Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z

2. Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z.

(рис. 2, в, г). Пл. ХОZ и УОZ пересекают его по параллельным прямым ЕD, FК, NР и LМ, а пл. ХОY и ей параллельные - по окружностям DPКМ и (ЕNFL).

Цилиндр применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазера, корпусов датчиков и т. д.

3. Однополостной гиперболоид образуют вращением прямой DЕ вокруг скрещивающейся с ней оси Z (рис. 3, а). Пл. ХОZ и YОZ пересекают его по гиперболам FК, LМ, РQ и RS, а пл. ХОY и ей параллельные - по окружностям (GU, FРLР и КQМS). При вращении точек D и Е их проекции d и е перемещаются по окружности, и проекции d^' и е^' - по прямым, параллельным оси X. Точка U прямой DЕ, ближе других расположенная к оси вращения, описывает окружность UU₁ наименьшего диаметра. Эту окружность называют гордом поверхности. Лучи, проектирующие какую-либо поверхность, касаются ее в точках, образующих контурную линию. Соответствующая проекция этой линии называется очерком поверхности. Очерком однополостного гиперболоида на пл. V служат две ветви гиперболы, вершины которой лежат на горле поверхности. Следовательно, эту поверхность можно образовать вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Форму однополостного гиперболоида имеют некоторые радиомачты, в том числе башня Шухова в Москве. Ее составляют шесть гиперболоидов; высота каждого равна 25 м; диаметр оснований гиперболоидов постепенно уменьшаются. Однополостный гиперболоид образует форму вибрационных питателей, используемых в промышленной автоматике, кулачков, соединителей контактов и т. д.

б)

Рис.3

 

Поверхности вращения нелинейчатые

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

1. Сферу образуют вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 3, б). Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции -экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведенной на сфере.

Сфера образует форму диаграмм направленности антенны, обтекателя и излучателя антенны, головка микрофона, контактов реле, рукояток приборов и т. д. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

Рис. 4

кольцо, когда ось вращения 2. Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся ее диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-не пересекает образующую окружность (рис. 4, а) и тор-бочку, когда есть такое пересечение (рис. 4, б). Тор-кольцо пересекается пл. ХОZ и УОZ по окружностям АВС и DЕF, а тор-бочка по окружностям АВ и СD. Пл. НОУ пересекает тор по одной или двумя окружностям, из которых СD называют горлом, а АF и АD -экваторами.

В радиотехнике используют также параболический и эллиптический тор.

Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся ее фокальной осью. Обычно за ось вращения берут прямую, перпендикулярную фокальной оси. На рис. 5, а дан случай, когда ось вращения не пересекает образующую параболу; на рис. 5, б ось пересекает параболу. Две координатные плоскости пересекают поверхность по одинаковым параболам; плоскость, перпендикулярная оси вращения, рассекает поверхность по окружности.

 Эллипс

 Параболa

а)

б)

Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью. Обычно за ось вращения берут прямую, перпендикулярную большой (рис. 5, в) или малой оси эллипса (рис. 5, г). Две координатные плоскости пересекают такой тор по эллипсам, третья - по окружностям.

Торовые поверхности имеют диаграмм направленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители, кулачки, сердечники катушек и т. д.

3.  Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большой оси. В первом случае получают сжатый (рис. 6, а), а во втором — вытянутый эллипсоиды вращения (рис. 6, б).

4. 

Пл. ХОZ и УОZ пресекают их по эллипсам DЕ и ЕF, а пл. ХОZ - по окружности DF.

Эта поверхность встречается при рассмотрении теоретических вопросов радиолокации и гироскопии; форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и т. д.

4. Двуполостной гиперболоид образует вращением гиперболы DЕ вокруг ее действительной оси FF1 (рис. 7, а). Пл. ХО2 и УО2 пересекают его по гиперболам DЕ и КЕ; пл. ХОY дает в сечении мнимую точку О.

5. Параболоид образуют вращением параболы ОD вокруг ее фокальной оси ОF (рис. 7, б). Пл. ХОZ. и YОZ пересекают эту поверхность по параболам ОD и ОЕ, а пл. ХОY дает в сечении точку О.

Зеркала антенн и лазеров чаще всего изготовляют

параболическими. Нередко зеркало антенны является сочетанием нескольких поверхностей. Так, антенна, предназначенная для дальней космической связи (рис.7, а), состоит из цилиндрического раскрыва 1, конического рупора 2 и параболического отражателя радиоволн 3. Фокус параболоида находится в точке Р.

6. Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.

На рис. 8, б дана поверхность пространственной диаграммы направленности антенны локатора О, полученная вращением вокруг оси Z плоской диаграммы направленности СЮ РЕ. Объемные графики также часто имеют форму поверхности

Рис. 8

вращения общего вида.

Поверхности с плоскостью параллелизма

Все поверхности этого класса - линейчатые.

1.  Цилиндроид образуют перемещением прямой по двум кривым направляющим, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости.

2.  Коноид образуют перемещением по кривой линии и прямой, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости. Частным случаем коноида является прямой геликоид, образуемый прямой по винтовой линии и её оси, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости.

3.  Гиперболический параболоид или косую плоскость образуют перемещением прямой по двум скрещивающимся прямым, когда образующая остаётся параллельной некоторой плоскости. Полученная поверхность имеет седлообразную форму.

Поверхности, задаваемые каркасом

К ним относят поверхности, образование которых не подчинено определённому геометрическому закону. Эти поверхности задают каркасом - семейством линий, принадлежащих им и параллельных координатной плоскости.

 

Пространственные кривые и плоскости

Если кривую линию без её деформации нельзя совместить всеми точками с плоскостью, то её называют пространственной. К таким кривым относят, в частности, винтовые линии. Винтовая линия на данной поверхности есть траектория точки, равномерно перемещающейся вдоль образующей, которая равномерно вращается вокруг оси этой поверхности. Винтовую линию называют правой, если на видимой стороне поверхности она идёт слева вверх направо. В противном случае её называют левой. Расстояние S, которое проходит точка вдоль образующей за один её оборот, называют шагом винтовой линии.

Литература

1. Анисимов И.К. Конспект лекций по начертательной геометрии. Рязань. РГРТА. 1970.