Вещественные числа. Способы представления и хранения в ЭВМ

Контрольная работа

«Вещественные числа: способы представления и хранения в ЭВМ»

Рязань, 2006 г.

1. Цель работы

1. Изучение основных типов данных с плавающей точкой, принятых стандартов и их представление в современных ЭВМ.

2. Наработка практических навыков обращения с вещественными числами на компьютере (запись, считывание, хранение).

2. Теоретическая часть

2.1 Вещественные числа

Вещественные числа (REAL) – числа, имеющие дробную часть. Для их представления в компьютере используется так называемое представление с плавающей точкой (ПТ), основанное на алгебраической записи чисел в виде:

X = ±M_xq^±Пх

плавающий вещественный число компьютер

где q – основание системы счисления;

П_х – порядок числа (целое);

М_х – мантисса (значащая часть числа), обычно представляется дробью:

Mx = ±0.d₁d₂… d_n.

Условие d_i≠0 является характерным признаком нормализованного числа в ФПТ. Нормализованное представление используется для однозначной записи вещественных чисел. Для нормализованной двоичной мантиссы (q=2) диапазон определяется неравенством 2^-1 ≤ |Мх| <1. Знак числа определяется знаком мантиссы.

Мантисса числа X в общем виде записывается соответственно как

а) Мх =.d₀d₁d₂d₃d₄, где d_i {0,1};

б) Мх = d₀.d₁d₂d₃d₄, где d_i {0,1}.

Разряд d₀ в нормализованных числах всегда равен «1» и в памяти компьютера не хранится («скрытый бит»). Таким образом, мантисса, хранящаяся в памяти компьютера всегда число дробное. (Рис. 1)

d1 d2 d3 d4…

↑ ↑

«скрытый» бит место точки

Рис. 1. Представление n-разрядной мантиссы

Форма представления чисел с ПТ позволяет значительно увеличить диапазон и точность представления чисел при той же длине разрядной сетки что и для чисел с ФТ.

2.2 Представление в памяти

Вещественные числа в отличие от целых представляются и хранятся в памяти в прямом коде, их представление стандартизовано. Согласно стандарту IEЕЕ – 754 для ПК IBМ PC вводят три машинных формата:

– одинарной точности (4 байта);

– двойной точности (8 байт);

– расширенной точности (10 байт).

Некоторые фирмы разработчики ПО используют нестандартные форматы (в компиляторе языка Pascal фирмы Borland используется формат длиной б байтов).

Представление вещественных чисел в классическом двоичном формате

Представление вещественных чисел в классическом двоичном формате имеет четыре поля используется в старых ЭВМ.

Задание 1. Считать из памяти (найти Х₁₀) число, представленное в классическом двоичном формате.

X = -0.10100*2^-3 = -19/32*2^-3 = -19/256.

Задание 2 Х= +7 представить в классическом двоичном формате (n=5, m=3). X = +7 = 111.101₂ = 0.111101*2⁺³

0 11110 0 011₂

2.3 Машинные форматы вещественных данных

В различных алгоритмических языках принятые стандарты описываются разными ключевыми словами.

В языке Turbo-Pascal определены следующие типы вещественных чисел: single, Real, double, extended и comp.

Типы вещественных чисел в языке Turbo-Pascal приведены в таблице 1.

Таблица 1. Типы вещественных чисел в языке Turbo-Pascal

Название типа	Длина в байтах	Мантисса (десятичных значащих цифр)	Диапазон десятичного порядка
single	4	7… 8	-45..+38
real	б	11…12	-39..+38
double	8	15…16	-324..+308

Во всех типах мантисса хранится в прямом коде (ПК). Порядок (или экспонента е) задается в так называемой смещенной форме. Смещение выбирается так, чтобы характеристика была целым положительным числом (тогда знак характеристики хранить не требуется).

Смещение для типа real =129, для типа single =127, для типа double =1023.

Смещенный порядок (характеристика Е) равен истинному порядку П, увеличенному на величину смещения, т.е. Е=П+смещение.

Если 0<Е<255, то значение числа X определяется по правилу:

для формат single: X = f (S, E, M) = (-l)^S-2^{(E -l27)} (1.M);

для формата real: X = f (S, M, E) = (-l)^S-2^{(E -l29)} (1.M), где S=0 или 1.