Основы статистики

Министерство образования и науки Российской Федерации

Филиал ГОУ ВПО « Сочинский государственный университет

туризма и курортного дела» в г. Омске Омской области

кафедра менеджмента

СТАТИСТИКА

ПИСЬМЕННАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению контрольных работ для студентов заочной и очно-заочной форм обучения

Старший преподаватель: БЕЛОЗЕРОВА Е. А.

2010г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И СХЕМЫ РЕШЕНИЙ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 ПО РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ» КУРСА «СТАТИСТИКА»

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И СХЕМЫ РЕШЕНИЙ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2 ПО РАЗДЕЛУ «СТАТИСТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ» КУРСА «СТАТИСТИКА»

4. ЛИТЕРАТУРА И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная консультация предлагается в помощь студентам 2 курса заочной и очно-заочной форм обучения. В ней представлены методические указания и схемы решений практических заданий контрольной работы № 1 по разделу «Теория статистики» курса «Статистика» и контрольной работы № 2 по разделу «Статистика предприятия» курса «Статистика».

Студенты выполняют контрольную работу по одному из двух рекомендованных вариантов.

Варианты с заданиями контрольных работ представлены в пособии «Статистика: Методические указания по выполнению контрольных работ / Сост. Е, А. Белозерова – Омск: ФСГУТ и КД в г. Омске, 2004. -37с.» и выдаются в библиотеке филиала.

Каждый вариант контрольной работы № 1 включает теоретический вопрос и восемь практических задач. Каждый вариант контрольной работы № 2 предусматривает обязательное выполнение трех из восьми практических заданий (№2, №3, №4).

Приступая к решению конкретной задачи, необходимо понять ее условия и требования. При решении задач нельзя ограничиваться записью одних ответов на задачи. Надо показать в контрольной работе ход решения каждой задачи, применение тех или иных формул, по полученным результатам сделать выводы. Расчеты показателей, таблицы, их наименование и единицы измерения, а также соответствующие выводы, предусмотренные задачами, следует составлять четко и точно.

При составлении таблиц следует руководствоваться правилами и требованиями к составлению статистических таблиц, приведенными в учебниках по курсу «Теория статистики».

Средние, относительные величины в процентах должны исчисляться с точностью до одной сотой; индексы, доли единицы и коэффициенты – с точностью до одной тысячной.

Контрольную работу следует выполнять грамотно, аккуратно, без сокращения слов, оставляя поля и свободное место для возможных замечаний и рецензий преподавателя. В конце работы необходимо указать перечень использованной литературы и учебных пособий, дату выполнения и свою подпись.

Требования к оформлению. Выполненные задания располагаются по представленному порядку. В конце работы необходимо указать перечень использованной литературы и учебных пособий, дату выполнения и свою подпись. На титульном листе располагается следующая информация: название дисциплины, Ф.И.О. студента, курс, группа, номер контрольной работы, номер выбранного варианта и номера выполненных заданий по порядку в следующем виде:

Контрольная работа по статистике № Вариант №
Задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Оценка

Сроки выполнения. Выполненная контрольная работа подписывается студентом и сдается на проверку преподавателю на кафедру менеджмента в установленные сроки, как правило, за 10дней до начала сессии. Проверка контрольной работы преподавателем осуществляется в течение недели после ее сдачи. Контрольная работа должна быть зачтена к началу экзаменационной сессии.

Критерии оценки контрольной работы. При соответствии контрольной работы требованиям методических указаний, правильных и полных ответов на вопросы, верно решенных задачах, преподаватель ставит на титульном листе «Зачтено» и подпись. Если в результате проверки обнаружены существенные ошибки, неполный объем или низкое качество оформления работы, она возвращается студенту для доработки или переделки. Замечания преподавателя в письменном виде на полях работы и на титульном листе представляются студенту. На титульном листе ставится «Доработать» или «Переделать» и подпись. После доработки или переделки контрольная работа повторно сдается на проверку преподавателю. По результатам повторной проверки студент защищает исправленную работу – поясняет работу над ошибками, отвечает на возникающие у преподавателя вопросы по существу выполняемых заданий.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И СХЕМЫ РЕШЕНИЙ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 ПО РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ» КУРСА «СТАТИСТИКА»

