Опис сигналів і систем за допомогою інтегральних перетворень. Одновимірне перетворення Фур'є

3. Опис сигналів і систем за допомогою інтегральних перетворень. Одновимірне перетворення Фур'є

Інтегральні перетворення (функціонали) служать важливим апаратом системної теорії. При цьому розглядається перетворення області визначення деякої вихідної функції в іншу область, що також може бути розглянута як сигнальний простір. Перетворення виконується за допомогою ядра перетворення, що часто називають базисом, наприклад

 (9)

Перетворення називається лінійним, якщо функція, що підлягає перетворенню, присутня у функціоналі не більш ніж у першому ступені. Тоді загальний вигляд інтегрального перетворення може бути записаний як

 (10)

Тут перетворення вихідної функції  у  виробляється за допомогою ядра . Зворотне перетворення функції  у вихідну  здійснюється за допомогою ядра :

 (11)

Вихідними функціями можуть бути як самі сигнали, так і функції, що описують систему у вихідній області (наприклад, імпульсний відгук). Найважливішими під час обробки зображень є:

-  перетворення Фур'є;

-  косинусне, синусне і Wavelet- перетворення;

-  перетворення Радемахера, Уолша-Адамара;

-  перетворення Хаара.

Розглянемо речовинну просторову функцію розподілу яскравості вздовж рядка зображення . Тоді пряме і зворотне перетворення Фур'є для неперіодичної функції запишеться у такий спосіб:

(12)

 (13)

Формули (12) і (13) являють неперіодичний сигнал , заданий на нескінченному інтервалі, відповідно в частотній і часовій областях. Функція характеризує спектральний склад сигналу  і називається спектральною щільністю сигналу . Така назва викликана тим, що для неперіодичного сигналу частотний інтервал між суміжними гармоніками прагне до нуля, і перетворення (13) є розкладанням сигналу на суму нескінченної кількості гармонік, амплітуди яких нескінченно малі.

Вираз (12) дозволяє перейти від спектральної щільності до сигналу, а вираз (13) – від сигналу до спектральної щільності. Для вирішення різних задач операції над періодичними сигналами часто замінюють операціями над частотними спектрами. Це дає можливість досліджувати властивості сигналів не тільки в часовій області, аналізуючи безпосередньо сигнал , але і в частотній, оперуючи спектральною щільністю.

4. Імпульсна і частотна характеристики безперервної системи

Імпульсною характеристикою системи називається функція h(x), що являє реакцію системи на вхідний сигнал, заданий дельта-функцією:

 (14)

Знання h(х) дозволяє вирішити будь-яку задачу про проходження детермінованого сигналу через лінійну систему.

Для дослідження лінійних систем у частотній області використовують частотну характеристику H(jw). Частотна H(jw) і імпульсна h(х) характеристики лінійної системи пов’язані між собою парою перетворень Фур’є:

 (15)

 (16)

Частотна характеристика має просту інтерпретацію – вона являє коефіцієнт передачі гармонійного сигналу з частотою w із входу лінійної системи на її вихід (рис.9).

Рисунок 9 – Система в частотній області

У загальному випадку H(jw) має комплексні значення і пов'язує спектральні щільності вхідного і вихідного сигналів простою залежністю:

. (17)

Відповідно до теореми згортки перетворення Фур'є від двох згорнутих функцій дорівнює добуткові їхніх фур'є-перетворень:

(18)

Це перемножування в частотній області відповідає фільтрації вхідної функції передатною функцією. Поняття фільтрації в техніці обробки зображень часто застосовується і в просторовій області.

Таким чином, система, поводження якої описане в часовій (просторовій) області, може бути описана і в частотній області (рис. 10).

Рисунок 10 – Система в частотно-просторовій і просторовій областях

Перехід до дискретних систем. Під час обробки зображень функція  піддається дискретизації шляхом формування послідовності дискретних відліків . Тому необхідно ввести поняття дискретної системи. У цьому випадку результат перетворень також дискретний, як в просторовій, так і в частотно-просторовій області.

Перехід до дискретного опису може бути зроблений у такий спосіб:

1. Покладемо, що  дискретизується растром, при цьому  — цілочисельні перемінні , що описують дискретні координати в області зображення.

1.  Подамо процес дискретизації символічно:

 (19)

Введемо  — цілочисельні перемінні, індекси дискретних спектральних компонентів у частотно-просторовій області;

2.  Введене раніше поняття перетворення Фур'є можна поширити і на дискретні системи. Тоді дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) записується як

 

 (20)

 

Зворотне ДПФ:

 (21)

Цю відповідність можна позначити символічно:

 (22)