Основні показники рядів динаміки і техніка їх обчислення

3. Основні показники рядів динаміки і техніка їх обчислення

Залежно від того, який ряд динаміки аналізується, можна обчислювати в ньому різні показники.

В моментних рядах динаміки можна обчислювати лише середній рівень ряду за формулою середньої хронологічної.

Середня хронологічна проста застосовується і обчислюється в повних моментних рядах динаміки. Наведемо формулу її розрахунку і на наступному прикладі пояснимо техніку її обчислення. Протягом 2002 р. була така кількість незакінчених розслідуванням кримінальних справ в районному відділі внутрішніх справ: на 1 січня – 26 справ, на 1 люте – 29 , на 1 березня – 30, на 1 квітня – 24, на 1 травня – 35, на 1 червня – 38, на 1 липня – 28 справ. Необхідно обчислити середню кількість незакінчених розслідуванням кримінальних справ за кожний квартал і півріччя в цілому.

За наведеними даними видно, що цей моментний ряд динаміки повний. Середня хронологічна проста обчислюється таким чином: підсумовуються повністю усі рівні ряду, крім першого і останнього, які беруться в половинному розмірі, і одержану суму поділяють на кількість рівнів ряду без одиниці. Застосування такої формули пояснюється метою виключення повторення обліку показників, тому що рівень на 1 квітня характеризує рівень як першого, так і другого кварталу.

Формула середньої хронологічної матиме такий вигляд:

де:  – середній рівень ряду; у₁ – перший рівень ряду; у_n – останній рівень ряду; у_n-1 – передостанній рівень ряду; n – кількість рівнів ряду.

За наведеними даними одержуємо, наприклад, середній залишок незакінчених розслідуванням кримінальних справ в першому кварталі склав 28 справи ((0,5 х 26 + 29 + 30 + 0,5 х 24) : 3); в другому – 33 справи ((0,5 х 24 + 35 + 38 + 0,5 х 28) : 3). Якщо ми підсумуємо ці дані, обчислені за середньою хронологічною, і поділимо на два, то в результаті одержимо середній залишок нерозглянутих кримінальних справ за півріччя, який дорівнює 30,5 справи ((28 + 33) : 2).

Середній залишок за півріччя можна обчислити й за середньою хронологічною простою ((0,5 х 26 + 29 + 30 + 24 + 35 + 38 + … + 0,5 х 28) : 6). Результат буде однаковий, в нашому прикладі – 30,5 справи.

Якщо моментний ряд динаміки буде неповним, тобто проміжки між датами, які наведені в ряду динаміки, різні, то середній рівень обчислюється за середньою хронологічною зваженою, де в якості ваги приймаються (відрізки) проміжки часу між рівнями ряду.

Наведемо формулу середньої хронологічної зваженої:

де:  – середній рівень ряду; t – проміжки часу між значеннями рівнів ряду; У – знак підсумовування.

За умовними даними, які характеризують рух осіб, які відбувають покарання в місцях позбавлення волі, обчислимо їх середню кількість у вигляді середньої хронологічної зваженої. Наприклад, на 1 жовтня в виправно-трудовому закладі знаходилося 600 осіб, 15 жовтня прибуло 15, 25 жовтня вибуло 10, 6 листопада прибуло 22, 20 листопада вибуло 7, 11 грудня прибуло 9, 22 грудня вибуло 5 осіб. Необхідно обчислити середню спискову чисельність осіб, які відбували покарання в цьому закладі. Спочатку слід обчислити рівні ряду на кожну дату. На 1 жовтня було 600 осіб, 15 жовтня – 615, 25 жовтня – 605, 6 листопада – 627, 20 листопада – 620, 11 грудня – 629, 22 грудня – 624 особи. Після цього, щоб спростити розрахунок, будемо вважати, що в кожному місяці – 30 днів, в кварталі – 90 днів. В економічних розрахунках такі припущення застосовуються завжди. Відповідно до наведеної формули кожний обчислений рівень слід перемножити на кількість днів, скільки днів цей рівень існував. В результаті розрахунків одержимо середній рівень кількості осіб, які відбували покарання протягом четвертого кварталу – 616,8 осіб (( 600 х 15 + 615 х 10 + … + 605 х 11 + 627 х 14 + 620 х 21 + 629 х 11 + 624 х 8 ) : 90).

Більше ніяких показників, крім середнього рівня, в моментних рядах динаміки обчислити не можна.

В інтервальних рядах динаміки можна обчислити і обов`язково обчислюються такі показники, як середній рівень ряду, абсолютний приріст (зменшення), темп зростання (зниження), темп приросту (зменшення), абсолютне значення одного відсотку приросту, середній темп зростання (зниження), середній темп приросту (зменшення).