 

ЗАДАЧА 1

 

Имеются следующие данные о проценте выполнения норм выработки тридцатью рабочими ремонтной бригады:

Выполнение норм выработки рабочими (%):

96 95 98 98 112 115 114 106 102 111

100 95 110 102 104 106 101 112 97 107

105 104 103 102 107 108 102 108 106 103

Требуется построить интервальный вариационный ряд распределения рабочих по нормам выработки, выделив 4 группы с равными интервалами. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

(См. учебное пособие В. М. Гусарова «Статистика», М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003, с.39-45).

1) Группировочный признак – норма выработки, минимальное значение выполнения нормы выработки рабочими (X_MIN) – 95%, максимальное значение (X_MAX) – 115%, число групп дано в условии n = 4, отсюда определим величину равновеликого интервала (i):

=(X_MAX- X_MIN): ; =(115-95):4=5%

2) Зная величину интервала, определим границы групп по нормам выработки рабочих (в %). Нижней границей первой группы является минимальное значение признака в совокупности X_MIN=95%, верхняя граница получается путем прибавления величины интервала =5% к нижней границе. Нижней границей следующей группы служит верхняя граница предыдущей группы, а верхняя граница данной группы больше ее нижней границы на величину интервала:

1 группа – от 95 до 100 (X_MIN +  ; 95%+5%)

2 группа – от 100 до 105 (100% +5%)

3 группа – от 105 до 110 (105%+5%)

4 группа – от 110 до 115 (110%+5%)

3) В таблице 1 построим ряд распределения рабочих по нормам выработки путем подсчета частот (f_i) - абсолютного значения числа рабочих в каждой группе. В графе 1 указываются по порядку варианты (x_i) - значения признака в границах группы (нормы выработки), а в графе 2 – абсолютное число единиц (рабочих), входящих в данный интервал (частоты f_i):

Таблица 1

Распределение рабочих ремонтной бригады по выполнению норм выработки

Группы рабочих по выполнению норм выработки, % (варианты xi)	Число рабочих, чел (частотыfi)	Структура рабочих по нормам выработки (частости wi= fi /∑fi)		Сумма накопленных частот, (кумулятивные частоты Si)
		в долях единицы	Удельный вес в % к итогу
1	2	3	4	5
95-100 100-105 105-110 110-115 Итого	7 10 8 5 30	0,233 0,333 0,267 0,167 1,000	23,3 33,3 26,7 16,7 100,0	7 17 (7+10) 25 (17+8) 30 (25+5) -

4) Определим структуру распределения рабочих бригады по выполнению норм выработки. Структура распределения выражается относительными величинами (частостями) и определяется в долях единицы (графа 3) или в процентах (графа 4). Частость или число рабочих в долях единицы определяется делением частоты соответствующей группы на сумму частот: w_i= f_i / ∑f_i, частость в процентах или удельный вес группы в общей численности совокупности определяется умножением соответствующей доли на 100%. Так, доля рабочих в общей численности рабочих бригады:

в первой группе w₁= f₁ / ∑f_i= 7:30=0,233 или удельный вес рабочих первой группы в общей численности рабочих бригады составил 23,3%;

во второй группе w₂= f₂ / ∑f_i=10:30=0,333 или 33,3% и т. д.Сумма долей равна 1, сумма удельных весов равна 100%.

5) Кроме обычных частот в вариационном ряду рассчитывают нарастающим итогом накопленные (кумулятивные) частоты, по которым строят суждение о том, какое число единиц в совокупности обладает значением признака «не более» или «не менее» определенного. Рассчитаем кумулятивные частоты (графа 5) путем последовательного суммирования частот ряда: S₁ = 7; S₂ = 7+10 = 17; S₃ = 17+8 = 25; S₄ = 25+5 = 30.

