Елементи теорії лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами

3. Елементи теорії лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами

Вище було показано, що поведінка малих відхилень від періодичного режиму визначається диференційними рівняннями з періодичними коефіцієнтами, які називаються рівняннями першого приближення. Стосовно до періодичного режиму за допомогою (4) отримаємо

. (6)

Тут, на відміну від рівняння (5),  і  - періодично змінювані провідність і ємність. Період зміни цих елементів співпадає з періодом усталеного режиму в шуканій нелінійній схемі, позначимо його - період модуляції параметрів.

Рівнянню (6) відповідає еквівалентна схема для малих збурень (лініаризована схема). Вона виходить з шуканої усуванням зовнішнього джерела струму та заміною нелінійних елементів на елементи з періодично змінюваними параметрами.

Періодичний закон, за яким модулюються параметри, описується або функцією часу, або спектральними методами рядів Фур’є. Обидві форми визначаються періодичним режимом. Якщо який-небудь параметр нелінійної схеми, або зовнішнього впливу змінюється, то характеристики періодичного режиму теж змінюються, а це робить в (6) зміну функцій, модулюючих параметри.

Аналіз локальної стійкості періодичного режиму проводиться на основі двох теорем. Перша доведена А.М. Ляпуновим і відноситься до неавтономної схеми. Ствердження другої, доведено А.А. Андроновим і А.А. Виттом. Вона визначає стійкість автоколивань.

Теорема Ляпунова. Якщо всі характеристичні корені рівняння першого зближення за модулем менше одиниці, то періодичний режим в нелінійній неавтономній схемі асимптотично стійкий; якщо є хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, то періодичний режим нестійкий.

Теорема Андронова-Витта. Якщо серед характеристичних коренів рівняння першого зближення автономної схеми є хоч один звичайний, за модулем рівним одиниці, то періодичний процес стійкий за Ляпуновим (асимптотичний орбітально стійкий); якщо хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, то періодичний процес нестійкий.

Роз’яснимо асимптотичну орбітальну стійкість періодичного режиму. Будемо уявляти періодичний режим в нелінійний схемі рухом зображуючої точки по замкнутій кривій. Під дією флуктуацій виникає збурений рух, який визначається переміщенням другої зображаючої точки. Очевидно, що після дії флуктуацій обидві зображені точки будуть знаходитись неподалік одна від одної. Припустимо, періодичний процес стійкий та траєкторії збуреного та незбуреного руху протягом певного часу з’єднуються. В цьому випадку для зображаючих точок можливі два варіанти: обидві точки при з’єднанні траєкторій зливаються або з’єднання траєкторій не супроводжується збігом обох точок. Перша ситуація характеризує асимптотично стійкий періодичний процес, друга – асимптотичний орбітально стійкий (або стійкий за Ляпуновим).

Щоб зрозуміти, що таке характеристичні корені лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами, розглянемо основні положення теорії таких рівнянь.

Для спрощення припустимо, що порядок рівняння (6) дорівнює трьом. Тоді його можна привести до виду

,

де точки означають диференціювання в часі, коефіцієнти  - періодичні функції з періодом , .

Усяке конкретне рішення записаного рівняння відповідає конкретним початковим умовам, які можна задати вектором . Якщо взяти три лінійно незалежних початкових вектора, то вони визначають три лінійно незалежних рішення. Прийнявши останнє за стовпці, сформуємо фундаментальну матрицю рішень. За допомогою цієї матриці можна виразити усяке рішення (6), відповідаючє довільним початковим умовам.

Серед фундаментальних матриць відокремимо таку, котра в початковий момент часа виявляється одиничною. Іншими словами, розглянемо фундаментальну матрицю , складену з рішень, для котрих початкові умови складають стовпці одиничної матриці. Якщо в цій фундаментальній матриці покласти , то отримаємо характеристичну матрицю . Її власні числа  і є характеристичні корені рівняння (6). Отже, характеристичний поліном при  можна записати у вигляді

,

де  - одинична матриця.

Кожному простому одиничному кореню  відповідає рішення , маюче властивість

. (7)

Вказана властивість породила ще одну назву характеристичних корнів – мультіплікатори (помножувачи). Послідовне використання цієї властивості відносно рішення  дозволяє записати

.

Тобто, при  рішення зменшується, а при зворотній нерівності зростає. Тепер стає зрозумілим зміст теорем про стійкість періодичного режиму.

Рішення, для якого вірно (7), можна переписати в такій формі:

, (8)

де  - характеристичний показник,

 - обмежена періодична функція.

Теореми Ляпунова та Андронова-Витта можна сформулювати інакше, вводячи характеристичні показники замість характеристичних коренів. Тепер стійкість має місце при .

За допомогою (6) можна отримати рівняння для характеристичних показників. Попередньо (6) треба записати у вигляді

 (9)

В (9) позначено: ; ,  - середнє значення функцій ,  за період модуляції; ,  - періодичні функції з нульовим середнім.

Щоб знайти потрібне рівняння, підставимо в (9)

, ,

.

Нагадаємо, в рядах Фур’є для  і  члени при  дорівнюють нулю.

Після елементарних перетворювань маємо

.

Покладемо . Тоді

.

Складена лінійна комбінація лінійно незалежних функцій  може дорівнювати нулю тільки при перетворенні в нуль кожного співмножника, взятого в фігурні дужки:

, (10)

Отримали для спектральних складових напруги  нескінечнну систему алгебраїчних рівнянь з нульовою правою частиною. Щоб рішення системи не було нульовим, треба вимагати рівності нулю її головного визначника . Цей нескінченний визначник зветься визначником Хілла. Він залежить від , що і дає шукане рівняння: .

Нехай  - елемент визначника, належний до k-го рядка та m-го стовпця. Із (10) можна отримати

, (11)

.

За допомогою (11) знайдемо, що елементи головної діагоналі (k=m) дорівнюють одиниці.

Використовуючи (11), можна встановити наступну властивість: заміна  на не змінює значення визначника

.

Це виникає тому, що змінивши нумерацію рядків після вказаного підставлення, отримаємо той самий визначник.

З цієї властивості витікає: якщо  - корінь визначника, то коренями будуть . Отже, визначник має нескінченне число коренів. Встановлено, що кожному комплексному кореню відповідає комплексно-спряжений.

Нескінченний визначник Хіла вдалося звести до виразу, який для (9) має вигляд:

, (12)

де  - корені знаменика z(p) в (9),

n – порядок рівняння (9),

 - безкінечні чисельні визначники, не вміщаючи , які знаходяться із наступного рівняння:

. (13)

Значення чисельних визначників можна розраховувати із наперед заданою точністю. Доведено, що в сумі вони дорівнюють нулю.

Наприкінці визначимо суть полінома, вхідного до знаменника опору  в рівнянні (9). Із виразу

витікає, що цей – опір між точками вмиканняння елементів з періодично змінними параметрами, в який увійшли середні значення змінної провідності та ємності. Знайти цей опор можна, підімкнувши до відповідних точок джерело струму , визначивши викликану ним напругу v та використав рівність . Звідки визначимо, що  - характеристичний поліном схеми для малих збурень, в якій . Цю схему назвемо усередненою, оскільки вона крім лінійних елементів вміщає середнє значення періодично змінних провідностей та ємностей.