Нахождение прогнозных значений методом наименьших квадратов

2.3 Нахождение прогнозных значений методом наименьших квадратов

демографический прогноз население численность

Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Расчетные величины находятся по подобранному уравнению – уравнению регрессии.

Чем меньше расстояние между фактическими значениями и расчетными, тем более точен прогноз, построенный на основе уравнения регрессии. Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Для нахождения прогнозных значений численности населения часто предполагается, что рост идет в геометрической прогрессии, и тогда сглаживание производится по показательной функции.

 (4)

где - численность населения в прогнозный период; - численность населения в период, предшествующий прогнозному; е - основные натурального логарифма; k - общий коэффициент прироста населения, выраженный в долях единиц, рассчитанный по формуле:  (5)

где M - число родившихся за период; N – число умерших за период; П- число прибывших за период; В – число выбывших за период; S – средняя численность населения за период; t- период, на который разрабатывается прогноз.

Согласно имеющимся данным, численность населения Оренбургской области на 1 января 2008 года составила 2 119 003 чел., на 1 января 2009 – 2 111 531 чел., за 2008 год родилось 26 947 чел., умерло 30 904 чел., 25 570 чел. прибыло и 29 085 чел. выбыло. Рассчитаем численность населения в 2010-2012 гг. при условии, что коэффициент общего прироста населения () останется неизменным на всем протяжении прогнозных лет:

 чел.

 чел.

чел.

Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной. Ясно, что развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени – одна из самых трудных задач предпрогнозного анализа.

Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле:

 (6)

где – фактические значения ряда динамики;  – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда; р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд.

С помощью программы Excel проверим предположение о том, что изменение численности населения в Оренбургской области, хорошо апроксимируется экспоненциальной линией тренда.

Рис. 1. Динамика численности населения в Оренбургской области с экспоненциальной линией тренда.

Видно, что разница между фактическими и сглаженными значениями данного ряда очень велика. Невысокий коэффициент достоверности аппроксимации также подтверждает, что использовать данный тип тренда нецелесообразно.

Наибольшее приближение к фактическим уровням данного динамического ряда дает функция полинома второй степени.

Рис. 2. Динамика численности населения в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.

При использовании уравнения полинома третьей степени, коэффициент аппроксимации увеличивается до 0,97, но при этом усложняется и сама модель, что может отрицательно сказаться на ее прогностических возможностях.

Уравнение регрессии примет вид:

(7)

- выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i; а - это средний (выровненный) уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2с; c- константа, главный параметр параболы II порядка.

Параметры a, b и c оцениваются методом наименьших квадратов и отвечают принципу максимального правдоподобия: сумма квадратов отклонений фактических уровней от тренда (от выровненных по уравнению тренда уровней) должна быть минимальной для данного типа уравнения.

На диаграмме уравнение тренда имеет вид: ,где =0 в 1990г.

При этом нумерация периодов начинается с t=1. Однако рациональнее начало отсчета времени перенести в середину ряда, т.е. при нечетном п - на период (момент) с номером (п +1 )/2, а при четном числе уровней ряда - на середину между периодом с номером n/2 и (n/2)+1. Расчет параметров тренда при переносе отсчета времени на середину ряда приведен в приложении 3. Тогда уравнение тренда принимает вид:  , где =0,5 в 2000г.

За период 1990-2009г показатель численности населения в Оренбургской области убывал в номинальной оценке ускоренно, со средним ускорением человек за год; средняя убыль населения за весь период составила 3 087 человек; средний уровень численности населения на середину периода был равен 22 084 35 чел.

Для оценки надежности тренда необходимо оценить надежность его главного параметра – ускорения. Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра с вычисляется по формуле:

(8)

Где S(t) – оценка генерального показателя колеблемости, учитывающая потерю степеней свободы и определяемая по формуле 6.

Используя данные приложения 3, найдем искомые величины:

Отношение параметра с (половина ускорения) к его средней ошибке - это t-критерий Стьюдента:

Табличное значение критерия Стъюдента  Фактическая величина критерия больше табличного, следовательно, вероятность нулевой гипотезы (о равенстве параметра с нулю) чрезвычайно мала. Достоверно известно, что тренд существовал, и что численность населения Оренбургской области снижалась не случайно.

Прогноз по этой модели заключается в подстановке в уравнение тренда номера периода, который прогнозируется. Для 2010 года период времени t = 10,5, прогнозное значение составит:

₂₀₁₀==2 069 907 чел.

Полученное прогнозное значение является точечным и не учитывает колеблемость уровней показателя.

При прогнозе с учетом случайной колеблемости учитывается как вызванная колеблемостью ошибка репрезентативности выборочной оценки тренда, так и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда.

Общая формула средней ошибки прогноза положения параболического тренда на период с номером  от середины базы расчета тренда имеет вид:

(9)

Средняя ошибка тренда на 2010 год равна:

Вероятность того, что фактическая ошибка не превысит одного среднего квадратического отклонения, т.е. m равна при нормальном распределении 0,68. Чтобы получить доверительный интервал прогноза линии тренда с большей вероятностью, например с вероятностью 0,95,среднюю ошибку нужно умножить на величину t-критерия Стъюдента для вероятности 0,95 и n-p степеней свободы.

