Математические модели в менеджменте и маркетинге

КОНСПЕКТ по дисциплине «Математические модели в менеджменте и маркетинге»
1. МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

В реальных системах управления задачу оптимизации приходится решать с учетом нескольких критериев эффективности одновременно. В общем случае задача многокритериальной (векторной) оптимизации ставится следующим образом.

Имеется множество X различных (альтернативных) вариантов решения задачи управления. Вариант решения - это конкретное значение вектора параметров управления, то есть конкретный вариант плана производства, или вариант загрузки оборудования, или вариант стратегии управления и т.п.

Каждый вариант решения х ? Х оценивается вектором критериев

Очевидно вариант Х° является строго оптимальным, если

где y_iext - минимальное или максимальное значение критерия y_i , в зависимости от требований оптимизации.

Однако в реальных системах существование строго оптимального решения У° маловероятно, а часто и невозможно из-за противоречивости взаимосвязанных критериев. Например, при росте объемов производства растет и расход ресурсов, хотя объем надо максимизировать, а ресурсы минимизировать.

Практический интерес представляет поиск существующих вариантов, близких к оптимальному. Такими вариантами являются так называемые Парето-оптимальные варианты, составляющие множество PÌX •

Вариант x*Î Р если значение частного критерия y_i(x*) для любого i, можно улучшить лишь за счет ухудшения других частных критериев. Другими словами, вариант X оптимален по Парето, если не найдется ни одного другого варианта X'?Х , такого, для которого

причем хотя бы для одного i выполняется

Здесь и далее предполагается, что все частные критерии надо минимизировать.

Для поиска Х Î Р используется два подхода:

-   векторный критерий У преобразует (сворачивают) в обобщенный скалярный критерий Yc а затем применяют известные однокритериальные методы оптимизации (линейное, нелинейное, стохастическое программирование и т.п.) ;

-   применяют специальные методы многокритериальной оптимизации непосредственно по векторному критерию У..

Рассмотрим некоторые способы свертки. Наиболее простой способ - взвешенное линейное суммирование частных критериев .

 

где a- коэффициент важности (вес) частного критерия Y_i. . Для определения значений коэффициентов применяют экспертные методы. Использовать линейную свертку суммированием нельзя, если существует нелинейная зависимость частных критериев между собой.

Если один из частных критериев намного важнее остальных, для которых известны их предельно допустимые значения b _i , то оптимизация производится по наиболее важному (главному) критерию Ус=Y_i а для остальных критериев устанавливаются ограничения:

Если удалось упорядочить все частные критерии по важности, но не удалось определить их вес a и предельные значения b, то можно попытаться использовать метод последовательных уступок. В этом методе на первом шаге производится поиск X₁^* , оптимального по самому важному критерию y₁ . Остальные критерии при этом игнорируются. На 2-ом шаге выполняется поиск Х*₂ , оптимального по критерию y₂ а на ухудшение критерия y₁ накладывается ограничение

где D₁- уступка, характеризующая допустимое отклонение y₁ от его минимального значения, найденного на 1-ом шаге.

Для простоты предполагается, что все критерии надо минимизировать.

На t, -ом шаге отыскивается X_t* , для которого

Наконец, на n. -ом шаге отыскивается X*=X_n, для которого

Еще один способ свертки - выбор в качестве обобщенного скалярного критерия эвклидова расстояния анализируемого варианта X до строго оптимального (идеального) варианта Х°. Сам вариант X⁰ может не существовать , но так как измерение расстояния выполняется в критериальном пространстве, то должны быть известны экстремальные значения этих критериев.

Свертка в этом случае имеет вид

Замечание I. Для оптимизации по У с, (взвешенное суммирование, эвклидово расстояние ) или для пошаговой оптимизации по частным критериям (методы главного критерия и последователь ных уступок) необходимо вычислять значения частных критериев

В сущности необходимо решать задачи прогноза и оптимизации по каждому y_i и по y_c для чего используются известные модели и методы оптимизации.

Замечание 2. При оптимизации по y_c необходимо, чтобы критерии y_i были нормализованы, то есть принимали значение в фиксированном интервале, например [0, l] и были безразмерны. Если известны верхняя y^в и нижняя y^н границы изменения критерия y_i , то нормализованное значение y_i определяется как

Пример, Имеется два проекта программного обеспечения автоматизированной подсистемы оперативного управления прокатным производством. Каждый вариант характеризуется следующим набором частных критериев:

y₁ - затраты на разработку, руб. ;

y₂ - срок разработки, год ;

y₃ - время решения задач на ЭВМ, ч;

y₄ - необходимое количество разработчиков, чел.;

y₅ - количество высвобождаемых штатных сотрудников после внедрения системы, чел.

Определить лучший проект программного обеспечения, используя для получения обобщенного критерия оптимальности метод Эвклидовой метрики.

Исходные данные для расчета приведены в таблице.Номер варианта и характеристики частных критериев	Частные критерии
	y1	y2	y3	y4	y5
Вариант I	25000	3	2,5	10	I
Вариант 2	30000	2	2,2	12	2
Вариант заказчика (идеальней yiext)	20000	3	2	10	2
Относительный коэффициент значимости частных критериев ( ai )	0,4	0,3	0,1	0,1	0,1
Минимально допустимое значение частного критерия (yiH)	20000	2	2	10	1
Максимально допустимое значение частного критерия (yB)	30000	3	2,5	15	3

Решение задачи. Порядок решения задачи следующий:

!• Определение нормализованных значений частных критериев по формуле ,