Сопротивление материалов при нагрузке

Вариант 37

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10^-4 м². Модуль упругости материала стержней Е = 2×10⁵ МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10^–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

Требуется:

1.  Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.

2.  Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

3.  Сравнить полученные результаты.

4.  Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d₂ = 2∙10^-3 м

5.  Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt₁ = -40°С.

6.  Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

1.  Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].

Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N₁ и N₂. Составим уравнение моментов относительно точки О:

 

При неизвестных реактивных усилиях N₁, N₂, R_ox, R_oy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:

ССН = m – n,

где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и СС₁О имеем:

.

Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.

АА₁=Dl₂, , KА₁=Dl₁. То есть:

По закону Гука имеем:

 ; .

Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:

 м

Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:

 .

 Тогда, . Окончательно имеем: N₂ = 1,3×N₂

Из этого выражения видно, что N₁<N₂. Соответственно, напряжения в первом стержне s_I меньше, чем напряжения во втором s_II. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: s_II = [s] и кН. Значение N₁ = 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в обоих стержнях: s_II = [s] = -160 МПа; s_I = -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил N₁ и N₂ в первое уравнение и определим значение [Q]:

кН.

2.  Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести s_т: s_I= s_II= s_т

Составляем уравнение предельного равновесия:

;.

Предельные усилия в каждом из стержней:

.

Решаем относительно предельной нагрузки для системы:

.

Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]_пр определяется как:

,

где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что  получим [Q]_пр = 23,51 кН.