Получаем вероятную ошибку:

с вероятностью 95% можно утверждать, что тренд численности населения в Оренбургской области в 2010 году проходит в границах 2 069 907±13 307 или от 2 056 600 до 2 083 214 человек.

Определив ошибку репрезентативности выборочной оценки тренда, и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда, получаем единую формулу средней ошибки прогноза конкретного отдельного уровня:

 (10)

Для искомого прогнозного значения: 11 286 .

Таким образом, для прогнозного значения показателя численности населения на 1 января 2010 года определены границы доверительного интервала 2 046 096 – 2 093 718 человек.

Аналогично рассчитываем прогнозные значения на 2011-2012 годы:

₂₀₁₁=2 045 646 чел.

Доверительный интервал: (2 020 126; 2 071 166).

₂₀₁₂=2 019 459 чел.

Доверительный интервал: (1 991 780; 2 047 138)

Средняя относительная ошибка , что свидетельствует о высокой точности прогноза.

Расчет прогнозных значений для других показателей приведен в приложении 3, сведем полученные результаты в общую таблицу:

Таблица 5

Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся и умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом наименьших квадратов.

Абсолютный показатель, человек	2006	2007	2008	Прогноз на 2009	Прогноз на 2010	Прогноз на 2011	Δ		ε
Родившиеся	23335	25776	26947	29 253	31 220	33 395	0	1135	4,13
Умершие	31 583	31 000	30 904	30 190	29 392	28 470	0	1420	3,69
Абсолютный показатель, человек	2007	2008	2009	Прогноз на 2010	Прогноз на 2011	Прогноз на 2012	Δ		ε
Прибывшие	31 949	25 570	28 053	29 586	31 144	33 202	0,11	3499	7,68
Выбывшие	33 225	29 085	25 603	24 352	22 589	20 826	0	2437	5,17

Величины относительной ошибки свидетельствуют о высокой точности прогноза. По имеющимся данным видно, что при наметившихся тенденциях естественный прирост населения в прогнозируемые годы увеличится (увеличение рождаемости и снижение смертности), как и миграционный прирост.

Для сравнения полученных результатов составим сводную таблицу по всем применяемым методам:

		Численность постоянного населения на 1 января, человек
		МСС			МЭС			МНК
2007		2 125 503			2 125 503			2 125 503
2008		2 119 003			2 119 003			2 119 003
2009		2 111 531			2 111 531			2 111 531
прогноз
2010		2 116 188			2 164 883			2 069 907
2011		2 117 127						2 045 646
2012		2 115 261						2 019 459
Ср. абсолют. оценка		299			-6064			0,38
Ср. квадрат. оценка		1 478			33749			8628
Ср. относит. ошибка		0,05			1,36			0,017
		Число родившихся, чел.				Число умерших, чел.
		МСС	МЭС	МНК		МСС	МЭС		МНК
2 006		23335	23335	23335		31 583	31 583		31 583
2 007		25776	25776	25776		31 000	31 000		31 000
2 008		26947	26947	26947		30 904	30 904		30 904
прогноз
2 009	25 743		23 915	29 253		31 130	30 754		30 190
2 010	25 754			31 220		31 087			29 392
2 011	26 125			33 395		31 026			28 470
Ср. абсолют. оценка	-85		-135	0		32	64		0
Ср. квадрат. оценка	594		3 275	1135		795	2 571		1420
Ср. относит. ошибка	2		9,94	4,13		2,02	8,14		3,69
	Число прибывших, человек					Число выбывших, человек
	МСС		МЭС	МНК		МСС	МЭС		МНК
2007	31 949		31 949	31 949		33 225	33 225		33 225
2008	25 570		25 570	25 570		29 085	29 085		29 085
2009	28 053		28 053	28 053		25 603	25 603		25 603
прогноз
2010	29 352		37 366	29 586		28 144	36311		24 352
2011	28 091			31 144		28 457			22 589
2012	28 078			33 202		27 506			20 826
Ср. абсолют. оценка	11		-3539	0,11		32	-2070		0
Ср. квадрат. оценка	2 177		15857	3499		1 161	8458		2437
Ср. относит. ошибка	5		35,27	7,68		2	20,04		5,17

Как видно из таблицы, значения средней квадратической оценки средней относительной ошибки у показателей минимальны для метода скользящей средней, и в целом данный метод дает хорошие результаты при прогнозировании демографических процессов. Кроме того, метод прост в использовании, что открывает широкие возможности для его применения. Метод наименьших квадратов более сложен в работе, но позволяет получить также достоверные результаты при условии подбора вида линии тренда, хорошо аппроксимирующей исходный динамический ряд.

Применение метода экспоненциального сглаживания целесообразно только при условии использования среднего уровня ряда в качестве начального значения экспоненциальной взвешенной. Но и в этом случае, полученные результаты являются самыми ненадежными по сравнению с прогнозированием другими методами.

