1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Вероятность события А найдем используя условную вероятность.
= 0,278
– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
Ответ: 0,278.
2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение.
Пусть событие 
состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.
,
где 
– событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.
Т.к. события - независимые совместные события.
Ответ: 0,994.
3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы Н1, Н2, Н3.
– деталь изготовлена на первом станке;
– деталь изготовлена на втором станке;
– деталь изготовлена на третьем станке;
Гипотезы Нi образуют полную группу событий.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
– полная вероятность.
=
; 
=
;
=
; 
=
;
=0,45; 
=
;
Тогда
. = 0,015.
Ответ: 0,0,015.
4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение.
Найдем 
– наиболее вероятное число выпадений 6.
Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства:
;
– вероятность появления события в каждом из 
независимых испытаний. 
– вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). 
. 
– по условию.
;
Так как 
– целое число, то наивероятнейшее число звонков равно 
.
Ответ: 2.
5. Задача 5. Дискретная случайная величина 
может принимать одно из пяти фиксированных значений 
, 
, 
, 
, 
с вероятностями 
, 
, 
, 
, 
соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.
Решение.
Таблица 1.
|
| 1 | 4 | 5 | 7 | 8 |
|
| 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,15 | 0,15 |
Найдем числовые характеристики данного распределения.
Математическое ожидание
= 4,25
Дисперсию определим по формуле: 
.
= 24,55.
Тогда 
Найдем функцию распределения случайной величины.
.
Построим график этой функции
6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить константу 
, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;
]
Решение.
Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: 
. Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале 
, то 
.
Вычислим определенный интеграл:
.
Следовательно, 
, 
.
Математическое ожидание 
найдем по формуле:
.
Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, 
], то
= 
=
=
= 
.
Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
Найдем дисперсию 
, т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке
[0, ], то 
.
=
.
Найдем 
.
Воспользуемся формулой 
=
.
=
Найдем функцию распределения СВ Х.
При
. 
При
. 
При
. 
7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале 
. Построить график случайной величины 
и определить плотность вероятности 
.
Решение.
Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале 
, вне этого интервала 
.
Построим график функции 
на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:
;
;
Так как на интервалах 
и 
обратная функция не существует, то для этих интервалов 
.
На интервале 
одна обратная функция 
, следовательно 
На интервале 
две обратных функции 
и 
, следовательно 
.
Найдем производные обратных функций
; 
.
Учитывая, что 
, получим
; 
.
В результате получим:
.
Таким образом, плотность вероятности величины 
равна:
8. Задача 8. Двумерный случайный вектор 
равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности 
о любой точке этой области В:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами 
и 
.
Решение.
Построим область 
Найдем значение константы 
. Воспользуемся свойством функции
Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим
= 
.
Следовательно, 
. Значит, 
Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле
Корреляционный момент вычислим по формуле
.
.
.
.
Определим корреляционный момент
Ответ: 
9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
1. Получить вариационный ряд;
2. Построить гистограмму равноинтервальным способом;
3. Построить гистограмму равновероятностным способом;
4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 
и критерия Колмогорова (
)
| 0,22 | 0,42 | 0,07 | 1,69 | 0,42 | 0,94 | 1,81 | 2,24 | 0,74 | 0,75 |
| 0,80 | 2,59 | 0,55 | 0,43 | 0,51 | 0,38 | 1,41 | 0,73 | 0,03 | 0,96 |
| 0,63 | 0,17 | 0,10 | 0,09 | 1,09 | 1,52 | 2,97 | 0,91 | 1,53 | 0,55 |
| 1,23 | 1,27 | 0,75 | 1,55 | 0,88 | 0,57 | 0,31 | 1,04 | 1,71 | 1,39 |
| 1,16 | 0,86 | 1,13 | 0,82 | 2,02 | 1,17 | 0,25 | 0,64 | 0,07 | 0,11 |
| 1,99 | 0,71 | 2,17 | 0,23 | 2,68 | 1,82 | 1,19 | 0,05 | 1,23 | 4,70 |
| 0,37 | 0,40 | 1,31 | 0,20 | 0,50 | 2,48 | 0,32 | 1,41 | 0,23 | 1,27 |
| 0,33 | 1,48 | 0,52 | 0,68 | 0,30 | 0,40 | 0,24 | 1,52 | 0,17 | 0,17 |
| 0,83 | 1,20 | 0,65 | 0,05 | 1,45 | 0,23 | 0,37 | 0,09 | 3,66 | 0,28 |
| 0,77 | 0,11 | 1,95 | 0,10 | 0,95 | 0,65 | 4,06 | 3,16 | 0,51 | 2,02 |
Решение.
