Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений

4171

знак

таблиц

изображений

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированием зависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Поле ортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Заряд σ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.

Метод изображений состоит в замене системы "заряды + проводящая поверхность" на систему "заряды + изображения". Правила построения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности. Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центра сферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от оси цилиндра:

$\left.\right.\hspace{-0.85cm}$ плоскость q → q' = –q, l → l' = l

заземленная сфера q → q' = –qR/l, l → l' = R2/l

цилиндр λ → –λ, l → l' = R2/l

Если сфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в начало координат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются до бесконечности, где φ = 0).

Основным практическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщается на систему зарядов (нитей, колец и т. д.) - всю ее надо отобразить относительно плоскости.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти плотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда на плоскость.

Ответ: $\sigma(r) = -\frac{q l}{2\pi(l^2+r^2)^{3/2}}$

Задача. Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит над проводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределение электрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизи плоскости.

Решение: Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищем поле от нити-изображения –λ, далее векторно суммируем эти поля. После этого можно найти σ в любой точке как –ε0· Ewire+image.

Поле одной нити на расстоянии s от нее равно

$E_{wire} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0s}$

и направлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости на расстоянии x от проекции нити на плоскость будет ( $s = \sqrt{l^2+x^2}$ ):

$E_{wire} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 \sqrt{l^2+x^2}}$

Такое же по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векторном суммировании полей двух нитей параллельные плоскости компоненты уничтожаются, а перпендикулярные ей - удваиваются:

$E_{wire+image} = 2\cdot E_{wire, \bot} = 2\cdot E_{wire}\cdot \frac{l}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{\lambda l} {\pi\varepsilon_0(l^2+x^2)}$

Соответственно, имеем плотность индуцированного заряда:

$\sigma(x) = -\varepsilon_0E_{wire+image} = -\frac{\lambda l}{\pi(l^2+x^2)}$

Проинтегрировав σ(x) по x от –∞ до +∞, можно убедиться, что суммарный индуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет –λ, как и должно быть.

Задача. Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z и не доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизи плоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.

Ответ: $\sigma(r) = \frac{\lambda_0}{2\pi\sqrt{l^2+r^2}}$

Задача. На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R<l расположен точечный заряд q. Найти плотность заряда, индуцированного в ближайшей к заряду и в наиболее удаленной от него точках шара.

Решение: По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд –qR/l в точку на оси "центр сферы - заряд q", удаленную от центра на расстояние R2/l. Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будет R–R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображения направлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет

Enear	=	$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1} {(l-R)^2}+\frac{qR}{4\pi\varepsilon_0l}\cdot\frac{1}{(R-\frac{R^2}{l})^2} =$
	=	$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{(l-R)^2} + \frac{R}{l(R-\frac{R^2}{l})^2}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1+\frac{l}{R}}{(l-R)^2}$

Сразу же находится σ:

$\sigma_{near} = -\varepsilon_0 E_{near} = -\frac{q}{4\pi(l-R)^2}\cdot\left(1+\frac{l}{R}\right)$

Аналогично находим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле от заряда q направлено от центра, а от изображения - на центр. Сумма этих полей оказывается направленной к центру и по модулю равной:

Efar

$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{\frac{l}{R}-1}{(l+R)^2}$

так что

$\sigma_{far} = -\varepsilon_0 E_{far} = -\frac{q}{4\pi(l+R)^2}\cdot\left(\frac{l}{R}-1\right)$

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 4171
Количество таблиц: 11
Количество изображений: 5

Скачать

... , не меняя при этом ее потенциал, то поле вне проводника снова останется прежним. Таким образом мы получаем еще одно применение метода изображений - определение полей проводящих поверхностей различной формы. В специальных книгах по электростатике можно найти множество подобных расчетов для различных поверхностей - гиперболоидов, параболоидов и других поверхностей очень хитрой формы. Все подобные ...

Скачать

... переключатель П в положение “S”. Далее, помещаем в ванну электроды различной формы ( в зависимости от задания ) и затем, водя по ванне зондом, определяем 4 - эквипотенциальные линии: 1B, 2B, 3B, 4B. И так далее для каждого задания. Задание №1. Исследование электростатического поля плоского конденсатора. Таблица 1. Зависимость потенциала j от расстояния. j = j (x),В x ...

Скачать

... проводимости, запрещенная валентная зона, энергия активации). 8. Температурная зависимость полупроводников. Литература, рекомендуемая к лабораторной работе: 10. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм.- М.: Высшая школа, 1983. 11. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1977. 12. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2, Т. 3. – М.: Наука, 1977. 13. Телеснин Р.В., Яковлев В.Ф. Курс ...

Скачать

... это количество вещества, взятая в количестве 1 моля. g - количество вещества или число молей. [g]= моль [m]= кг/моль Билет № 7 1. Важным понятием в молекулярной физике и термодинамике является понятие термодинамической системы, к рассмотрению которого мы и переходим. 1.Термодинамической системой (или просто системой) называют совокупность большого числа молекул, атомов или ионов ...

Главная Новости Рефераты Статьи Вузы

О проекте Соглашение

Наверх

Войти на сайт

Навигация

Похожие работы

0 комментариев

Разделы

Инфо

Следите за новостями