Следует отметить, что прогнозирование методами экстраполяции основывается на использовании простого методологического аппарата и часто используется для получения будущих оценок социально-экономических процессов. Оправдано их использование и в частности при построении демографических прогнозов, поскольку процессы естественного и миграционного движения достаточно инерционны и не подвержены резким скачкам в уровнях.

Заключение

В соответствии с поставленными задачами в данной работе были исследованы 4 группы методов, используемых при прогнозировании демографических процессов:

1) методы экстраполяции;

2) экономико-математические методы, позволяющие разработать многофакторные динамические модели;

3) методы передвижки возрастов и когорт;

4) методы экспертных оценок.

 Опираясь на имеющиеся в распоряжении данные, для практической части работы, была выбрана первая группа методов. В результате чего были построены прогнозные оценки показателей, характеризующих естественное и миграционное движения населения в Оренбургской области, с помощью трех методов экстраполяции:

- метод скользящей средней;

- метод экспоненциального сглаживания;

- метод наименьших квадратов.

Сравнив полученные результаты, сделаем вывод о целесообразности применения для прогнозирования метода скользящей средней и метода наименьших квадратов. Метод экспоненциального сглаживания позволил найти менее точные прогнозные оценки по сравнению с другими методами.

Метод наименьших квадратов позволил определить, что наилучшее приближение к исходным уровням временных рядов дает функция параболы II порядка для всех показателей, кроме «Числа выбывших, человек» - для него лучшей аппроксимацией является линейный тренд.

Для показателя «постоянного населения», «Число прибывших» и «Число выбывших» найдены прогнозные значения и определены границы доверительных интервалов на 2010, 2011,2012 годы.

Для показателей «Числа родившихся» и «Числа умерших» найдены прогнозные значения и определены границы доверительных интервалов на 2009, 2010,2011 годы.

Полученные абсолютные данные могут использоваться для формирования демографической политики, а также прогнозирования социально-экономических процессов.

Список использованных источников и литературы

1.  Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 228 с.

2.  Артамонова И. А., Краснопевцева Б. В. Учебное пособие «Теория управления». Москва: МИИГАик, 2003.-86с.

3.  Ахметов Р. Ш. Демографические процессы в Оренбургской области: вчера, сегодня, завтра – Региональный портал образовательного сообщества Оренбуржья http://www.orenport.ru/

4.  Борисов В. А. Демография Учебник для вузов 2-е изд., исправленное— М.: Издательский дом NOTABENE, 1999, 2001. — 272 с.

5.  Добров Г.М. Рабочая книга по прогнозированию. - М.: 1998

6.  Концепция демографической политики Оренбургской области на период до 2025 года. Портал органов государственной власти Оренбуржья http://www.orenburggov.ru/magnoliaPublic/regportal/Info/SocialServices/dempolit/Main.html

7.  Кузьмин А.И. Курс лекций "Основы демографии". Лекция 6 Основные показатели демографии. http://www.humanities.edu.ru/db/msg/47074

8.  Курбатов В.И. Социальная работа: Учебное пособие. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», Ростов н/Д: Наука – Пресс, 2007 – 480с.

9.  Луков В.А. Социальное проектирование. - М.: 1997. – 282 с.

10.  Медков В. М. Демография: Учебное пособие. Серия «Учебники и учебные пособия». - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002. - 448 с.

11.  Новикова Н.В., Поздеева О.Г. Прогнозирование национальной экономики: Учебно-методическое пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2007. - с.138

12.  Областной статистический ежегодник. 2009: Стат.сб./Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики по Оренбургской области.- Оренбург. 2009. – 525 с.

13.  Основы социальной работы: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Под ред. Н.Ф. Басова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 288 с.

14.  Прогнозирование и планирование в условиях рынка./ Под редакцией Т.Г. Морозовой, А.В.Пулькина. М.: ЮНИТИ – ДИАНА, 20001 г., 318 с.

15.  Сафронова В.М. Прогнозирование и моделирование в социальной работе: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 192с.

16.  Смагина И. В. «Статистический анализ демографических процессов в Орловской области на фоне депопуляции населения России»: автореферат диссертации соискание ученой степени кандидата экономических наук www.econ.msu.ru/cmt2/lib/a/839/File/Smagina.doc

17.  Смирнова И.В. Демография: Учебно-методическое пособие для студентов специальности «Государственное и муниципальное управление» / филиал СЗАГС в г. Калуга. – Калуга, 2004. – 138 с.

18.  Теория управления. Учебник / Уколов В.Ф., Масс А.М., Быстряков И.К. - М.: Экономика, 2003. - 576 с.

19.  Указ Президента РФ № 1351 от 9 октября 2007 года «Об утверждении Концепции демографической политики Российской Федерации на период до 2025 года»

20.  Черныш Е.А., Молчанова и др. Прогнозирование и планирование. М., 2001 г.

21.  Шмойлова Р.А, Минашкин В. Г. Теория статистики- Финансы и Статистика: 2009г., 656стр. Яковлева А.В. Эконометрика: конспект лекций ЭКсмо, 2008

22.  Материалы сайтов www.demographia.ru, wikipedia.org.