Найдем размах вариации 
. 
0,03; 
4,70;
4,70–0,03 = 4,67.
Вариационный ряд распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
| 0,03 | 1 | 0,86 | 1 |
| 0,05 | 2 | 0,88 | 1 |
| 0,07 | 2 | 0,91 | 1 |
| 0,09 | 2 | 0,94 | 1 |
| 0,1 | 2 | 0,95 | 1 |
| 0,11 | 2 | 0,96 | 1 |
| 0,17 | 3 | 1,04 | 1 |
| 0,2 | 1 | 1,09 | 1 |
| 0,22 | 1 | 1,13 | 1 |
| 0,23 | 3 | 1,16 | 1 |
| 0,24 | 1 | 1,17 | 1 |
| 0,25 | 1 | 1,19 | 1 |
| 0,28 | 1 | 1,2 | 1 |
| 0,3 | 1 | 1,23 | 2 |
| 0,31 | 1 | 1,27 | 2 |
| 0,32 | 1 | 1,31 | 1 |
| 0,33 | 1 | 1,39 | 1 |
| 0,37 | 2 | 1,41 | 2 |
| 0,38 | 1 | 1,45 | 1 |
| 0,4 | 2 | 1,48 | 1 |
| 0,42 | 2 | 1,52 | 2 |
| 0,43 | 1 | 1,53 | 1 |
| 0,5 | 1 | 1,55 | 1 |
| 0,51 | 2 | 1,69 | 1 |
| 0,52 | 1 | 1,71 | 1 |
| 0,55 | 2 | 1,81 | 1 |
| 0,57 | 1 | 1,82 | 1 |
| 0,63 | 1 | 1,95 | 1 |
| 0,64 | 1 | 1,99 | 1 |
| 0,65 | 2 | 2,02 | 2 |
| 0,68 | 1 | 2,17 | 1 |
| 0,71 | 1 | 2,24 | 1 |
| 0,73 | 1 | 2,48 | 1 |
| 0,74 | 1 | 2,59 | 1 |
| 0,75 | 2 | 2,68 | 1 |
| 0,77 | 1 | 2,97 | 1 |
| 0,8 | 1 | 3,16 | 1 |
| 0,82 | 1 | 3,66 | 1 |
| 0,83 | 1 | 4,06 | 1 |
| 4,7 | 1 |
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле 
. Длина частичного интервала вычисляется по формуле
.
Полученные значения запишем в таблицу
| № |
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0,03 | 0,497 | 0,467 | 34 | 0,34 | 0,73 |
| 2 | 0,497 | 0,964 | 0,467 | 27 | 0,27 | 0,58 |
| 3 | 0,964 | 1,431 | 0,467 | 15 | 0,15 | 0,32 |
| 4 | 1,431 | 1,898 | 0,467 | 10 | 0,1 | 0,21 |
| 5 | 1,898 | 2,365 | 0,467 | 6 | 0,06 | 0,13 |
| 6 | 2,365 | 2,832 | 0,467 | 3 | 0,03 | 0,06 |
| 7 | 2,832 | 3,299 | 0,467 | 2 | 0,02 | 0,04 |
| 8 | 3,299 | 3,766 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 |
| 9 | 3,766 | 4,233 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 |
| 10 | 4,233 | 4,7 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 |
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
Построим гистограмму равновероятностным способом.
| № |
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0,03 | 0,17 | 0,14 | 10 | 0,1 | 0,7143 |
| 2 | 0,17 | 0,25 | 0,08 | 10 | 0,1 | 1,2500 |
| 3 | 0,25 | 0,42 | 0,17 | 10 | 0,1 | 0,5882 |
| 4 | 0,42 | 0,57 | 0,15 | 10 | 0,1 | 0,6667 |
| 5 | 0,57 | 0,77 | 0,2 | 10 | 0,1 | 0,5000 |
| 6 | 0,77 | 0,96 | 0,19 | 10 | 0,1 | 0,5263 |
| 7 | 0,96 | 1,27 | 0,31 | 10 | 0,1 | 0,3226 |
| 8 | 1,27 | 1,53 | 0,26 | 10 | 0,1 | 0,3846 |
| 9 | 1,53 | 2,17 | 0,64 | 10 | 0,1 | 0,1563 |
| 10 | 2,17 | 4,7 | 2,53 | 10 | 0,1 | 0,0395 |
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
Оценку математического ожидания вычислим по формуле
1,00.
