Задачі максимізації та оптимізації діяльності підприємства

Задачі максимізації та оптимізації діяльності підприємства

1. Найпростіша задача на максимізацію прибутку компанії

Компанія робить два продукти в кількості x1 і x2 тонн за місяць відповідно. Тонна першого продукту приносить 12 тис. грн.. прибутку, а тонна другого – 8 тис. грн. Виробничі потужності компанії дозволяють випускати не більше 100 тонн двох продуктів разом, при цьому виробництво першого продукту не може перевищувати більше ніж у три рази виробництво другого. Треба визначити оптимальний обсяг виробництва, що приносить компанії оптимальний прибуток.

Стосовно до даної задачі цільова функція (критерій оптимальності) має вид

F(x1, x2,……xn)=F(x1,x2)=12x1+8x2 тис. грн.

Обсяги випуску x1 і x2 є свідомо позитивні величини, тобто

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

Між значеннями x1 і x2 маються зв'язки

x1 + x2 ≤ 100 x1 ≤ 3 x2

Таким чином, підходимо до типової задачі лінійного математичного програмування, коли треба відшукати значення керуючих параметрів x1, x2, що додають максимальне значення цільової функції 12x1 + 8x2 з урахуванням фіксованих зв'язків і обмежень.

Постановку і розв’язання цієї задачі зручно проілюструвати графічно, відобразивши зв'язки й обмеження в системі координат x1, x2, як зображено на рис. 1.

Рис.1. - Графічна інтерпретація задачі оптимізації

Внаслідок позитивних значень x1 і x2 (x1 ≥ 0; x2 ≥ 0) роз’вязання варто шукати в першому квадранті. Обмеження за сумарним випуском (x1 + x2 ≤ 100) звужує область пошуку до трикутника ОАС, який знаходиться всередині обмеженого зверху прямою x1 + x2 = 100. Обмеження x1 ≤ 3 x2 ще більш звужує область припустимих за умовою задачі значень x1 і x2, укладаючи її в трикутник ОАВ, обмежений знизу прямою x1 ≤ 3 x2. Серед усіх значень x1 і x2, ув'язнених всередині ОАВ, оптимальним відповідає тока В. У цій точці, що відповідає координатам x1 = 75; x2 = 25, досягається найбільше з припустимих значень x1, рівне 75. До найбільшого ж значення x1 і треба прагнути, тому що перший вид продукції дає у розрахунку на одну тонну більше прибутку, ніж другий (12 > 8), тобто треба вибирати найбільше з можливих, припустимих значень x1. Оптимальному роз’вязанню відповідає, таким чином, точка B, у якій цільова функція досягає свого максимального значення

12x1 + 8x2 = 12 · 75 + 8 ·25 = 1100 тис. грн.

Легко перевірити, що усередині трикутника ОАВ будь-яке інше сполучення, крім x1 = 75; x2 = 25, забезпечує менший сумарний прибуток.

2. Транспортна задача

Розглянемо спочатку загальну постановку цієї досить складної оптимізаційної задачі і побудуємо її економіко-математичну модель, яку потім проілюструємо найпростішим прикладом.

Нехай є n постачальників товару і m його споживачів. Кожен “i” постачальник здатний поставляти споживачам за визначений час кількість товару, рівному Ni, а кожен “j” споживач має потребу в кількості товару, рівному Mj. Познаніжо через xij кількість товару, що поставляється “i” постачальником “j” споживачу. Тоді загальний обсяг постачань Q, дорівнює обсягу попиту всіх споживачів, виразиться співвідношенням:

Q = , (1)

де Nj =  є сума постачань усім m споживачам з боку “i” постачальника.

Mj =  є сума потреб “j” споживача, засвідчуваних постачальниками всіх n постачальників.