 

Приложение 1

Расчет прогнозных значений абсолютного показателя родившихся методом скользящей средней.

годы	Число родившихся, человек	Скользящая средняя m	Расчет средней относительной ошибки
итого			37,38
1990	33 311	-	-
1991	30 177	30 327	0,50
1992	27 494	27 273	0,80
1993	24 148	25 367	5,05
1994	24 458	23 813	2,64
1995	22 833	22 913	0,35
1996	21 449	21 724	1,28
1997	20 890	21 430	2,58
1998	21 951	20 998	4,34
1999	20 154	21 193	5,16
2000	21 475	21 163	1,45
2001	21 861	22 279	1,91
2002	23 500	22 934	2,41
2003	23 442	23 508	0,28
2004	23 583	23 162	1,79
2005	22 460	23 126	2,97
2006	23 335	23 857	2,24
2007	25 776	25 353	1,64
2008	26 947	26 155
прогноз 2009	25 743	26 148
прогноз 2010	25 754
прогноз 2011	26 125
Средняя относительная ошибка			2,20
Средняя абсолютная ошибка			-85
Средняя квадратическая ошибка			594
Расчет прогнозных значений абсолютного показателя умерших методом скользящей средней.
итого			22,64
1990	20 933	-
1991	22 469	22 507	0,17
1992	24 120	24 991	3,61
1993	28 383	27 916	1,65
1994	31 244	29 887	4,34
1995	30 033	29 949	0,28
1996	28 570	28 938	1,29
1997	28 210	28 406	0,70
1998	28 439	29 006	1,99
1999	30 368	30 187	0,59
2000	31 755	31 472	0,89
2001	32 293	32 360	0,21
2002	33 031	32 772	0,79
2003	32 991	32 781	0,64
2004	32 321	32 819	1,54
2005	33 145	32 350	2,40
2006	31 583	31 909	1,03
2007	31 000	31 162	0,52
2008	30 904	31 011
Прогноз 2009	31 130	31 040
Прогноз 2010	31 087
Прогноз 2011	31 026
Средняя относительная ошибка			2,02
Средняя абсолютная ошибка			32
Средняя квадратическая ошибка			795

Расчет прогнозных значений абсолютного показателя числа прибывших методом скользящей средней.

годы	Число прибывших за год	Скользящая средняя m	Расчет средней относительной ошибки
итого			75,0
1993	73131
1994	76108	73 160	3,87
1995	70242	68 229	2,87
1996	58336	62 100	6,45
1997	57721	55 832	3,27
1998	51438	52 475	2,02
1999	48267	47 730	1,11
2000	43484	41 538	4,47
2001	32864	35 192	7,08
2002	29228	30 611	4,73
2003	29740	29 556	0,62
2004	29701	30 921	4,11
2005	33322	30 912	7,23
2006	29712	31 661	6,56
2007	31949	29 077	8,99
2008	25570	28 524	11,55
2009	28 053	27 658	1,41
Прогноз 2010	29 352	28 499
Прогноз 2011	28 091
Прогноз 2012	28 078
Средняя относительная ошибка			5
Средняя абсолютная ошибка			11
Средняя квадратическая ошибка			2 177

Расчет прогнозных значений абсолютного показателя числа выбывших методом скользящей средней.

годы	Число выбывших за год	Скользящая средняя m	Расчет средней относительной ошибки
итого			31,0
1993	53931
1994	51900	54 083	4,21
1995	56419	53 455	5,25
1996	52047	51 873	0,33
1997	47152	47 831	1,44
1998	44293	45 041	1,69
1999	43678	42 558	2,56
2000	39703	39 702	0,00
2001	35725	36 248	1,46
2002	33317	34 516	3,60
2003	34506	33 952	1,61
2004	34032	34 577	1,60
2005	35194	34 389	2,29
2006	33940	34 120	0,53
2007	33225	32 083	3,44
2008	29085	29 304	0,75
2009	25 603	27 611
Прогноз 2010	28 144	27 401
Прогноз 2011	28 457
Прогноз 2012	27 506
Средняя относительная ошибка			2,05
Средняя абсолютная ошибка			32
Средняя квадратическая ошибка			1 161

Приложение 2

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя родившихся в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

	года	Число родившихся, человек	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
			Iспособ	IIспособ	I способ	II способ
1	1990	33311	24 171	33 311	27,44	0,00
2	1991	30177	25 085	33 311	16,87	10,39
3	1992	27494	25 594	32 998	6,91	20,02
4	1993	24148	25 784	32 447	6,77	34,37
5	1994	24458	25 620	31 617	4,75	29,27
6	1995	22833	25 504	30 901	11,70	35,34
7	1996	21449	25 237	30 095	17,66	40,31
8	1997	20890	24 858	29 230	19,00	39,92
9	1998	21951	24 461	28 396	11,44	29,36
10	1999	20154	24 210	27 751	20,13	37,70
11	2000	21475	23 805	26 992	10,85	25,69
12	2001	21861	23 572	26 440	7,83	20,95
13	2002	23500	23 401	25 982	0,42	10,56
14	2003	23442	23 411	25 734	0,13	9,78
15	2004	23583	23 414	25 505	0,72	8,15
16	2005	22460	23 431	25 313	4,32	12,70
17	2006	23335	23 334	25 027	0,01	7,25
18	2007	25776	23 334	24 858	9,47	3,56
19	2008	26947	23 578	24 950	12,50	7,41
прогноз	2009		23 915	25 150
итого		459 244			188,92	382,72
Средняя относительная ошибка ɛ					9,94	20,14
Средняя абсолютная ошибка Δ					-135	-4 296
Средняя квадратическая ошибка					3 275	5 386