Середній рівень треба обчислювати в повному інтервальному ряду за середньою хронологічною простою, техніка обчислення якої не відрізняється від обчислення середньою арифметичною простою, тобто за такою формулою:

де: – середній рівень ряду; n – число рівнів ряду.

Вважаємо, що середній рівень не можна обчислювати в неповному інтервальному ряду динаміки. Тому його завжди слід привести до повного ряду, а лише потім аналізувати.

Абсолютний приріст, темп зростання та темп приросту, якщо коли наведено більше ніж два рівня можна обчислювати двома способами: ланцюговим і базисним. Вирішення питання, яким способом проводити обчислення залежить від мети і завдань дослідження. Якщо ми бажаємо встановити тенденції у розвитку досліджуваного явища за тривалий період часу, то в цьому випадку застосовуємо базисний спосіб. Якщо ж бажаємо встановити характер розвитку динаміки за короткі періоди часу, то використовуємо ланцюговий спосіб.

При обчисленні цих показників базисним способом значення кожного існуючого рівня ряду динаміки порівнюється з першим (початковим) рівнем. Залежно від того, який рівень прийнято за базу порівняння, ми можемо одержати зовсім різні значення показників. Рівень якого періоду часу приймати за базу порівняння, залежить від того, яка мета усього дослідження і від того, які первинні або зведенні дані, ми маємо у своєму розпорядженню, та від інших умов і причин, які впливають на вибір бази порівняння. Найчастіше за такий рівень береться рівень останнього року десятиліття. Наприклад, в табл. 19, яка наведена нижче, це рівень 1990 р. Базисний спосіб застосовується тоді, коли слід проаналізувати зміни явища за тривалий проміжок часу.

При обчисленні цих показників ланцюговим способом одержуємо дані, які характеризують зміну кожного існуючого показника по відношенню до попереднього рівня ряду. Таким чином, ніщо не впливає на одержаний результат, крім дійсної зміни явища. Ланцюговий спосіб дає змогу проаналізувати зміну явища за короткий проміжок часу.

В табл. 5 наведені дані про злочинність в Україні за останні одинадцять років і за цими даними повного інтервального ряду динаміки обчислимо усі показники динаміки.

Таблиця 5. Злочинність в Україні в 1990 – 2002 роках

Рік	Кількість злочинів	Абсолютний приріст		Темп зростання, в %		Темп приросту, в %		Абсолютне значення, 1 % приросту
		до 1990 р.	до попереднього року	до 1990 р.	до попереднього року	до 1990 р.	до попереднього року
1990	369809	-	-	100	-	-	-	-
1991	405516	35707	35707	109,7	109,7	9,7	9,7	3698
1992	480478	110669	74962	129,9	118,5	29,9	18,5	4055
1993	539299	169490	58821	145,8	112,2	45,8	12,2	4805
1994	571632	201823	32333	154,5	105,9	54,5	5,9	5393
1995	641860	272051	70228	173,5	112,2	73,5	12,2	5716
1996	617262	247453	-24598	166,9	96,1	66,9	- 3,9	6419
1997	589208	219399	- 28054	159,4	95,5	59,4	- 4,5	6173
1998	575982	206173	- 13226	155,8	97,8	55,8	- 2,2	5892
1999	558716	188907	- 17266	151,1	97,0	51,1	- 3,0	5760
2000	567800	197991	9084	153,5	101,6	53,5	1,6	5587
2001	514600	144791	- 53200	139,2	90,6	39,2	- 9,4	5678
2002	450661	80852	- 63939	121,9	87,6	21,9	- 12,4	5146

Спочатку обчислимо середній рівень цього ряду динаміки. Застосуємо формулу середньої хронологічної для інтервального ряду динаміки. Середня величина злочинності за ці тринадцять років складе 529448 злочинів ((369809 + 405516 + 480478 + 539299 + 571632 + 641860 + 617262 + 589208 + 575982 + 558716 + 567800 + 514600 + 450661) : 13).

Абсолютний приріст – це показник, який характеризує, на скільки одиниць один рівень більше чи менше якогось попереднього рівня. Він обов`язково виражається в тих саме одиницях виміру, що й рівні ряду. Абсолютний приріст обчислюється шляхом віднімання від існуючого рівня ряду якогось попереднього або базисного рівня. Абсолютні прирости можуть мати знак плюс або мінус. Знак плюс підкреслює, що розмір явища зріс і в дійсності явище мало тенденцію до зростання; знак мінус підкреслює зменшення величини явища і характеризує абсолютне зменшення явища.

У загальному виді формулу можна навести таку:

А_пр = у_і – у_і-1 , або А_пр = у_і – у₁,

де: А_пр – абсолютний приріст; у_і  – рівень ряду динаміки; у_і-1 – попередній йому рівень ряду динаміки; у₁ – початковий рівень ряду динаміки.