ВЫВОД. По данным ряда распределения можно сделать вывод о характере распределения рабочих по выполнению норм выработки и их структуре:

1)  наибольшее число рабочих – 10 человек или 33,3% от общего числа выполняют норму выработки от 100 до 105%,

2)  затем по численности следует группа из 8 человек (26,7% от общего числа), которые выполняют норму выработки от 105 до 110%.

 Кумулятивные частоты распределения показывают, что:

1)  из всей численности рабочих ремонтной бригады норму выработки, не превышающую 100%, выполняют 7 человек или 23,3% рабочих бригады;

2)  у 17 человек (56,6% от численности бригады) норма выработки не превышает 105%;

3)  у 25 рабочих (83,3% от численности рабочих бригады) норма выработки не превышает 110%;

4)  5 рабочих, составляющих 16,7% от общей численности бригады выполняют норму выработки от 110 до 115%.

Таким образом, в ремонтной бригаде норму выработки перевыполняют 23 человека, что составляет 76,7% от числа рабочих в бригаде.

 

ЗАДАЧА 2

 

Имеются следующие данные о выпуске трех видов продукции предприятием за 2008-2009гг.:

Вид продукции	Выпуск продукции в 2009г., тыс. руб.		Выполнение бизнес-плана в 2009г., %	Выпуск продукции в 2008г., тыс. руб.
	бизнес-план	факт
1	2	3	4	5
А	2850		102,5	2710
Б		2720	98,3	2560
В	3350	3420		3100
Всего

Определите: 1.Недостающие показатели в таблице.

2.Фактическую структуру продукции за 2008г. и 2009г.

3.Относительные величины динамики производства продукции в 2009 году по сравнению с 2008 годом (по плану и фактически).

По исходным и полученным данным постройте аналитическую таблицу, укажите виды относительных величин и сформулируйте выводы.

РЕШЕНИЕ (представим в аналитической таблице 2)

( См. учебное пособие В. М. Гусарова «Статистика», М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003, с.39-45).

1) Определим недостающие в таблице показатели:

а) Фактическое производство продукции А в 2009г. (Ф₁) найдем из формулы:

ОВВП = (Ф₁/П₁)×100% (1),

где ОВВП – относительная величина выполнения плана

Ф₁ – фактический уровень показателя в отчетном периоде

П₁ – запланированный уровень показателя в отчетном периоде

Следовательно, недостающий показатель фактического производства продукции А в 2009г.:

Ф₁ = (П₁×ОВВП)/100%, Ф₁ = (2850×102,5)/100% = 2921,25 тыс.руб.

б) Запланированный уровень производства продукции Б в 2009г. (П₁) также найдем из формулы (1):

П₁ = (Ф₁/ОВВП)×100%, П₁ = (2720×100%)/98,3 = 2767,04 тыс.руб.

Таблица 2

Оценка изменения выпуска продукции предприятием за 2008-2009г.

Вид проду кции	Выпуск продукции в 2009г., тыс.руб.		Выпол нение бизнес-плана в 2009г., % (ОВВП)	Выпуск продук ции в 2008г., тыс.руб. (Ф0)	Удельный вес продукции по факту,% к итогу		Темпы роста 2009г. к 2008г., %
	бизнес-план (П1)	Факт (Ф1)
					2008г.	2009г.	по плану	по факту
1	2	3	4	5	6	7	8	9
А	2850,0	2921,2	102,5	2710,0	32,4	32,2	105,2	107,8
Б	2767,0	2720,0	98,3	2560,0	30,6	30,0	108,1	106,3
В	3350,0	3420,0	102,1	3100,0	37,0	37,8	108,1	110,3
Всего	8967,0	9061,2	101,1	8370,0	100,0	100,0	107,1	108,3

 

в) Степень выполнения бизнес-плана выпуска продукции В (графа4) определим по формуле (1):

ОВВП = (3420/3350)×100% = 102,1%

г) Общий объем производства продукции за 2009г. (итоговая строка) составил: по плану Σ П₁ = 2850 + 2767,04 + 3350 = 8967,04 тыс.руб.