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя умерших в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

	года	Число умерших, человек	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
			Iспособ	IIспособ	I способ	II способ
1	1990	20933	29 795	20 933	2,34	0,00
2	1991	22469	28 909	20 933	28,66	6,84
3	1992	28 439	28 265	21 087	0,61	25,85
4	1993	28383	28 282	21 822	0,35	23,12
5	1994	31244	28 293	22 478	9,45	28,06
6	1995	30033	28 588	23 355	4,81	22,24
7	1996	28570	28 732	24 022	0,57	15,92
8	1997	28210	28 716	24 477	1,79	13,23
9	1998	28439	28 665	24 850	0,80	12,62
10	1999	30368	28 643	25 209	5,68	16,99
11	2000	31755	28 815	25 725	9,26	18,99
12	2001	32293	29 109	26 328	9,86	18,47
13	2002	33031	29 428	26 925	10,91	18,49
14	2003	32991	29 788	27 535	9,71	16,54
15	2004	32321	30 108	28 081	6,85	13,12
16	2005	33145	30 330	28 505	8,49	14,00
17	2006	31583	30 611	28 969	3,08	8,28
18	2007	31000	30 708	29 230	0,94	5,71
19	2008	30904	30 737	29 407	0,54	4,84
прогноз	2009		30 754	29 557
итого		566 111			154,69	283,29
Средняя относительная ошибка ɛ					8,14	14,91
Средняя абсолютная ошибка Δ					64	1241
Средняя квадратическая ошибка					2 571	2 965

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя прибывших в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

	года	Число прибывших, человек	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
			Iспособ	IIспособ	I способ	II способ
1	1993	73131	44 051	73 131	39,76	0,00
2	1994	76108	47 282	73 131	37,88	3,91
3	1995	70242	50 485	73 462	28,13	4,58
4	1996	58336	52 680	73 104	9,70	25,32
5	1997	57721	53 309	71 463	7,64	23,81
6	1998	51438	53 799	69 936	4,59	35,96
7	1999	48267	53 537	67 881	10,92	40,64
8	2000	43484	52 951	65 702	21,77	51,09
9	2001	32864	51 899	63 233	57,92	92,41
10	2002	29228	49 784	59 859	70,33	104,80
11	2003	29740	47 500	56 455	59,72	89,83
12	2004	29701	45 527	53 487	53,28	80,08
13	2005	33322	43 768	50 844	31,35	52,58
14	2006	29712	42 608	48 897	43,40	64,57
15	2007	31949	41 175	46 765	28,88	46,38
16	2008	25570	40 150	45 119	57,02	76,45
17	2009	28053	38 530	42 947	37,35	53,09
прогноз	2010		37 366	41 292
итого		748866			599,6	845,51
Средняя относительная ошибка ɛ					35,27	49,74
Средняя абсолютная ошибка Δ					-3 539	-16 856
Средняя квадратическая ошибка					15 857	19 228

Расчет прогнозного значения абсолютного показателя выбывших в Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

	года	Число выбывших, человек	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
			Iспособ	IIспособ	I способ	II способ
1	1993	53931	40 221	53 931	25,42	0,00
2	1994	51900	41 744	53 931	19,57	3,91
3	1995	56419	42 872	53 705	24,01	4,81
4	1996	52047	44 378	54 007	14,74	3,77
5	1997	47152	45 230	53 789	4,08	14,08
6	1998	44293	45 443	53 052	2,60	19,77
7	1999	43678	45 316	52 078	3,75	19,23
8	2000	39703	45 134	51 145	13,68	28,82
9	2001	35725	44 530	49 874	24,65	39,60
10	2002	33317	43 552	48 302	30,72	44,98
11	2003	34506	42 415	46 637	22,92	35,16
12	2004	34032	41 536	45 289	22,05	33,08
13	2005	35194	40 702	44 038	15,65	25,13
14	2006	33940	40 090	43 055	18,12	26,86
15	2007	33225	39 407	42 043	18,61	26,54
16	2008	29085	38 720	41 063	33,13	41,18
17	2009	25603	37 649	39 732	47,05	55,18
прогноз	2010		36 311	38 162
итого		683750			340,73	422,10
Средняя относительная ошибка ɛ					20,04	24,83
Средняя абсолютная ошибка Δ					-2070	-8348
Средняя квадратическая ошибка					8458	9757

Приложение 3

Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя численности населения в Оренбургской области.