За даними табл. 5 видно, що злочинність за ці роки спочатку зростала, але з 1996 р. почала зменшуватися. В 1996 р. порівняно до 1995 р. ми одержали зменшення рівня злочинності на 24598 злочинів (617262 – 641860), в 1997 р. порівняно до 1996 р. зменшення рівня на 28054 злочинів (589208 – 617262) і в 1998 р. порівняно до 1997 р. зменшення на 13226 злочинів. В 2000 р. порівняно до 1999 р. відбулося незначне збільшення кількості зареєстрованих злочинів на 9084 злочинів (567800 – 558716).(В стовпчику 3 табл. 5 наведені абсолютні прирости, обчислені базисним способом; а в стовпчику 4 – ланцюговим способом).

Базу порівняння (1990 р.) вибрано довільно. Наведені в стовпчику 3 дані підтверджують тезу, що базисний спосіб і його висновки залежать від того, який рівень взято за базу порівняння.

Абсолютний приріст не може дати вичерпної характеристики зміни явищ, але він вказує на загальну тенденцію зміни явищ за аналізований термін часу.

Більш вичерпну і всебічну характеристику розвитку явища можна одержати лише тоді, коли наведений абсолютний показник (абсолютний приріст), доповнити відносними показниками: темпом зростання і темпом приросту.

Темп зростання – це відношення поточного рівня до попереднього або базисного. Темп зростання показує, в скільки разів поточний рівень ряду динаміки більше або менше рівня, який прийнято за базу порівняння. Цей показник може обчислюватися у коефіцієнтах або у відсотках. У вигляді формули даний показник матиме такий вигляд:

Т_зр =  х 100, або Т _зр =  х 100,

де: Т _зр – темп зростання; у_і – рівень ряду динаміки; у_{і – 1} – попередній йому рівень ряду динаміки; у₁ – початковий рівень ряду динаміки.

В стовпчику 5 табл. 5 наведені темпи зростання, обчислені базисним способом (по відношенню до 1990 р.), а в стовпчику 6 – ланцюговим способом.

Якщо величина темпу зростання більше одиниці або ста відсотків, то це свідчить про те, що поточний рівень ряду динаміки більше рівня, з яким проводиться порівняння. Якщо величина темпу зростання дорівнює одиниці або ста відсоткам, то це характеризує, що не відбувалось ніякої зміни в рівнях ряду. Якщо величина темпу зростання менше за одиницю або сто відсотків, то це свідчить про те, що відбулося зменшення рівня ряду. В цьому випадку говорять не про темп зростання, а про темп зниження або падіння. Цей показник не може мати знака мінус, що б він не характеризував.

Наведемо приклад за даними табл. 19, який дасть змогу зрозуміти, як слід обчислювати цей показник. Візьмемо дані 1993 р. Темп зростання в цьому році по відношенню до 1990 р. (базисний спосіб) становив 145,8 % (539299 : 369809 х 100); по відношенню до попереднього, тобто до рівня 1992 р. (ланцюговий спосіб) становив 112,2 % (539299 : 480478 х 100). Дані по усіх роках, наведені в стовпчиках 5 і 6 табл. 5 обчислені аналогічно.

Темп приросту характеризує, наскільки відсотків один рівень ряду більше чи менше іншого рівня. Він обчислюється, як відношення абсолютного приросту до рівня ряду, з яким провадиться порівняння. У вигляді формули можна записати таким чином:

Т_пр = , або Т_пр  = .

Перша формула, це темпи приросту, які обчислені ланцюговий способом; друга – базисним способом.

Темп приросту можна обчислювати й спрощеним способом – шляхом віднімання від показника темпу зростання 100 % або одиниці, якщо темпи зростання наведені у вигляді коефіцієнтів. Як правило, на практиці завжди використовують цей спрощений спосіб, тому що він дає змогу швидше одержати результат.

У вигляді формули можна записати так:

Т_пр = Т _зр – 100 %,

де: Т_пр – темп приросту; Т _зр – темп зростання.

Хоча темп приросту є відносною величиною, він, як і абсолютний приріст, може мати знак мінус. Якщо темп приросту має знак плюс, то це свідчить про те, що явище зросло, якщо ж темп приросту має знак мінус, то явище зменшилося.

За даними табл. 5 пояснимо обчислення темпів приросту. Візьмемо 1995 р. і порівнюватимемо його дані з даними 1994 р. За даними, наведеними в стовпчику 4, бачимо, що абсолютний приріст склав 70228. Якщо застосувати перший спосіб одержання результату, то необхідно поділити цей абсолютний приріст на рівень 1994 р. і помножити результат ділення на 100 %, тобто (70228 : 571632 х 100 %). В результаті маємо 12, 2 %. Якщо б був застосований спрощений спосіб обчислення, то від значення, наведеного в стовпчику 6, треба відняти 100 % і зразу одержуємо результат – 12,2 %, який і записано в стовпчику 8 табл. 5.