по факту Σ Ф₁ = 2921,25 + 2720 + 3420 = 9061,25 тыс.руб.

Степень выполнения плана по всем видам продукции за 2009г. (итоговая строка графы 4) составляет:

ОВВП = (ΣФ₁/ΣП₁)×100% = (9061,25/8967,04)×100% = 101,1%

д) Фактическое производство по всем видам продукции за 2008г. (итоговая строка графы5):

ΣФ₀= 2710 + 2560 +3100 = 8370 тыс.руб.

где Ф₀ – фактическое производство в базисном периоде, которым является 2008г. по отношению к отчетному 2009г.

2) Определим фактическую структуру продукции по формуле:

ОВС = ( / Σ)×100% (2),

статистика таблица контрольная работа

где ОВС – относительная величина структуры (удельный вес части в целом)

 – абсолютная величина части целого (производство отдельных видов продукции)

Σ– абсолютная сумма частей целого (общий выпуск продукции)

а) За 2008г. (графа 6 по графе 5) удельный вес отдельных видов продукции в общем объеме выпуска по формуле (2)составил:

Уд. вес продукции А = (2710/8370)×100% = 32,4%

Уд. вес продукции Б = (2560/8370)×100% = 30,6%

Уд. вес продукции В= (3100/8370)×100% = 37,0%

Итого: 100,0%

б) За 2009г. (графа 7 по графе 3) удельный вес отдельных видов продукции в общем объеме выпуска по формуле (2) составил:

Уд. вес продукции А = (2921,25/9061,25)×100% = 32,2%

Уд. вес продукции Б = (2720/9061,25)×100% = 30%

Уд. вес продукции В = (3420/9061,25)×100% = 37,8%

Итого: 100,0%

3) Определим относительные величины плановой и фактической динамики.

а) Относительная величина плановой динамики или планового задания (ОВПЗ) – это темп роста по плану (графа 8), определяется как отношение запланированного уровня на отчетный период (П₁) к фактическому уровню базисного периода (Ф₀):

ОВПЗ= (П₁/Ф₀)×100% (3)

В 2009 г. по сравнению с 2008г. запланированные темпы роста выпуска отдельных видов продукции по формуле (3) составили:

для продукции А ОВПЗ_А= (2850/2710)×100% = 105,2%

для продукции Б ОВПЗ_Б = (2767,04/2560)×100% = 108,1%

для продукции В ОВПЗ_В = (3350/3100)×100% = 108,1%

для всех видов продукции ОВПЗ₂₀₀₉ = (8967,04/8370)×100% = 107,1%

б) Темп фактического роста (Т_р) или относительная величина динамики (ОВД) – это соотношение фактических уровней одного и того же показателя в отчетном и базисном периодах (графа 9), определяется по формуле:

Тр = (Ф₁/Ф₀)×100% (4)

Фактические темпы роста выпуска продукции в 2009г. по сравнению с 2008г.по формуле (4) составили:

продукции А: Т_р = (2921,25/2710)×100% = 107,8%

продукции Б: Т_р = (2720/2560)×100% = 106,3%

продукции В: Т_р= (3420/3100)×100% = 110,3%

 всех видов продукции: Т_р = (9061,25/8370)×100% = 108,3%

Выводы:

1. План выпуска всех видов продукции в целом на предприятии в 2009 году перевыполнен на 1,1%, в том числе по продукции А на 2,5%, по продукции В на 2,1%, а по продукции Б план выпуска не выполнен на 1,7% ( по графе 4).

2. В 2009 г. по сравнению с 2008г. планировался рост общего объема выпуска продукции на 7,1%, в том числе рост выпуска продукции А - на 5,2%, продукции Б - на 8,1%, продукции В также на 8,1% (по графе 8).

3. Фактически выпуск продукции в 2009 году по сравнению с 2008 годом увеличился на 8,3%, в том числе продукции А - на 7,8%, продукции Б - на 6,3%,продукции В - на 10,3% (по графе 9).

