Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления 1.1 Непозиционные системы счисления 1.2 Позиционные системы счисления

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую

2.2. Перевод правильных дробей

2.3 Перевод неправильных дробей

2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием

3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ

4. Двоичная система счисления

4.1 Навыки обращения с двоичными числами

5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ

6. Точность представления чисел в ЭВМ

Вывод

Литература

Введение

Тема реферата по курсу «Прикладная теория цифровых автоматов» - «Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления».

Цель написания реферата:

ознакомится с понятием системы счисления; классификацией систем счисления; переводом чисел из одной системы счисления в другую; выбором системы счисления для применения в ЭВМ; двоичной системой счисления; формами представления двоичных чисел в ЭВМ; точностью представления чисел в ЭВМ и др.

1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления

 

Системы счисления были созданы в процессе хозяйственной деятельности человека, когда у него появилась потребность в счете, а по мере развития научной и технической деятельности возникла также необходимость записывать числа и производить над ними вычисления

Системой счисления называется совокупность символов и приемов, позволяющих однозначно изображать числа. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. В общем случае число записывается следующим образом:

А=а_na_n-1 ... а₂ a₁ а₀

Отдельную позицию в записи числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда, количество разрядов в записи числа - это разрядность и она совпадает с длиной числа. В техническом плане длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет р различных значений, то разряд a_ів числе рассматривается как р-ичная цифра, которой может быть присвоено каждое из р значений.

Каждой цифре a_і данного числа А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент - К(a_і). При любой конечной разрядной секе количественный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от кличественных отдельных разрядов значения от К(А) _min до К(А) _max.

Диапазон представления (D) чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными заданной разрядностью (длиной разрядной сетки):

 

D=К(А)_{(p) max} - К(А)_{(p) min}.

Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако, любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

1) возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;

2) однозначность представления;

3) краткость и простоту записи чисел;

4) легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперировать ею.

В зависимости от целей применения используют различные системы счисления: 2-ю, 10-ю, 8-ю, 16-ю, римскую, а для исчисления времени - система счисления времени и т.д.

В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 1)

В основном системы счисления строятся по следующему принципу:

А_(p)= а_nр_n +а_n-1p_n-1…..+а₁р₁,

где А_(p)- запись числа в системе с базисом р_і;

а_і- база или последовательность цифр системы счисления с р_i-чным алфавитом

р_i- базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы счисления). Базис десятичной системы счисления 10⁰, 10¹, 10², 10³, ..., 10^п.

База системы счисления может быть положительной (0,1,2...9), но может быть и смешанной (1, ).

Рисунок. 1- Классификация систем счисления

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов для изображения числа в данной системе счисления.

Вес разряда R_i в любой системе счисления - это отношение R_i=p_i/p₀.

1.1 Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления - это системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от начертания и не зависит от положения в числе. Такие системы строятся по принципу аддитивности, т.е. количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр в числе. Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные, в частности, иероглифическая система - римская система счисления. Запись чисел в алфавитных системах счисления строится по такому же принципу.

К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:

1) отсутствие нуля;

2) необходимость содержания бесконечного количества символов;

3) сложность арифметических действий.

Основное внимание уделим позиционным системам счисления.

 

1.2 Позиционные системы счисления

 

Позиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Основное достоинство позиционных систем счисления - удобство выполнения вычислений.

Позиционные системы счисления разделяются на ряд подклассов.

Неоднородные позиционные системы счисления (со смешанным основанием)

В таких системах счисления в каждом разряде количество допустимых символов может быть различно значения не зависят друг от друга и могут принимать любые значения. Примером неоднородной позиционной системы счисления может служить система счисления времени, для которой Р₀- 1сек,Р₁- 60 сек, Р₂- 60 мин, Р₃- 24 часа, Р₄- 365 суток.

Однородные позиционные системы счисления.

Это частный случай позиционных систем счисления, в них веса отдельных разрядов представляют собой ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем p. Поэтому число в однородных системах может быть представлено в общем случае полиномом вида:

А_(p)= а_nрⁿ + а_n-1р^n-1 + ... а₁р¹ + а₀р⁰ + а_-1р^-1 +...+ а_—kр^-k ,

или

Основанием однородной позиционной системы может быть любое целое число, так как в определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления.

Обычно число в однородной системе счисления записывается в сокращенном виде:

А_(p)= а_n а_n-1... а₁а₀а_-1... а_—k,

а название системы счисления определяет ее основание: десятеричная, двоичная, восьмеричная, и т.д. Для любой позиционной системы счисления справедливо, что ее основание изображается символами 10 в своей системе.

Кодированные системы счисления

Это такие системы, в которых цифры одной системы счисления кодируются при помощи цифр другой системы. Примером может служить двоично-десятичная система с весами (8-4-2-1) или (8-4-2-1+3).