y₂

Х_і  y_i

Х_к   y_k

Рис.2. Схема «чорної скриньки»

Стрілки справа зображують чисельні характеристики, які треба отримати відповідно до мети дослідження. Вони позначаються буквою y і називаються вихідними параметрами, або параметрами оптимізації (вихід «чорної скриньки»), а також відгуками . Для проведення експерименту необхідно впливати на поведінку «чорної скриньки». Всі способи впливу позначають буквою х і називають вхідними параметрами, або факторами (вход «чорної скриньки»). Під час проведення експерименту кожний фактор може приймати одне або кілька значень, які називаються рівнями фактора. За допомогою множини факторів визначають один із можливих станів модельованої системи («чорної скриньки») і задають умови проведення одного з можливих експериментів. Існує певний зв’язок між рівнями факторів і відгуками системи, характер якого заздалегідь невідомий. Цей зв’язок можна визначити як

 

де yl – l-й відгук; n – число відгуків, що аналізуються; хі – і-й фактор; m – число факторів.

Функція ψ називається функцією відгуку або реакцією. Її геометричний образ – поверхня відгуку. Враховуючи те, що функція ψ заздалегідь невідома, використовують іншу наближену функцію

 

Якщо в процесі експерименту перебрати всі можливі набори рівнів факторів, отримаємо повну множину різних станів модельованої системи («чорної скриньки»). Разом з тим це буде кількість різних можливих дослідів.

Однак використання для моделі всіх можливих дослідів призводить до абсурдно великих експериментів. З огляду на це і виникає потреба планування експерименту. Таким чином, планування екстремального експерименту – це вибір кількості та умов проведення дослідів, мінімально необхідних для пошуку оптимальних умов.

Планування експерименту - це розроблення такого плану експерименту, який дає можливість за мінімальної кількості прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистичне значимі висновки або знайти оптимальні рішення щодо функціонування системи. Під час планування експериментів, як правило, визначають:

· вхідні дані для кожного експерименту і кількість прогонів імітаційної моделі;

· тривалість одного прогону моделі і перехідного процесу моделювання;

· стратегію збирання даних під час кожного прогону моделі;

· методи оцінювання точності вихідних даних і побудови довірчих інтервалів;

· чутливість моделі до вхідних даних, різних видів розподілів випадкових величин, сценаріїв поведінки модельованої системи;

· умови і сценарії проведення експерименту;

· умови генерування потоків випадкових чисел у системі моделювання та імовірнісних вхідних даних;

· стратегію досягнення мети експерименту (наприклад, порівняння альтернативних варіантів системи або оптимізація цільової функції).

Кінцева мета проведення експериментів - це одержання статистичної інформації, достатньої для прийняття рішень відповідно до результатів моделювання.Моделювання здебільшого провадиться з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (рптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, які впливають на модельовану систему (висівний експеримент). Під час експериментів обох типів використовують факторні плани. Для пошуку екстремальних значень застосовуються числові методи оптимізації. Під час таких експериментів визначається функціональна залежність вихідної змінної (функції відгуку, чи просто відгуку) від вхідних змінних, або факторів; ця залежність відображає критерій ефективності модельованої системи. Таким чином, пошук найкращого рішення характеризується числовим значенням цього критерію, і для знаходження екстремальних значень необхідно досліджувати поверхні відгуку (провадити експерименти) у різних точках факторного простору.

Планування експерименту можливе тільки за умов:

·  керованості об'єкта дослідження;

·  можливості відтворення результатів експерименту.

Опишемо послідовність дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.

1. Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.

2. Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 факторів визначають 80 % властивостей системи.

3. Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти.

Дамо визначення факторного експерименту.

Факторний експеримент - це план, згідно з яким всі рівні кожного фактора зустрічаються в сполученні з усіма рівнями всіх інших факторів. Рівні визначають кількісні значення факторів. Різні рівні деякого фактора можуть відповідати якісним значенням (наприклад, різні дисципліни обслуговування вимог пристроєм) або кількісним значенням (наприклад, число пристроїв для обслуговування). Якщо деякий фактор f, (f = 1,…, k) має Lf рівнів, то загальне число комбінацій рівнів визначається добутком:

Якщо число рівнів для кожного з факторів однакове, то загальним числом комбінацій буде Lk.

Схема планування експерименту наведена на рис. 3.

Якщо необхідно знайти екстремум процесу або оптимальну технологію достатньо виконати 1-4 пункти схеми, а якщо відомі всі фактори, що впливають на процес, що вивчається, то пункт 3 можна вилучити з виконання.