4. Удельный вес в общем объеме выпуска продукции за 2008г. составил: продукции А -32,4%, продукции Б – 30,6%, продукции В – 37,0% (по графе 6).Существенных структурных сдвигов в выпуске продукции на предприятии в 2009г. по сравнению с 2008г. не наблюдалось, так удельный вес продукции А в общем объеме выпуска в 2009г. составил 32,2% (было 32,4%), продукции Б – 30,0% (было 30,6%), продукции В – 37,8% (было37,0%).

 

ЗАДАЧА 3

 

Имеются следующие данные о стоимости продукции и ее выработке рабочими в разных бригадах (таблица 3):

Таблица 3

Стоимость и выработка продукции рабочими в разных бригадах

Номер бригады	Стоимость произведенной продукции, тыс.руб. (М = х × f)	Число рабочих, чел. (f)	Выработка на одного рабочего, тыс. руб. (х)
А	1	2	3
1 2 3	460 650 700	23 26 25	20 25 28
Итого (∑)	1810	74	-

На основе приведенных данных определите среднюю выработку на одного рабочего в целом по трем бригадам, используя данные:

А) граф 1 и 2;

Б) граф 1 и 3;

В) граф 2 и 3.

Укажите виды средних и сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

(См. учебное пособие В. М. Гусарова «Статистика», М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003, с.56-66).

1) В зависимости от исходных данных среднее значение того или иного признака может рассчитываться по-разному. Чтобы установить формулу расчета для конкретного варианта данных, необходимо определить исходное соотношение средней для осредняемого признака, в нашем примере этим признаком является показатель «средняя выработка». Независимо от исходных данных, средняя выработка одного рабочего может быть получена через следующее соотношение:

_ Стоимость произведенной продукции (М)

Средняя выработка (х)= ______________________________________

Численность рабочих (f)

2) По данным граф 1 и 2 известны и числитель (М), и знаменатель (f) логической формулы, следовательно, нужна формула средней агрегатной:

 

 = ΣМ / Σf ;  = (460+650+700)/(23+26+25) = 1810/74 = 24,5 (тыс.руб.)

3) По данным граф 1 и 3 известен только числитель (М) логической формулы и неизвестен знаменатель (f), но даны отдельные варианты (х), следовательно, применим среднюю гармоническую взвешенную:

 = ΣМ / Σ(М / х);  =(460+650+700)/(460/20+650/25+700/28)=1810/74 = 24,5 (тыс. руб.)

4) По данным граф 2 и 3 известен знаменатель логической формулы (f) и отдельные варианты (х), но неизвестен числитель логической формулы (М), следовательно, применим среднюю арифметическую взвешенную:

 

 = Σхf / Σf;  =(20×23+25×26+28×25)/(23+26+25)= 1810/74 =24,5 (тыс.руб.)

Вывод. Средняя выработка на одного рабочего по трем бригадам составила 24,5 тыс. руб. Для определения средней выработки на одного рабочего по разным вариантам исходных данных использовались разные формулы средних, но получился один и тот же ответ - 24,5 тыс. руб., так как для разных условий данных каждый раз реализовывалось одно и то же исходное соотношение средней. Это объясняется тем, что на базе научного статистического метода расчета средних величин, для каждого конкретного показателя, используемого в социально-экономических расчетах, можно исчислить только одно истинное значение средней.

 

ЗАДАЧА 4

 

Для оценки выпуска продукции предприятиями области проведена 10%-ная механическая выборка, в результате чего установлено (таблица 4):

Таблица 4

Распределение предприятий области по выпуску продукции

Группы предприятий по выпуску продукции, млн. руб.	Число предприятий
До 30	3
30 - 50	18
50 - 70	11
7 0- 90	6
Свыше 90	2
Итого:	40

Определите характеристики ряда распределения предприятий по выпуску продукции:

1. Средний выпуск продукции, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте вывод.

2. Структурные средние: моду и медиану, сделайте вывод.

