Основные свойства R-фильтров второго порядка

2. Основные свойства R-фильтров второго порядка

При использовании в качестве частотозадающих цепей ограниченность полосы пропускания операционных усилителей в звеньях второго порядка необходимо применить только два активных элемента (n=2). В этом случае

(3)

 являются передачами пассивной подсхемы с учетом влияния входного и выходного сопротивлений ОУ с выхода i-го ОУ на инвертирующий (индекс «-») и неинвертирующий (индекс «+») входы j-го ОУ. Можно строго показать, что в классе рассматриваемых схем реализация как заграждающих фильтров, так и фильтров верхних частот невозможна. Указанный вывод, который следует из постановки задачи, справедлив при условии аппроксимации ОУ передаточной функцией 1-го порядка. Если ОУ и любой усилитель с конечным  характеризуется функцией 2-го порядка, то реализация вполне реальна.

С учетом структуры матрицы Q₁ можно утверждать, что для реализации передаточной функции звена полосового типа необходимо выполнить одно из условий b₂₂=0 или b₁₁=0. Несложно также установить, что указанные варианты отличаются только номерами ОУ (изоморфные решения). Именно поэтому без потери общности выводов можно положить, что

. (4)

В этом случае после приведения передаточной функции звена к стандартной форме получим

, (5)

где

, , (6)

. (7)

Таким образом, на выходе первого ОУ реализуется передаточная функция звена полосового типа, а на выходе второго ОУ – функция звена фильтра нижних частот. Отметим, что знак b_ij, как было показано ранее, легко изменяется путем выбора инвертирующего и неинвертирующего входов любого из ОУ. Как следует из (6), выбор частоты полюса при конкретном типе ОУ может осуществляться за счет коэффициента сдвига

. (8)

Следовательно, для реализации высокой добротности  необходима (7) низкая глубина местной отрицательной обратной связи в первом ОУ . Из соотношений и можно определить набор локальных передаточных функций для каждого из возможных фильтров. Для полосового фильтра

, (9)

, (10)

и для фильтра нижних частот

, (11)

. (12)

Максимальное значение модулей этих функций непосредственно характеризует динамический диапазон устройства. Так, для полосового фильтра и фильтра нижних частот

(13)

. (14)

Таким образом, выбором численных значений коэффициентов передачи цепей связи первого и второго ОУ () можно обеспечить при любых частотах их единичного усиления и любом коэффициенте сдвига (8) максимально эффективное использование линейного участка амплитудной характеристики активных элементов. Для оценки влияния ОУ на собственный шум фильтров можно из соотношения выделить максимальное значение выходной спектральной плотности при условии равномерности в диапазоне рабочих частот (в окрестности частоты полюса w_P) входной спектральной плотности активных элементов

 (15)

В этом случае, как это видно из (9)–(12) для полосового фильтра,

 (16)

а для фильтра низких частот

(17)

Для сравнения отметим, что при  в ARC-фильтрах аналогичная оценка приводит к следующему результату

. (18)

Как видно из приведенных соотношений, «проигрыш» R фильтров непосредственно определяется численным значением коэффициента сдвига b_z, который также влияет и на максимальное выходное напряжение (U_max) ОУ в рабочем диапазоне частот. Действительно, в области относительно высоких частот (соизмеримых с частотой единичного усиления) U_max определяется не через амплитудную характеристику ОУ (U₀), а зависит от скорости нарастания выходного напряжения U ОУ. Из [5] следует, что

 , (19)

где U_ri– граничное напряжение входного каскада Q i-го ОУ.

Таким образом, при идентичных ОУ минимизация верхнего уровня динамического диапазона связана с реализацией условия

 (20)

и применением в структуре входных каскадов ОУ нелинейных цепей коррекции, направленных на увеличение U_r. Из соотношений (14), (16), (17), (19) следует, что

(21)

где Dƒ – диапазон рабочих частот фильтра.

При использовании традиционных схемотехнических решений ОУ для SiGe технологии можно считать, что

 (22)

поэтому

. (23)

Приведенные оценки и определяют в основном область компромисса при проектировании R-фильтров.