Повне внутрішні відбиття

6. Повне внутрішні відбиття

При поширенні світла з більше щільного оптичного середовища в менш. Т.е. коли

 

За умови, що кут падіння перевершує критичне значення

Представлене вираженням .

Якщо , те, так що напрямок поширення світла відносно до поверхні першого розділу. Якщо перевищує 90, світло не входить у друге середовище. Все світло відбивається назад у перше середовище, і ми говоримо про повне внутрішнє відбиття.

Але електромагнітне поле не дорівнює нулю в другому середовищі, відсутній лише потік енергії через границю. Якщо у фазовому множнику минулої хвилі покладемо:

 і

те одержимо

Це вираження описує неоднорідну хвилю, що поширюється уздовж поверхні роздягнула в площині падіння й міняється експоненціальне зі зміною відстані від цієї поверхні.

Залежність амплітуди електричного вектора від кута падіння, для двох випадків. Перший випадок: падіння з більше щільного середовища в менш щільну; другий випадок: падіння з менш щільного середовища в більше щільну.

Для випадку n=1,6

Видно, що при 38 градусах (критичний кут) енергія не проходить у друге середовище.

Для випадку n=0.625

Чітко видний кут Брюстера (62 градуса). Із графіка видно, що відсутній R пара. Електричний вектор відбитої хвилі не має тридцятилітньому в площині падіння.

7. Рівняння, що описують поширення електромагнітних хвиль у плоскому оптичному хвилеводі

У даній роботі розглядається ТІ поляризацію. Її відмінність від ТМ полягає в тім, що в ТІ хвилях електричний вектор лежить у площині падіння.

У пасивних оптичних хвилеводах відсутні сторонні струми й заряди, і рівняння Максвелла, як говорилося на початку, мають нульову праву частину. Уважаючи, що електромагнітне поле змінюється в часі за гармонійним законом, тобто

 , .

Рівняння Максвелла для комплексних амплітуд можна записати так:

(31)

(32)

і  абсолютної діелектричні й магнітні проникності середовища.

Розглянемо плоский хвилевід.

Цей хвилевід утворений плоскою діелектричною плівкою, вона однорідна в напрямках X і Y. У напрямку Z хвилевід неоднорідний. Якщо розглядати ТІ хвилі, то

 

.

Покладемо для визначеності, що хвиля поширюється уздовж осі Y.

Одержали співвідношення, що виражають зв'язок між E і H компонент:

У результаті підстановки цих рівнянь в

можна одержати хвильове рівняння для електричного компонента поля:

(33).

Одержали рівняння поширення, що описує, хвилі в оптичному хвилеводі. Це рівняння з змінними і його рішення варто шукати у вигляді добутку двох функцій, одна й з яких залежить тільки від y, а друга тільки від z. Розподіл амплітуди поля по координаті x передбачається рівномірним.

Т.е. можна записати:

, де , а

Оскільки ліва й права частини вираження залежать від різних змінних, то рівність може дотримуватися тільки в тому випадку, коли кожна із частин рівності є константою. Нехай ця константа позначена , одержимо:

,

для i-ой середовища (усього 3 середовища)

Конкретний вид функції Y(y) визначається із цього рівняння з урахуванням граничних умов і описує розподіл амплітуд фаз у поперечному перерізі шару й прилягаючих середовищ. Повний же вид рішення визначається як добуток Y(y)Z(z) і з урахуванням тимчасової залежності  має вигляд

.

Таким чином, рішення має вигляд гармонійної хвилі, що поширюється уздовж осі Y і має амплітудний розподіл Y(y) у напрямку, поперечному стосовно напрямку поширення.

Отже, потрібно знайти граничні умови, що задовольняють рівнянням безперервності дотичних E і H тридцятимільйонний компонент електромагнітного поля для ТІ хвиль мають вигляд:

 при y=0

 при y=-h.

Помітимо, що умови безперервності H- на границях еквівалентна умовам безперервності похідних від розподілу E- поля на границях шарів 1 і 2, 2 і 3. Нехай у розглянутій системі із трьох шарів виконується необхідна умова існування режиму, тобто  . Фізично це означає, що хвилі, що біжать у шарі 2 можуть випробовувати повне внутрішнє відбиття від границь із шарами 1 і 3. Для рішення рівнянь розглянемо величину . Якщо величина виявиться негативної, то рішення являє собою експоненту з дійсним показником. Якщо ж ця величина - позитивна, то рішення являє собою гармонійну функцію або експоненту із мнимим показником. Розглянемо властивості рішень:

Умова А. .

При цьому свідомо виконуються умови й , і з рівнянь (15-17) треба, що  у всіх трьох областях. Очевидно, що  є експонентною функцією у всіх трьох областях. З огляду на необхідність безперервності похідній розподілу поля на границях роздягнула між шарами, одержимо розподіл поля, що необмежено зростає при видаленні від границі між шарами хвилеводу. Отже, рішення, що відповідають області А, фізично нездійсненна.