3. С вероятностью 0,954 определите: а) ошибку выборки среднего выпуска продукции и границы, в которых будет находиться средний выпуск продукции предприятий в целом по области; б) пределы доли предприятий с выпуском продукции свыше 70 млн.руб. Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

(См. учебное пособие В. М. Гусарова «Статистика», М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003, с.59-62, с.68-80, с.90-104).

1) Рассчитаем средний выпуск продукции на одно предприятии по средней арифметической взвешенной для интервального ряда распределения, используя в расчетах способ моментов.

а) На первом этапе определим величины открытых интервалов (первый и последний), условно приравняв их к величинам примыкающих интервалов (второй и предпоследний), и найдем неизвестные границы интервалов. По значениям признака второго интервала величина интервала составляет: =50-30 = 20 (млн. руб.), из предпоследнего интервала: =90-70=20 (млн. руб.). Отсюда неизвестная (нижняя) граница первого интервала равна разности между верхней границей и величиной интервала: 30-20=10; неизвестная (верхняя) граница последнего интервала равна сумме нижней границе этого интервала и величины интервала: 90+20 = 110.

б) На втором этапе определим центры интервалов (Хц) – в таблице графа 3:

Х₁ = (10+30)/2 =20; Х₂ = (30+50)/2 =40; Х₃ = (50+70)/2 = 60; Х₄ = (70+90)/2 = 80; Х₅ = (90+110)/2 = 100 (графа 3).

Для вычисления показателей построим расчетную таблицу (таблица5).

Таблица 5

Расчет среднего выпуска продукции и среднего квадратического отклонения способом моментов

Группы предприятий по выпуску продукции, млн.руб. Х	Число предприятий f	Расчетные показатели
		Хц	Х1=	Х1f		f	S
1	2	3	4	5	6	7	8
До 30(10-30)	4	20	-2	-8	4	16	4
30-50	15	40	-1	-15	1	15	19
50-70	11	60	0	0	0	0	30
70-90	7	80	+1	+7	1	7	37
Свыше 90 (90-110)	3	100	+2	+6	4	12	40
Итого	40	-	-	-10	-	50	-

в) Средний выпуск продукции способом моментов определяется по формуле:

 

= + A,

где   момент первого порядка: = ;

  =; А=60 – это варианта, расположенная в середине ряда; =20 – это величина интервала (для рядов с равными интервалами).

Вновь образованные варианты () рассчитаны в графе 4 таблицы.

Определим условный момент :

= == -0,25;

тогда средний выпуск продукции на одно предприятие в выборочной совокупности составит:

= + A = 20 ×(- 0,25) + 60 = 55 (млн. руб.)

2) Среднее квадратическое отклонение способом моментов определяется по формуле:

 ;

где  = Промежуточные расчеты для момента второго порядка выполнены в графах 6 и7 таблицы.

отсюда среднее квадратическое отклонение составит: _х =20² = =21,79 (млн. руб.)

Дисперсия способом моментов определяется по формуле:=(- ;

= (21,79)² = 474,80

3) Определим коэффициент вариации. Коэффициент вариации (V) представляет собой удельный вес среднего квадратического отклонения в среднем значении признака:

 

V = × 100%; V = 100% = 39,54%.

Коэффициент вариации дает сравнительную оценку вариации и характеризует однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Выводы: Средний выпуск продукции по сорока предприятиям области составил 55 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение 21,79 млн. руб. показывает, что выпуск продукции каждого предприятия отклоняется от среднего выпуска продукции всех предприятий в выборке в среднем в ту и другую сторону на 21,79 млн. руб. и колеблется в пределах от 33,21 млн. руб. до 76,79 млн. руб. (55±21,79).

Значение коэффициента вариации 39,54% свидетельствует о значительной степени разнообразия предприятий по выпуску продукции.