Оценку дисперсии вычислим по формуле:
, 
0,82,
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
В нашем случае
1,00, 
0,82, 
, 
, 
.
; 
Доверительный интервал для математического ожидания 
.
Доверительный интервал для дисперсии
, 
=1,96 (
).
По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:
H0 : 
H1 : 
Определим оценку неизвестного параметра 
Предполагаемый закон распределения 
. Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов
Теоретические частоты найдем по формуле
| № | Интервалы [xi; xi+1) |
|
|
|
|
| |
| 1 | 0,03 | 0,497 | 0,36 | 36,00 | -2,00 | 4,00 | 0,1111 |
| 2 | 0,497 | 0,964 | 0,23 | 23,00 | 4,00 | 16,00 | 0,6957 |
| 3 | 0,964 | 1,431 | 0,14 | 14,00 | 1,00 | 1,00 | 0,0714 |
| 4 | 1,431 | 1,898 | 0,09 | 9,00 | 1,00 | 1,00 | 0,1111 |
| 5 | 1,898 | 2,365 | 0,06 | 6,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
| 6 | 2,365 | 2,832 | 0,04 | 4,00 | -1,00 | 1,00 | 0,2500 |
| 7 | 2,832 | 3,299 | 0,02 | 2,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
| 8 | 3,299 | 3,766 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
| 9 | 3,766 | 4,233 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
| 10 | 4,233 | 4,7 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 |
|
| 1,24 | ||||||
НАБЛ=Число степеней свободы 
определяют по формуле 
. По таблице критерия Пирсона находим: 
. Так как 
, то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0(x) показательного закона равна
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.
| № | Интервалы [xi; xi+1) | частота в интервале
|
|
|
| |
| 1 | -2,951 | 7 | 34 | 0,34 | 0,36 | 0,02 |
| 2 | -2,513 | 10 | 27 | 0,61 | 0,59 | 0,02 |
| 3 | -2,075 | 8 | 15 | 0,76 | 0,73 | 0,03 |
| 4 | -1,637 | 12 | 10 | 0,86 | 0,82 | 0,04 |
| 5 | -1,199 | 14 | 6 | 0,92 | 0,88 | 0,04 |
| 6 | -0,761 | 11 | 3 | 0,95 | 0,91 | 0,04 |
| 7 | -0,323 | 9 | 2 | 0,97 | 0,93 | 0,04 |
| 8 | 0,115 | 4 | 1 | 0,98 | 0,95 | 0,03 |
| 9 | 0,553 | 16 | 1 | 0,99 | 0,96 | 0,03 |
| 10 | 0,991 | 9 | 1 | 1,00 | 0,97 | 0,03 |
; 
.
То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости 
находим критическое значение 
.
Так как 
, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины
1. Вычислить оценку коэффициента корреляции;
2. Вычислить параметры линии регрессии 
и 
;
3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовые характеристики величин и .
0,88; 
0,10.
1,59; 
.
1,76; 
.
Корреляционный момент равен:
–0,23
Найдем уравнения регрессии 
где 
; 
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Коэффициент корреляции равен:
.
Найдем интервальную оценку.
.
,
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости 
.
Проверим нулевую гипотезу 
: о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе 
.
.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы 
найдем критическую точку 
двусторонней критической области. 
.
Так как 
– нулевую гипотезу принимаем.
Похожие работы
... мышц и скоростью их сокращения, между спортивным достижением в одном и другом виде спорта и так далее. Теперь можно составить содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивного профиля. 1. Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с ...
... {ξn (ω )}¥n=1 . Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное». Определение 46. Говорят, что последовательность с. в. {ξn } сходится почти наверное к с. в. ξ при n ® ¥ , и пишут: ξn ...
... ничего другого, кроме как опять же события и . Действительно, имеем: *=, *=, =, =. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: . В самом деле: *=,*=,=,. 2.Вероятность. Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только ...
... случайная величина приобрела статус полноценного математического понятия, ей необходимо дать строго формализованное определение. Это было сделано в конце 20-х годов А.Н. Колмогоровым в небольшой статье, посвященной аксиоматике теории вероятностей, а затем в подробностях изложено в его знаменитой книге «Основные понятия теории вероятностей». Подход Колмогорова стал теперь общепринятым, поскольку он ...
0 комментариев