Аналізуючи відносні величини показників інтервального ряду динаміки (темпи зростання і темпи приросту) не можна використовувати їх окремо від абсолютних показників, тому що іноді уповільнення темпів зростання не супроводжується зменшенням абсолютних приростів. Для того щоб вірно оцінити значення темпів приросту, їх розглядають в порівнянні з абсолютним приростом, обчислюючи абсолютне значення одного відсотку приросту.

Абсолютне значення одного відсотка приросту характеризує, скільки одиниць досліджуваного явища знаходиться в одному відсотку його зміни. Цей показник обчислюється шляхом ділення абсолютного приросту на темп приросту за один і той же проміжок часу. Порівнюються при цьому лише показники, які обчисленні ланцюговим способом. На практиці шляхом математичного перетворення формули обчислення цього показника доведено, що абсолютне значення одного відсотка приросту дорівнює одній сотій частині базисного рівня, що він в 100 разів менше за попередній рівень ряду динаміки. У вигляді формули можна зробити підтвердження цього висновку:

│А│ = .

Останній стовпчик табл. 5 обраховано таким способом.

Щоб перевірити цю тезу обчислимо, наприклад, абсолютне значення одного відсотка приросту в 1992 р.: поділимо 74962 на 18,5 %. Ми одержали 4052. Але щоб обчислити темп приросту з більшим ступенем значущості, слід було поділити його не на 18,5 %, а 18,486 %. Якщо ми дійсно поділимо 74962 на 18,486 %, то одержимо 4055 одиниць, таким чином в 1992 р. кожний відсоток приросту складав 4055 злочинів.

Наведені дані свідчать, що починаючи з 1997 р. зменшилося абсолютне значення одного відсотка приросту по відношенню до попереднього періоду. До цього періоду (з 1990 р. по 1996 р.) відбувалось неухильне зростання даного показника.

Середній темп зростання (зниження). Після обчислення темпів зростання виникає потреба обчислити середній темп зростання, щоб охарактеризувати тенденції розвитку явища. Середній темп зростання можна обчислювати і тоді, коли ми маємо неповний ряд динаміки (лише початковий і останній рівень), де проміжні рівні відсутні. Деякі вчені вважають, що обчислювати середній темп зростання можна лише у разі, коли явище протягом усього досліджуваного періоду має або неухильне зростання, або зменшення. На нашу думку, це не обов`язково, тим більш, що суспільним явищам притаманні коливання кожного аналізованого періоду.

Середній темп зростання характеризує, у скільки разів збільшувався або зменшувався рівень за певний період. За даними табл. 5 можна обчислити середньорічний темп зростання рівня злочинності в Україні.

Середній темп зростання обчислюється за формулою середньої геометричної з темпів зростання, які обчислені ланцюговим способом:

де: m – кількість співмножників; T₁, Т₂,…, Т_m – темпи зростання, обчислені ланцюговим способом у коефіцієнтах.

Середній темп зростання можна обчислити з рівнів ряду, попередньо не обчислюючи темпи зростання. В цьому разі формула середньої геометричної для обчислення середнього темпу зростання матиме такий вигляд:

де y_n – останній член ряду динаміки, y₁ – перший член ряду динаміки.

Незалежно від того, обчислювалися темпи зростання чи ні, більш простіший і точніший результат ми одержуємо за другою формулою. За даними, наведеними в табл. 5, обчислимо середній темп зростання злочинності в Україні за період з 1990 по 2002 р. Для цього необхідно поділити рівень 2002 р. (450661) на рівень 1990 р. (369809) і з цієї величини здобути корінь дванадцятого ступеня (на одиницю менше, ніж рівнів ряду). В результаті цих арифметичних дій одержали, що середньорічний темп зростання дорівнює 101,53 %. Корінь якого завгодно ступеня можна обчислювати або за допомогою спеціальних таблиць, або використовуючи відповідну обчислювальну техніку.

Середній темп приросту характеризує як щорічно змінювався рівень ряду. Реально він може мати знак плюс, що свідчить про зростання явища, або мінус, якщо явище зменшувалося. Обчислювати цей показник можна лише після одержання середнього темпу зростання: від середнього темпу зростання у відсотках віднімають 100 %. У загальному вигляді формула матиме такий вигляд:

_пр = _зр – 100 %,

де : _пр – середній темп приросту; _зр – середній темп зростання.

За даними табл. 5 можна зробити висновок, що за досліджуваний період злочинність в Україні в середньому зростала щорічно на 1,53 %.