Построение функций принадлежности на основе экспертных оценок

3. Построение функций принадлежности на основе экспертных оценок

Рассмотрим особенности построения функций принадлежности для приближенных точечных (например, Х приблизительно равен 10) и интервальных оценок (вида Х находится приблизительно в интервале от 8 до 11). Естественно предположить, что функцию, необходимо строить следующим образом:

если α ≤ х ≤ β, то μ(α, β) (х) = 1;

если х < α, то μ(α, β) (х) = μα (х);

если х < β, то μ(α, β) (х) = μβ (х),

где μ(α, β) (х) – функция принадлежности нечеткому интервалу (α, β);

μα(х) и μβ(х) – функции принадлежности нечетким множествам чисел, приближенно равных соответственно α и β.

При построении функции принадлежности чисел, приблизительно равных некоторому k, можно использовать функцию

 (3)

где α зависит от требуемой степени нечеткости μk(х), и определяется из выражения

 (4)

где b - расстояние между точками перехода для μk(х), т.е. точками, в которых функция вида принимает значение 0,5.

Таким образом, задача построения μk(х) для некоторого числа сводиться к отысканию параметров а и в, чтобы можно было определить β (х), с помощью β(х) – α θ, используя α, построить μk(х).

4. Параметрический подход к построению функций принадлежности

Описываемый метод построения функций принадлежности основан на предположении, что эксперт характеризуя лингвистическое значение какого-либо признака, с минимальным напряжением может указать три точки шкалы: А, В, С, из которых В и С – точки, по его мнению, еще (или уже) не принадлежащие описываемому лингвистическому значению, А – точка, определенно принадлежащая ему.

Пусть имеются параметрическое описание термов t и tI двух значений некоторой лингвистической переменной. Один из термов может представлять собой модификацию (ограничение) другого: tI = h (t), где h – ограничение на t типа ДОВОЛЬНО, БОЛЕЕ – МЕНЕЕ, НЕ ОЧЕНЬ и т.п. Задача состоит в том, чтобы используя параметры термов t: (z1, z2, z3) и tI: (ω1, ω2, ω3) описать переход от t к tI (параметры считаются упорядоченными отношением "меньше").

Очевидно, что S – образную функцию можно рассматривать, как вырожденный случай треугольной функции, в которой один из параметров z1 или z2 стремится к бесконечности. Таким образом, задача состоит в том, чтобы описать переход между любыми двумя формами

Для решения этой задачи используется аппарат автоморфных функций. Рассмотрим дробно-линейное отображение прямой на себя вида

 (5)

преобразование Т-1, обратное Т, получается, если уравнение

разрешить относительно ω:

 (6)

Таким образом, при параметрическом представлении функций принадлежности задача описания перехода от одного терма t: (z1, z2, z3) к другому tI: (ω1, ω2, ω3) решается непосредственным подсчетом четырех параметров – коэффициентов дробно-линейного преобразования по формулам:

 (7)

Эти же коэффициенты при подстановке в (6) определяют обратный переход от tI к t.

Рассмотрим теперь переход от терма t треугольной формы к терму tI с S – образной функцией принадлежности. Для дробно-линейных преобразований этому случаю соответствует переход от одной из крайних заданных точек в положение бесконечно-удаленной точки.

Если z1 = ∞, то параметры дробно-линейного преобразования

 (8)

Если z3 = ∞ , то

 (9)

Рассмотрим случай, когда функции принадлежности представляются S – образной или просто наклонной кривой. В этом случае имеет место линейное отображение прямой

 (10)

Параметры преобразования (10)

 (11)

Обратный переход (у → х) осуществляется по формуле

 (12)

5. Построение функции принадлежности на основе ранговых оценок

Данный метод разработан А.П. Ротштейном и базируется на идее распределения степени принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами.

Будем понимать под рангом элемента хіÎ Х число rs(xi), которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, которое описывается нечетким термом . Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности.

Введем также обозначения:

Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде соотношения:

 (13)

к которому добавляется условие нормирования

 (14)

Используя соотношение (13) легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степени принадлежности опорного элемента.

Если опорным элементом является элемент х1 Î Х с принадлежностью m 1, то

 (15)

Для опорного элемента х2 Î Х с принадлежностью m 2, получаем

 (16)

Для опорного элемента хn Î Х с принадлежностью m n, имеем

 (17)

Учитывая условие нормировки (14) из соотношений (15) – (17) находим:

 (18)

Полученные формулы (18) дают возможность вычислять степени принадлежности m S(xi) двумя независимыми путями:

 - по абсолютным оценкам уровней ri , , которые определяются по 9-ти бальной шкале (1 – наименьший ранг, 9 – наибольший ранг).

 - по относительным оценкам рангов

которые образуют матрицу:

 (19)

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е. аiі=1 ;

б) элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью: аij=1/аji;

в) она транзитивна, т.е. аiк× акi, поскольку

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы А легко определить элементы всех других строк. Если известна r-я строка, т.е. элементы акj, k , , то произвольный элемент аij находиться так

Поскольку матрица (19) может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 – ти бальную шкалу Саати: . Эта шкала приведена ранее, в табл. 1.

Таким образом, с помощью полученных формул (6.5.18), экспертные значения о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.

Алгоритм построения функции принадлежности включает в себя следующие операции:

1. Задать лингвистическую переменную;

2. Определить универсальное множество, на котором задается лингвистическая переменная;

3. Задать совокупность нечетких термов {S1, S2, ... , Sm}, которые используются для оценки переменной;

4. Для каждого терма Sj , сформировать матрицу (19);

5. Используя формулы (18) вычислить элементы функций принадлежности для каждого терма.

Нормирование найденных функций осуществляется путем деления на наибольшие степени принадлежности.

Главным преимуществом метода является то, что в отличие от метода парных сравнений, он не требует решения характеристического уравнения. Полученные соотношения дают возможность вычислять функции принадлежности с использованием ранговых оценок, которые достаточно легко получить при экспертном опросе.

Кроме описанных методов построения функций принадлежности, нашедших наиболее широкое практическое применение, имеется еще значительное число методов, описанных в литературе (метод интервальных оценок, метод семантического дифференциала и т.д.).

При выборе метода необходимо учитывать, как правило, сложность получения экспертной информации, особенно организации и проведения экспертизы, достоверность экспертной информации, трудоемкость алгоритма обработки информации при построении функции принадлежности.

В нашем случае функция принадлежности m (xi,j), входящая в формулу (4) для оценки качества системы защиты информации, характеризует лингвистическую переменную "степень выполнения j-го требования при защите от i-ой угрозы". В заключение рассмотрим пример построения функции принадлежности m (хij)=m (xi) методом Ротштейна.

Рассмотрим лингвистическую переменную "качество", характеризуемое степенью выполнения некоторого требования. Эта лингвистическая переменная определена на универсальном множестве вариантов: хі, . Уровень качества будем оценивать такими нечеткими термами: Н – низкий; С – средний; В – высокий.

Пусть в результате экспертного опроса сформированы матрицы (19) для каждого терма. При сравнении вариантов используется табл. 1.

матрица статистический ранговый лингвистическая переменная

После обработки этих матриц по формулам (18) получим функции принадлежности.