Приймемо далі, що вартість перевезення товару “i” постачальником “j” споживачу дорівнює cij. Тоді загальна вартість перевезень, що залежать від прикріплення “i” постачальника до “j” споживача, тобто від значень xij дорівнює

F (xij) = , i=1,2…n;j=1,2…m (2)

Оптимізаційна задача полягає в тому, щоб знайти значення xij, тобто величини постачань (перевезень) товару від кожного постачальника до кожного споживача, при яких загальна вартість перевезень F(x11, x12, … xij, … xnm) буде мінімальною. Роз’вязання задачі повинне задовольняти таким обмеженням:

1) усі значення xij ненегативні, тобто

xij ≥ 0, (3)

2) можливість перевезень і запити споживача задовольняються цілком, що виражено співвідношенням (1).

Економіко-математична модель транспортної задачі, у поданому виді, яка характеризується цільовою функцією (2) і обмеженнями (1), (3), являє оптимізаційну модель задачі лінійного математичного програмування. Роз’вязання таких задач при великих значеннях кількості постачальників товару “n” і кількості споживачів товару “m” вимагає застосування складних математичних методів. Тому проілюструємо роз’вязання транспортної задачі на простому прикладі, в якому відшукання оптимального роз’вязання не складе великої праці.

Нехай є два постачальники і три споживачі товару. Можливості постачання і попит споживачів, а також вартість перевезень одиниці вантажу наведені в такій таблиці:

Таблиця 1

Споживачі	Потреба в товарі, тонн	Постачаль-ники	Можливість переве-зення, тонн	Вартість доставки одиниці товару споживачу, грн. за тонну
				Спожи-вач 1	Спожи-вач 2	Спожи-вач 3
1 2 3	50 70 40	1 2	100 60	C11 = 10 C21 = 8	C12 = 9 C22 = 10	C13 = 11 C23 = 9

Задача полягає в тому, щоб знайти значення обсягів постачань x11, x12, x13 першого постачальника першому, другому і третьому споживачам і обсяги постачань x21, x22, x23 другого постачальника відповідно першому, другому і третьому споживачам, при яких сумарні витрати

F (x11, x12, x13, x21, x22, x23) = C11x11 + C12x12 + C13x13 + C21x21 + C22x22 + +C23x23 = 10x11 + 9x12 + 11x13 + 8x21 + 10x22 + 9x23

будуть найменшими. Одночасно повинні дотримуватися умови,

x11 + x12 + x13 = 100; x21 + x22 + x23 = 60; x11 + x21 = 50;

x21 + x22 = 70; x13 + x23 = 40,

які характеризують повне задоволення потреб споживачів і повне використання можливостей постачальників товару.

Тому що найдешевшою є вартість доставки одиниці товару другим постачальником першому споживачу, то використовуємо цю можливість цілком і приймемо x21 = 50 тонн і тим самим цілком задовольнимо його потребу. Можливість доставки, що залишилася, 60 - 50 =10 тонн товару з боку другого постачальника надамо третьому споживачу, тобто x23 = 10, тому що витрата на доставку йому одиниці товару (C23 = 9) менше, ніж другому споживачу (C22 = 10) і менше, ніж доставка першим постачальником (C13 = 11). Звідси випливає, що x23 = 10 тонн. Можливості другого постачальника на цьому вичерпані і потреби, що залишилися, повинні бути задоволені першим постачальником. Він поставить другому споживачу x12 = 70 тонн і третьому споживачу x13 = 30 тонн, тому що 10 тонн цей споживач вже одержав від другого постачальника. Ну а постачання товару першим постачальником першому споживачу, так само, як і постачання другим постачальником другому споживачу виявляться непотрібними, так що x11 = 0 і x22 = 0.

У підсумку шукане роз’вязання задачі має вид

X11 = 0; X12 = 70; X13 = 30; X21 = 50; X22 = 0; X23 = 10,

а сумарні витрати на постачання товарів, рівні

0 · 10 + 70 · 9 + 30 · 11 + 50 · 8 + 0 · 10 + 10 · 9 = 1450 грн.

і є мінімально можливі. Середня вартість перевезення однієї тонни товару складе  грн. за тонну, тим часом як при відсутності оптимізації середня ціна дорівнює

 грн. за тонну