годы	Численность населения, человек	Условное обозначение времени t			Тренд
1990	2 151 097	-9,5	-20 435 422	194 136 504	2 150 906
1991	2 159 743	-8,5	-18 357 816	156 041 432	2 165 143
1992	2 168 257	-7,5	-16 261 928	121 964 456	2 177 454
1993	2 182 602	-6,5	-14 186 913	92 214 935	2 187 841
1994	2 196 785	-5,5	-12 082 318	66 452 746	2 196 303
1995	2 213 038	-4,5	-9 958 671	44 814 020	2 202 840
1996	2 218 052	-3,5	-7 763 182	27 171 137	2 207 452
1997	2 215 936	-2,5	-5 539 840	13 849 600	2 210 139
1998	2 218 082	-1,5	-3 327 123	4 990 685	2 210 901
1999	2 217 558	-0,5	-1 108 779	554 390	2 209 738
2000	2 211 204	0,5	1 105 602	552 801	2 206 651
2001	2 203 616	1,5	3 305 424	4 958 136	2 201 638
2002	2 189 876	2,5	5 474 690	13 686 725	2 194 701
2003	2 176 000	3,5	7 616 000	26 656 000	2 185 839
2004	2 162 545	4,5	9 731 453	43 791 536	2 175 052
2005	2 150 407	5,5	11 827 239	65 049 812	2 162 340
2006	2 137 850	6,5	13 896 025	90 324 163	2 147 703
2007	2 125 503	7,5	15 941 273	119 559 544	2 131 141
2008	2 119 003	8,5	18 011 526	153 097 967	2 112 655
2009	2 111 531	9,5	20 059 545	190 565 673	2 092 243
Итого	43 528 685	0	-2 053 216	1 430 432 259	2 150 906

Три частные производные функции:  приравниваются к нулю, и после преобразований получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

 (11)

 (12)

 (13)

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда суммы нечетных степеней номеров этих периодов  и  обращаются в нуль. При этом второе уравнение обращается в уравнение с одним неизвестным, откуда:

Уравнения (11) и (13) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными:

 (14)

 (15)

 

Где  ;

По данным таблицы вычисляем параметры:

Расчет прогнозных значений показателя численности населения в Оренбургской области, величин средней относительной ошибки ɛ, среднего квадратического отклонения уровней ряда от тренда S(t).

годы	Числен-ность населения, человек	Условное обозна- чение времени t			Тренд	Расчет средней относительной ошибки
1990	2 151 097	-9,5	90,25	8 145,06	2 150 906	0,01	36 313,11
1991	2 159 743	-8,5	72,25	5 220,06	2 165 143	0,25	29 158 033,30
1992	2 168 257	-7,5	56,25	3 164,06	2 177 454	0,42	84 590 617,73
1993	2 182 602	-6,5	42,25	1 785,06	2 187 841	0,24	27 446 426,15
1994	2 196 785	-5,5	30,25	915,06	2 196 303	0,02	232 640,71
1995	2 213 038	-4,5	20,25	410,06	2 202 840	0,46	104 008 801,08
1996	2 218 052	-3,5	12,25	150,06	2 207 452	0,48	112 370 444,03
1997	2 215 936	-2,5	6,25	39,06	2 210 139	0,26	33 609 785,73
1998	2 218 082	-1,5	2,25	5,06	2 210 901	0,32	51 569 300,84
1999	2 217 558	-0,5	0,25	0,06	2 209 738	0,35	61 149 881,16
2000	2 211 204	0,5	0,25	0,06	2 206 651	0,21	20 733 279,01
2001	2 203 616	1,5	2,25	5,06	2 201 638	0,09	3 911 705,33
2002	2 189 876	2,5	6,25	39,06	2 194 701	0,22	23 279 609,22
2003	2 176 000	3,5	12,25	150,06	2 185 839	0,45	96 800 266,25
2004	2 162 545	4,5	20,25	410,06	2 175 052	0,58	156 416 307,39
2005	2 150 407	5,5	30,25	915,06	2 162 340	0,55	142 389 530,26
2006	2 137 850	6,5	42,25	1 785,06	2 147 703	0,46	97 079 368,75
2007	2 125 503	7,5	56,25	3 164,06	2 131 141	0,27	31 789 121,19
2008	2 119 003	8,5	72,25	5 220,06	2 112 655	0,30	40 302 155,83
2009	2 111 531	9,5	90,25	8 145,06	2 092 243	0,91	372 021 543,38
Итого	43 528 685	0	665	39 667	2 150 906	0,34	1 488 895 130
Ср.зн.	2 176 434		33,25	1 983,36

Для показателя числа родившихся функцией тренда лучше всего аппроксимирующей временной ряд также является парабола II порядка:

Рис. 3. Динамика числа родившихся в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.

Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя числа родившихся в Оренбургской области.

  ;

  

Уравнение регрессии:

 , где =0 в 1999г.

Среднее квадратическое отклонение:

Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра с:

=46,27

 

Фактическая величина t-критерия  больше табличного , следовательно, вероятность нулевой гипотезы (о равенстве параметра с нулю) чрезвычайно мала. Достоверно известно, что тренд существовал, и что численность числа родившихся в Оренбургской области снижалась не случайно.

