Позиционная и непозиционная системы счисления

1.  Позиционная и непозиционная системы счисления

Признаки непозиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа не зависит от его позиции.

Примеры непозиционной системы счисления: римская.

Еще у людей каменного века возникла необходимость считать мамонтов или своих соплеменников. Естественным способом счета явилась простейшая модель – каждый мамонт обозначается камушком или палочкой, для подсчёта делались зарубки и вязались узелки.

В римской системе счисления были придуманы следующие цифры: I -соответствует 1, V - 5, X - 10, L - 50, С – 100, D - 500, М – 1000. Но система непозиционная и при увеличении числа надо придумывать новые цифры. Поэтому действия с римскими цифрами очень неудобны. (см. презентацию)

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. (На Руси до 18 века использовались непозиционные системы славянских цифр.)

Признаки позиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа зависит от его позиции.

Идеи позиционного построения систем счисления неоднократно возникали у разных народов. Отголоски этих идей можно найти в разговорном языке. Вспомните хотя бы такие фразы. Как «сорок сороков», «чертова дюжина», «тьма народа» (в древней Руси словом «тьма» обозначали нынешнее число «миллион»). Но сегодня мы остановимся на письменной интерпретации этого понятия.

Впервые идея позиционной системы возникла в древнем Вавилоне: основание системы счисления 60 – пережитки этого до сих пор сохранились в отсчете времени и долей градусов. Вавилоняне вплотную подошли к открытию нуля, но, увы, этого последнего шага так и не сделали. Наибольшее же распространение получила десятичная система счисления, пришедшая из Индии в 595 году нашей эры. (см. презентацию)

Значение каждой цифры в позиционной системе счисления зависит от ее места (позиции) при написании числа. Положение (позиция) цифры в записи числа определяет ее…Вопрос: «Что определяет?» Ответ: разряд; если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его место ставят цифру 0. Мы знаем, что 10 единиц любого разряда образуют новую единицу старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. С его помощью определяется «вес» единицы каждого разряда.

Позиционных систем много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д., а своё название они берут в зависимости от количества цифр, используемых для составления числа в данной системе.

Формирование понятия систем счисления с разными основаниями:

Вопрос: Сколько же цифр используется в 12-ричной системе счисления?

Ответ: Двенадцать.

Вопрос: А сколько цифр используется в 8-ричной системе счисления?

Ответ: Восемь.

Форма записи чисел в различных системах счисления. (см. презентацию)

Мы рассмотрели с вами формы записи чисел, которые позволяют нам произвести:

2.  Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием выполняется методом деления целого десятичного числа на основание новой системы счисления. При этом необходимо запомнить, что количество цифр для записи числа в любой системе счисления не может превышать основания этой системе.

Примеры: Переведем 29 в 3-ичную систему счисления (демонстрация учителя), а 13 в 2-ичную систему счисления(коллективно). (см. презентацию)

3.  Перевод целых чисел из системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления выполнить достаточно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение. (см. презентацию)

Примеры:

1002₃= 1*3³ + 0*3² + 0*3¹ + 2*3⁰ = 27 + 0+ 0+ 2 = 29₁₀ (демонстрация учителя)

1101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀ (коллективно)

1011₂ = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀ (коллективно)

120₃ = 1*3² + 2*3¹ + 0*3⁰ = 9 + 6 + 0 = 15₁₀ (коллективно)

 

Учитель: Ребята! Мы с вами проделали огромную работу: выяснили, какие бывают системы счисления, разобрали правила перевода чисел из одних систем в другие. А сейчас мне хотелось бы зачитать вам строки стихотворения:

«С детства мы считать учились – раз, два, три, четыре, пять

Десятичной ту систему мы привыкли называть.

Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,

А теперь перед глазами – серебристый монитор.

Эта умная машина сможет все нам сосчитать

Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.

Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,

А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один».

Учитель: Ребята, я прочитала вам эти строки не просто так! А для чего? Как вы думаете? Ответ учащихся.

Итог: я хотела, что бы вы обратили внимание на то, что компьютер всю информацию преобразует в двоичный код. Изучение различных систем счисления даёт нам возможность разговаривать с компьютером на одном языке и понимать всю зашифрованную им информацию!

Выполнение творческих заданий на закрепление материала: (см. презентацию)

А сейчас самостоятельно предлагаю вам выполнить задания на закрепление материала.

1.  Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.

Ответ: 1001001₂ или 145₁₀

Критерии оценки самостоятельной работы:

Выполнено:

·  все задания правильно: «5» - отлично;

·  4 задания правильно: «4» - хорошо;

·  3 задания правильно: «3» - удовлетворительно;

·  менее 3 заданий правильно: «На уроке были не внимательны!»

Задание повышенной сложности для сильных учащихся.

2.  Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово:

111₂ 110₂ 1011₂ 1010₂ 100₂ 1000₂ 111₂ 1100₂ 1101₂

«В Древнем Египте цифры записывались с помощью этих символов»

Ответ: иероглифы.

IV.  Мониторинг

(устный опрос обучающихся, в качестве ответа используются карточки: зелёная – «ДА», красная – «НЕТ».

Вопросы:

•  1 вопрос: верно ли, что в древности использовали руку как инструмент для счёта?(Да)

•  2 вопрос: верно ли, что в компьютерах используется римская система счисления? (Нет)

•  3 вопрос: верно ли, что в Древнем Вавилоне цифры изображались с помощью иероглифов?(Нет)

•  4 вопрос: верно ли, что число 1001101 может быть записано в двоичной системе счисления?(Да)

•  5 вопрос: верно ли, что десятичную позиционную систему счисления изобрели в Древней Индии? (Да)

•  6 вопрос: верно ли, что в позиционной системе счисления расположения цифры не зависит от её положения (места) в числе? (Нет)

•  7 вопрос: верно ли, что клинописью пользовались в Древнем Египте? (Нет)

•  8 вопрос: верно ли, что мы не пользуемся в повседневной жизни шестнадцатеричной системой счисления? (Да)

•  9 вопрос: верно ли, что число 34263 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Нет)

•  10 вопрос: верно ли, что Римская система счисления была непозиционной? (Да)

•  11 вопрос: верно ли, что число 443423 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Да)

•  12 вопрос: верно ли, что название системы зависит от её основания? (Да)

Заключение

Практика использования современных информационных технологий на уроках информатики подтвердила актуальность и действенность выбранного метода изложения материала для обучения, что позволило сделать следующие выводы: современные средства обучения - презентация и интерактивная доска помогают учителю излагать учебный материал, формируют навыки наблюдения, обеспечивают прочное усвоение обучающимися знаний, повышают интерес к предмету. Современные средства обучения позволили сократить время изложения нового материала, ускорили процесс закрепления полученных навыков, правильно понять цель и ход проделанной работы, сократили время выполнения заданий.

Рассмотренная методика проведения по теме вводного урока может быть использована в других предметных областях. Считаю необходимым предложить разработку урока своим коллегам.