Умова В. .

В області 2 рішення може бути представлене у вигляді гармонійної функції, оскільки , при цьому розподіл поля по координаті в у перетині шару 2 може мати характер парної або непарної функції.

В областях рішення буде мати вигляд експонент із дійсним показником ступеня. Очевидно, що фізично реалізований випадок відповідає експонентам, що спадають при видаленні від границі 1 у позитивному напрямку й від границі 3 у негативному напрямку. Як видно, у цьому випадку максимальна напруженість поля спостерігається усередині центрального шару хвилеводу. Напруженість поля спадає при видаленні від його границь, при цьому основна частка енергії хвилі переноситься в самому шарі 2 і прилеглих областях шарів, що обрамляють, 1 і 3, без випромінювання в навколишній простір. Такий режим називається хвиле водним, а центральний шар 2 часто називають несучим шаром хвилеводу.

Умова С.  і, мабуть, .

Рішення має експонентний характер в області 1 і гармонійний характер в областях 2 і 3. Поле є експоненціальне спадаючої при видаленні від границі в середовищі 1. поява осциляції в середовищі 3 може бути інтерпретоване як результат інтерференції двох плоских електромагнітних хвиль, що біжать: однієї хвилі - випромінюваної із хвилеводу, інший, рівної по амплітуді, що набігає на хвилевід з нескінченності. Припущення про існування хвилі, що набігає, знадобилося тут, щоб зберегти стаціонарність завдання уздовж осі z, тобто як би компенсувати втрати енергії на випромінювання , що з'являється при . Такі моди називають випромінювальними модами підложки.

Умова D. .

Рішення має синусоїдальний характер для всіх трьох областей; має місце випромінювання із хвилеводу як у третю, так і в першу середовища, що обрамляють. Такі моди називають випромінювальними модами хвилеводу.

Основні результати аналізу. У системі, що складається із трьох діелектричних шарів з показниками переломлення n₁, n₂, n₃ за умови n₂>n₁, n₂>n₃ можливе поширення хвилі уздовж шару 2, при цьому розподіл електромагнітного поля в поперечному перерізі має максимальне значення усередині центрального шару 2 (можливе існування декількох максимумів) і експоненциальне спадає при видаленні від границь шару 2 у напрямку осі ОУ (або - ОУ). Хвиля з неоднорідним розподілом по координаті в поширюється уздовж площини хвилеводу й характеризується постійної поширення , при цьому .

8. Дисперсійні рівняння тришарового діелектричного хвилеводу

Розглянемо тришаровий хвилевід.

Припустимо, що він нескінченно протяжний, тобто . Якщо підставити ці висновки в співвідношення, що зв'язують поздовжніх і поперечні полів:

Одержимо наступні рівняння:

(33)

(34)

(35)

(36)

Звідси видно, що для ТІ хвилі, тільки компоненти відмінні від нуля. У випадку плоского хвилеводу граничні умови такі:

Знайдемо рішення рівнянь у вигляді:

де A, B, C, D, q, h, p – постійні, які потрібно визначити. Із граничних умов для одержуємо співвідношення

Крім того, величина  повинна задовольняти хвильовому рівнянню. Звідси треба умова

,

що разом із граничними умовами дозволяє одержати додаткову систему рівнянь

звідси треба

,

де m – індекс моди. Оскільки тангенс – функція періодична з періодом π, те при даній товщині хвилеводу буде існувати безліч рішень (мод) характеристичного рівняння. Підставляючи у хвильове рівняння вираження для E_Y , одержимо додаткове співвідношення

Тепер для простоти будемо вважати, що середовища не мають втрат.

Прийдемо тим самим до таких рівнянь

, ,

Підставивши ці рівняння в характеристичне рівняння, одержимо дисперсійне рівняння для несиметричного хвилеводу:

(37)

Висновок

На початку роботи було поставлене завдання вивчення тонкого діелектричного хвилеводу для ТІ поляризації. Були розглянуті рівняння Максвелла, які використовуються для знаходження рівнянь Френеля, і для опису поширення електромагнітної хвилі у хвилеводі. Були отримані вираження для відбивної й пропускної здатності, а також розглянутий окремий випадок геометричної оптики - кут Брюстера. Отримано дисперсійне рівняння, що показує залежність коефіцієнта вповільнення від показника переломлення й товщини хвилеводу. Графіки розраховувалися в програмах Excel і MathCAD.

Список літератури

1. Дияконів В. Mathcad 8/2000: спеціальний довідник. – К., 2007

2. Попов В.П. Основы теории цепей.- М., 1997

3. Електротехнічний довідник // за ред. В.Г. Герасимова. – К., 2006

4. Руководящие указания по релейной защите. Вып. 13В. Релейная защита понижающих трансформаторов и автотрансформаторов 110-500 кВ. Расчеты. М., 1985.

5. Шабад М.А. Расчеты релейной защиты и автоматики распределительных сетей. – Л., 1989