Средняя ошибка прогноза положения параболического тренда на период с номером :

 =949

=1 156

=1 390

Средняя ошибка прогноза:

== 1 558

== 1 693

== 1 860

Вероятная ошибка прогноза:

Прогнозные значения:

=29 253

Доверительный интервал (25 949; 32 557)

=31 220

 Доверительный интервал (27 630; 34 809)

=33 395

Доверительный интервал (29 452; 37 338)

Как видно по полученным данным, при сохранении имеющейся тенденции, число родившихся продолжит расти и вероятно в 2011 году превысит максимальный уровень в наблюдаемом периоде (1990г.)

Средняя относительная ошибка:

 прогноз обладает высокой точностью.

годы	Число родив-шихся, человек	Условное обозначение времени t					Тренд	Расчет средней относительной ошибки
1990	33 311	-9	81	6561	-299799	2698191	31 474,74	5,51	3 371 862,39
1991	30 177	-8	64	4096	-241416	1931328	29 482,33	2,30	482 561,78
1992	27 494	-7	49	2401	-192458	1347206	27 698,31	0,74	41 744,52
1993	24 148	-6	36	1296	-144888	869328	26 122,68	8,18	3 899 365,50
1994	24 458	-5	25	625	-122290	611450	24 755,43	1,22	88 466,04
1995	22 833	-4	16	256	-91332	365328	23 596,57	3,34	583 037,05
1996	21 449	-3	9	81	-64347	193041	22 646,09	5,58	1 433 023,95
1997	20 890	-2	4	16	-41780	83560	21 904,00	4,85	1 028 187,63
1998	21 951	-1	1	1	-21951	21951	21 370,29	2,65	337 227,71
1999	20 154	0	0	0	0	0	21 044,96	4,42	793 814,80
2000	21 475	1	1	1	21475	21475	20 928,02	2,55	299 183,03
2001	21 861	2	4	16	43722	87444	21 019,47	3,85	708 173,49
2002	23 500	3	9	81	70500	211500	21 319,30	9,28	4 755 451,14
2003	23 442	4	16	256	93768	375072	21 827,52	6,89	2 606 558,60
2004	23 583	5	25	625	117915	589575	22 544,12	4,41	1 079 278,69
2005	22 460	6	36	1296	134760	808560	23 469,10	4,49	1 018 287,18
2006	23 335	7	49	2401	163345	1143415	24 602,47	5,43	1 606 486,92
2007	25 776	8	64	4096	206208	1649664	25 944,23	0,65	28 300,68
2008	26 947	9	81	6561	242523	2182707	27 494,37	2,03	299 612,19
Итого	459 244	0	570	30 666	-126 045	15 190 795	459 244,00	78,37	24 460 623
Ср. Знач.			30	1614

Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя числа умерших в Оренбургской области.

Рис. 4. Динамика числа умерших в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.

  ;

  

Уравнение регрессии:

 , где =0 в 1999г.

Среднее квадратическое отклонение:

Средняя ошибка прогноза положения параболического тренда на период с номером :

 =1 187

=1 447

=1 739

Средняя ошибка прогноза:

== 1 950

== 2 118

== 2 327

Вероятная ошибка прогноза:

Прогнозные значения:

=30 190

Доверительный интервал (26 057; 34 324)

=29 392

 Доверительный интервал (25 258; 33 525)

=28 470

Доверительный интервал (24 336; 32 604)

При сохранении имеющейся тенденции, число умерших будет снижаться.

Средняя относительная ошибка:

 

прогноз обладает высокой точностью.

годы	Число умерших, человек	Условное обозначение времени t					Тренд	Расчет средней относительной ошибки
1990	20 933	-9	81	6561	-188397	1695573	-332 202	5,08	1 130 605,29
1991	22 469	-8	64	4096	-179752	1438016	-188 971	4,74	1 135 606,98
1992	24 120	-7	49	2401	-168840	1181880	-92 113	3,44	688 882,23
1993	28 383	-6	36	1296	-170298	1021788	-30 557	7,54	4 582 505,41
1994	31 244	-5	25	625	-156220	781100	5 292	12,27	14 686 948,28
1995	30 033	-4	16	256	-120132	480528	23 552	5,24	2 480 753,73
1996	28 570	-3	9	81	-85710	257130	30 866	2,84	658 150,93
1997	28 210	-2	4	16	-56420	112840	32 400	6,99	3 887 057,51
1998	28 439	-1	1	1	-28439	28439	31 844	8,51	5 855 677,34
1999	30 368	0	0	0	0	0	31 413	3,44	1 092 297,71
2000	31 755	1	1	1	31755	31755	31 844	0,28	7 992,64
2001	32 293	2	4	16	64586	129172	32 400	0,43	19 694,21
2002	33 031	3	9	81	99093	297279	30 866	2,10	480 363,15
2003	32 991	4	16	256	131964	527856	23 552	1,79	349 088,78
2004	32 321	5	25	625	161605	808025	5 292	0,06	338,52
2005	33 145	6	36	1296	198870	1193220	-30 557	2,98	978 859,85
2006	31 583	7	49	2401	221081	1547567	-92 113	0,84	70 673,80
2007	31 000	8	64	4096	248000	1984000	-188 971	1,35	175 607,63
2008	30 904	9	81	6561	278136	2503224	-332 202	0,12	1 424,52
Итого	561 792	0	570	30 666	280 882	16 019 392	-1 008 361	70	38 282 528
Ср. Знач.			30	1614

Расчет параметров параболического тренда для абсолютного показателя числа прибывших в Оренбургской области.