4) Определим структурные средние. Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальном вариационном ряду с равными интервалами мода находится внутри модального интервала (это интервал с наибольшей частотой) и определяется по формуле:

Mo =  +  ×

где _Мо – нижняя граница модального интервала

_Мо – величина модального интервала

f_Мо – частота модального интервала (наибольшая)

f _Мо-1 – частота предмодального интервала

f _Мо+1 – частота послемодального интервала

Мода находится в интервале с наибольшей частотой, т.е. в интервале 30-50, т.к. f_Мо = f_max = 15. Нижняя граница модального интервала Х_Мо = 30, интервал модального интервала  =20, , частота предмодального интервала f _М0-1 = 4, частота послемодального интервала f _Мо+1 = 11.

Подставим найденные параметры в формулу моды:

М_о = 30+20×=30+=44,67 (млн. руб.)

5) Медиана (Ме) – это вариант, который находится в середине упорядоченного ряда, и делит его на две равные по числу единиц части со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. В интервальном вариационном ряду медиана находится в медианном интервале, которому соответствует накопленная частота, равная или превысившая полусумму частот ряда, и определяется по формуле:

Me =  ×

 

где _Ме - нижняя граница медианного интервала

 – медианный интервал

Σ f / 2 – полусумма частот ряда

S _Ме-1 – накопленная частота предмедианного интервала

f_Ме – частота медианного интервала

По накопленным частотам в графе 8 определяем, что накопленная частота S_Ме = 30 превысила полусумму частот ряда (Σf/2 = 20). Следовательно, нижняя граница медианного интервала _Ме = 50, медианная частота f_Ме = 11, накопленная частота предмедианного интервала S _Ме-1 = 19. Подставим все параметры в формулу медианы и определим:

Ме = 50+20×(20-19) / 11 = 50+20×1/11 = 51,82 (млн. руб.)

Выводы: 1. Средний выпуск продукции у большинства предприятий области составляет 44,67 млн. руб. (Мо).

2. У половины предприятий области (50%) средний выпуск продукции не превышает 51,82 млн. руб., а у другой половины (50%) средний выпуск продукции выше 51,82 млн. руб. (Ме).

6) С вероятностью 0,954 определим ошибку выборки среднего выпуска продукции на одно предприятие и границы, в которых будет находиться генеральная средняя выпуска продукции предприятий области.

Из условия известно: =40 предприятий – численность выборочной совокупности; =400 предприятий – численность генеральной совокупности (при 10-% выборке); =55 млн. руб.- выборочная средняя; = 474,80 – выборочная дисперсия; Р=0,954 – заданная вероятность ошибки выборки.

а) Ошибка выборки при механическом способе отбора определяется по формуле:

;

где t=2 – коэффициент доверия при вероятности Р=0,954 (коэффициент доверия определяется по математико-статистической таблице значений интеграла вероятностей); отсюда:

=2  =6,54 млн.руб.

Определим нижнюю и верхнюю границы генеральной средней.

Нижняя граница:

=  -; = 55-6,54=48,46 млн.руб.

Верхняя граница:

=+; =55+6,54=61,54 млн.руб.

 

Вывод: С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний выпуск продукции предприятий области в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 48,46 млн. руб. до 61,54 млн. руб. или 48,46 млн. руб. ≤ ≤ 61,54 млн. руб.

7) Определим пределы доли предприятий с выпуском продукции свыше 70 млн. руб.

Выборочная доля (доля предприятий с выпуском продукции свыше 70 млн. руб. среди обследованных предприятий) равна:

W= ;

где m=8 (это число предприятий с выпуском продукции свыше 70 млн.руб. в выборочной совокупности, определяется по условию задачи); n=40 (численность выборочной совокупности); отсюда выборочная доля: W== 0,2 или 20%.

Предельная ошибка выборочной доли определяется по формуле:

= t  ; =2×  =0,12или 12%

Генеральная доля =  ± =0,2±0,12 или , или

 8%≤ 32%

Вывод: С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий с выпуском продукции свыше 70 млн. руб. среди всех предприятий области колеблется от 8 до 32%.

 

ЗАДАЧА 5

 

Имеются данные, характеризующие списочную численность работников фирмы на начало каждого квартала отчетного года (таблица 6). Используя взаимосвязь показателей динамики, определите: