Проверка предпосылок и предположений регрессионного анализа

1.2 Проверка предпосылок и предположений регрессионного анализа

Регрессионный анализ является одним из самых распространённых методов обработки результатов наблюдений. Он служит основой для целого ряда разделов математической статистики и методов обработки данных. Регрессионный анализ базируется на ряде предположений и предпосылок, нарушение которых приводит к некорректному его использованию и ошибочной интерпретации результатов.

Если F-критерий и показал, что подгонка модели в целом является удовлетворительной; целесообразно провести анализ остатков для проверки соблюдений предпосылок и предположений.

В этом случае исследуется набор отклонений между экспериментальными и предсказанными значениями зависимой переменной,

.

Проверка предпосылок и предположений регрессионного анализа включает в себя следующие задачи:

1) оценка случайности зависимой переменной;

2) оценка стационарности и эргодичности зависимых и независимых переменных;

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения ошибок E;

4) Обнаружение выбросов;

5) Проверка постоянства математического ожидания и дисперсии ошибок;

6) Оценка коррелированности остатков;

7) Обнаружение мультиколлинеарности.

1.2.1 Проверка случайности

Построение моделей методом множественного регрессионного анализа требуется выполнение предположения случайности  и в нормальной линейной модели вида

где  – вектор наблюдений зависимой переменной;

 – матрица наблюдений независимых переменных;

 – вектор неизвестных коэффициентов;

 – вектор ошибок.

Задача проверки случайности может быть разбита на 2 подзадачи:

1) проверка случайности собственной величины Y;

2) проверка случайности выборки, то есть допущения об отсутствии существенного смещения средней величины во времени.

Первая подзадача решается с использованием критерия серий. Для этой цели последовательность наблюдений величины Y представляют последовательностью нулей и единиц, где единицей обозначают значение, превышающее среднее или медиану, и нулем, собственно, значение меньшее медианы. После обозначения вектор наблюдений преобразуется в последовательность серий  где  – количество подряд идущих элементов одного вида, i – номер серии.

Доказано, что при  распределение величины r близится к нормальному с характеристиками

 

Тогда с вероятностью 0,954 теоретическое число серий r будет находиться в пределах

Если фактическое значение  попадает в указанные пределы, то Y можно считать случайной величиной.

Серией называется последовательность наблюдаемых значений, перед которыми и после которых расположены наблюдаемые значения другой категории. Если последовательность N наблюдений представляет собой независимые наблюденные значения одной и той же случайной величины, т.е. вероятность знаков (+) и (–) не меняется от одного наблюдения к другому, то выборочное распределение числа серий в последовательности есть случайная величина r со средним значением

(3.1)

и дисперсией

(3.2)

Здесь  – число наблюдений со знаком (+),  – число наблюдений со знаком (–).

Когда  соотношения (3.1) и (3.2) принимают вид

Для решения второй подзадачи используется метод последовательных разностей. Элементы исследуемой выборки  располагаются в порядке получения наблюдений и для них вычисляются выборочные среднее и дисперсия

Определяют разности  между соседними наблюдениями

и математическое ожидание квадрата разности

где  – оценка генеральной дисперсии.

Фактическая величина критерия случайности выборки

.

Теоретическое значение критерия

При  для конкретного N гипотеза случайности отвергается.