Рис. 5. Динамика числа прибывших в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.

  ;

  

Уравнение регрессии:

 , где =0 в 2001г.

Среднее квадратическое отклонение:

Средняя ошибка прогноза положения параболического тренда на период с номером :

 =3 171

= 3 949

=4830

Средняя ошибка прогноза:

==4 992

== 5519

== 6 180

Вероятная ошибка прогноза:

Прогнозные значения:

=29 586

Доверительный интервал (18 878; 40 294)

=31 144

 Доверительный интервал (19 306; 42 982)

=33 202

Доверительный интервал (19 946; 46 457)

Средняя относительная ошибка:

 прогноз обладает высокой точностью.

годы	Число прибывших, человек	Условное обозначение времени t					Тренд	Расчет средней относительной ошибки
1993	73131	-8	64	4096	-585048	4680384	79 563	8,80	41 370 292,11
1994	76108	-7	49	2401	-532756	3729292	72 625	4,58	12 129 198,93
1995	70242	-6	36	1296	-421452	2528712	66 187	5,77	16 440 106,28
1996	58336	-5	25	625	-291680	1458400	60 249	3,28	3 660 157,34
1997	57721	-4	16	256	-230884	923536	54 811	5,04	8 469 953,01
1998	51438	-3	9	81	-154314	462942	49 872	3,04	2 452 532,97
1999	48267	-2	4	16	-96534	193068	45 433	5,87	8 031 899,65
2000	43484	-1	1	1	-43484	43484	41 494	4,58	3 961 416,51
2001	32864	0	0	0	0	0	38 054	15,79	26 937 481,88
2002	29228	1	1	1	29228	29228	35 114	20,14	34 648 892,78
2003	29740	2	4	16	59480	118960	32 674	9,87	8 609 898,77
2004	29701	3	9	81	89103	267309	30 734	3,48	1 066 941,89
2005	33322	4	16	256	133288	533152	29 293	12,09	16 230 192,53
2006	29712	5	25	625	148560	742800	28 352	4,58	1 848 341,97
2007	31949	6	36	1296	191694	1150164	27 911	12,64	16 302 775,03
2008	25570	7	49	2401	178990	1252930	27 970	9,39	5 759 675,55
2009	28053	8	64	4096	224424	1795392	28 528	1,69	225 879,97
Итого	561 792	0	408	17 544	-1 301 385	19 909 753	748 866	131	208 145 637
Ср. зн.			24	1032

Расчет параметров линейного тренда для абсолютного показателя числа выбывших в Оренбургской области.

Рис. 6. Динамика числа выбывших в Оренбургской области с линейной линией тренда.

Уравнение имеет вид: ,

Где - уровень тренда для периода или момента с номером ;

а - свободный член уравнения, равный среднего уровню тренда для периода (момента) с нулевым номером ;

b – главный параметр линейного тренда, его константа, среднее абсолютное изменение за принятую в ряду единицу времени.

Уравнения метода наименьших квадратов:

 

Откуда а = 40 220, b = -1 763

 , t=0 в 2001году

годы	Число выбывших, человек	Условное обозначение времени t	t2		Тренд	Расчет средней относительной ошибки
1993	53931	-8	64	-431448	56 563	4,88
1994	51900	-7	49	-363300	53 961	3,97
1995	56419	-6	36	-338514	51 471	8,77
1996	52047	-5	25	-260235	49 092	5,68
1997	47152	-4	16	-188608	46 826	0,69
1998	44293	-3	9	-132879	44 671	0,85
1999	43678	-2	4	-87356	42 628	2,40
2000	39703	-1	1	-39703	40 698	2,51
2001	35725	0	0	0	38 878	8,83
2002	33317	1	1	33317	37 171	11,57
2003	34506	2	4	69012	35 576	3,10
2004	34032	3	9	102096	34 092	0,18
2005	35194	4	16	140776	32 721	7,03
2006	33940	5	25	169700	31 461	7,30
2007	33225	6	36	199350	30 313	8,76
2008	29085	7	49	203595	29 276	0,66
2009	25603	8	64	204824	28 352	10,74
Итого	683 750	0	408	-719 373	683 750	88

Средняя ошибка прогноза положения о тренда на период с номером  от середины базы расчета тренда имеет вид:

 

Средняя ошибка прогноза

 

Вероятная ошибка прогноза:

Прогнозные значения:

 =24 352  (17 166; 31 537)

 =22 589  (15 275; 29 902)

  = 20 826  (13 383; 28 267).

Средняя относительная ошибка:

 

прогноз обладает высокой точностью.