Щоб описати процес математичною моделлю для використання в алгоритмах або для систематизації результатів великої кількості досліджень, можна запланувати виконання 1-3, 5 пунктів схеми, або 1, 2, 5 за раніше відомих факторів.

Якщо необхідно дослідити процес, описати його математично і зробити технологічні висновки, виконують пункти 1, 3, 5, 6 або 1, 2, 5, 6.

Рис. 3. Схема планування експерименту

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повніш факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3х2. Запишемо в табл. 3. матрицю експерименту.

Таблиця 3. Матриця двофакторного експерименту

У загальному випадку: значення фактора yijg, де g – номер спостереження, і та j – номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М( yijg ) = nij. Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у вигляді:

 ; ;

де еijg - помилка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або

Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то

Тоді αАі - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:

Повніли факторний план передбачає всі комбінації факторів на двох рівнях і позначається 2k (k — кількість факторів) за кількістю необхідних дослідів. Для зменшення кількості дослідів використовують не повний план, а лише його частну (репліку), так званий дробний факторний план. Усі досліди з комбінацією факторів записують у вигляді таблиці (матриці), однакової (стандартної) для всіх досліджень. Щоб скористатися стандартною матрицею, значення (рівні факторів) кодують за формулою

де хі — кодоване значення фактора (1, -1, 0 і под.);

 — натуральне значення фактора на якомусь рівні;

 — натуральне значення фактора на нульовому рівні;

Іі – інтервал варіювання фактора ( в натуральному вигляді); найчастіше інтервал варіювання дорівнює 10-25% максимального значення фактора.

Добирають такі частки реплік, за яких кількість дослідів дорівнює або трохи перебільшує число факторів k. Наприклад, для 15 факторів (повний план 215 = 32 768 дослідів) можна скористатися 1/2048 репліки (215-11= 16 дослідів), для 7 факторів — 1/16 репліки (27-4 = 8 дослідів) тощо.

Після цього складений план-матрицю реалізують — виконують досліди за планом. Результати у вигляді параметра оптимізації заносять до тієї самої таблиці.

Коефіцієнти, що визначають ступінь впливу факторів на параметр оптимізації, розраховують за формулою

де bi — коефіцієнт регресії i-го фактора;

уi — значення параметра оптимізації в і-му досліді;

xij— кодоване значення i-го фактора в j-му досліді;

n — кількість дослідів у матриці.

Помилку експерименту розраховують за результатами дослідів, що повторються кілька разів за однакових умов. Рекомендується кожен дослід проводити двічі, а якщо результати різняться більш як на 10%, його повторюють ще раз. Одне з трьох значень відкидають як випадкове за критерієм Ст'юдента.

Після цього.підраховують середньоквадратичну помилку експерименту Sдослм і коефіцієнти регресії Sиш . Довірчий інтервал у разі наближених розрахунків визначають за формулою

де n — кількість дослідів із повторенням. Довірчий інтервал у разі наближених розрахунків визначають за формулою

де t - критерій Ст'юдента.

Фактори, що мають незначний вплив на параметр оптимізації, мають коефіцієнти регресії, менші за довірчий інтервал. Такі фактори треба вилучити (відсіяти) або зафіксувати на постійному рівні.

Якщо за даними експериментів і розрахунків відсіялося дуже багато факторів і серед них опинилися ті, що за логікою повинні були залишитися, дуже ймовірно, що інтервали варіювання обрано неправильно. Для цих факторів останні рекомендують збільшити і зробити нову серію дослідів за тим самим планом.

Література

 

1.  Пилюшенко В.Л., Шкрабак И.В. Методология и организация научного исследования – Донецк, 2009. – 285 с.

2.  Пилюшенко В.Л., Шкрабак И.В. Славенко Е.И. Наукове дослідження: організація, методологія, інформаційне забезпечення: Навч. посібник. – Київ: Лібра, 2008. – 244 с.

3.  Басков А.Я., Туленков Н.В. Методология научного исследования: Учеб. пособие. - К.: МАУП, 2009. - 124 с.

4.  Білуха М.Т. Основи наукових досліджень. - К.: Вища шк., 2007. – 271 с.

5.  Лудченко А.А., Лудченко Я.А., Примак Т.А. Основы научных исследований: Учеб. пособие / Под ред. А.А.Лудченко. - 2-е изд. - К.: О-во "Знання", КОО, 2007. - 113 с.