Площади в геометрии

Исторические сведения

В Киевской Руси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, не было. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление.

Меры площади нужны были для определения размеров земельных участков. Участки же не всегда были четко разграничены, соприкасались друг с другом, имели межевые знаки.

В древней Руси в целях податного обложения использовали чисто условные единицы, характеризовавшие рабочую силу или сельскохозяйственный инвентарь, а также меры, в основе которых лежали трудовые возможности. Отсюда такие наименования земледельных мер (единиц обложения), как «дом» (семья) или «дым», «рало», «соха», «обжа» и пр. Трудовой характер мер «соха» и «обжа» и их соотношение явствуют из сохранившегося ответа новгородцев на запрос Ивана III в 1478 г.: «Три обжи – соха, а обжа – 1 человек на 1 лошади орет (пашет); а кто на 3 лошадях и сам третий орет, ино то соха».

Несмотря на неопределенность в геометрическом смысле, «посевные» меры оказались более удобными для земледельцев, кроме того, объективнее и точнее определялся размер податного обложения.

Для сенокосных угодий широко применяли «урожайные» меры – копны сена. Копны иногда использовали и в качестве мер посевных площадей.

Все «трудовые», «урожайные» и «посевные» меры заключали в себе элементы субъективизма и произвола, которые проявлялись непосредственно в практике использования этих мер.

Во время феодальной раздробленности Руси как меры площади применялись «дом» (дым), «соха», «обжа». Но они отличались по количеству в зависимости от княжества. Отличия были и в наименованиях мер. В Новгороде, например, в качестве посевной меры применялась «коробья» (площадь, на которую высевали коробью ржи – меру объема).

Площади сенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накосить копну сена). Эти меры позволяли определить урожайность, а о форме и размерах земельных участков полного представления не давали.

В середине XIII века татары проводили в значительных масштабах описи земельных площадей. В основу описей в качестве единицы измерения было положено отдельное хозяйство («дом» или «дым»).

В памятниках древней письменности с конца XIV века упоминается геометрическая мера земельных площадей – десятина. Первоначально применяли «круглую» десятину – квадрат со стороной, равной десятой доле версты (50 сажен), откуда и происходит название «десятина». С середины XV века десятину стали употреблять для пахотных земель, а не только для сенокосных угодий. С этого момента можно говорить об использовании в землемерной практике действительно мер в метрологическом смысле слова.

Переход от четверти к десятине оказался затруднительным, т. к. в основе четверти лежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовых книгах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.

площади мера доказательство формула

Площадь многоугольника и его свойства

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Квадратным сантиметром обозначается см². Аналогично определяется квадратный метр (м²), квадратный миллиметр (мм²) и т.д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определенным формулам.

Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас и рассмотрим.

Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е. имеет место следующее свойство:

1. Равные многоугольники имеют равные площади

Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Свойства 1⁰ и 2⁰ называют основными свойствами площадей. Аналогичными свойствами обладают и длины отрезков.

Наряду с этими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а².

 

Площадь квадрата

 

Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а².

Начнем с того, что а =, где n – целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке а) (на рисунке n=5).

рис. а)

a=Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна ^. Сторона каждого маленького квадрата равна , т.е. равна а. Итак,

S== (формула 1)

Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (В частности, число а может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m=  целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на m² равных квадратов так, как показано на рисунке б) (на рисунке m=7)

рис. б)

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

По формуле 1 площадь маленького квадрата равна. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) – го. Так как число а отличается от а_n не более чем на , то , откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной  и площадью квадрата со стороной  (рисунок в)), т.е. между  и :

 (формула 3)

рис. в)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число  будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число  будет сколь угодно мало отличаться от числа . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа . Следовательно, эти числа равны: , что и требовалось доказать.

Площадь прямоугольника

 

Теорема:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (рис. а). Докажем,

что S = ab.

Рис. а)

b

a

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на (рис. б)

По свойству 3⁰ площадь этого квадрата равна .

Рис. б)

a2

a b

a a

b b

a b

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с

площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1⁰ площадей) и двух квадратов с площадями a² и b² (свойство 3⁰ площадей). По свойству 2⁰ имеем:

, или .

Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.

 

Площадь параллелограмма

 

Основание – одна из сторон параллелограмма

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведенный из любой точки

Противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

Теорема

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD

за основание и проведем высоты BH и CK (см. рис.). Докажем, что S = AD BH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S.

Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника ABH.

Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т.е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S = BC  BH, а так как BC = AD, то S = AD  BH. Теорема доказана.

B C

A H D K

Площадь треугольника

 

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство:

Пусть S – площадь треугольника ABC (см. рис.). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что  AB  CH.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC – их общая сторона, AB = CD и AC = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е.  AB  CH. Теорема доказана.

C D

A H B

 

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении

площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема

Ели угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство:

Страница 10

Пусть S и  – площади треугольников ABC и , у которых  (см. рис.) Докажем, что .

Наложим треугольник  на треугольник ABC так, чтобы вершина  совместилась с вершиной А, а стороны  и  наложились соответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и AC имеют общую высоту CH, поэтому . Треугольники AC и A также имеют общую высоту , поэтому . Перемножая полученные равенства, находим:

 =  или .

 

Теорема доказана.

С

A B  

 

Площадь трапеции

 

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (), – середина стороны – перпендикуляр, опущенный из точки  на прямую . (рис. 1)

Рис. 1

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

,

 (по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

,

следовательно, .

Теорема Пифагора

 

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора.

Она является важнейшей теоремой геометрии.

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Докажем, что .

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь S этого квадрата равна . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной c, поэтому

Откуда

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника – BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, – это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно – AB=AK, AD=AC – равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата – 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

 

Теорема, обратная теореме Пифагора

 

Теорема

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике ABC . Докажем, что угол C прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  с прямым углом , у которого  и . По теореме Пифагора , и, значит, . Но  по условию теоремы. Следовательно, , откуда

Треугольники ABC и  равны по трем сторонам, поэтому , т.е. треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Теорема доказана.