Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги

Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги

 

1. Системи масового обслуговування з очікуванням

Багатоканальні СМО з обмеженою чергою. Нехай є система СМО, що має  каналів. Кожна заявка надходить до СМО, починає обслуговуватись, коли хоча б один із каналів вільний. Якщо усі канали зайняті, тоді заявка потрапляє у накопичувач, де чекає звільнення хоча б одного із каналів. Нехай черга у накопичувачі обмежена числом . Якщо, один із каналів звільняється, заявка надходить на обслуговування до звільненого каналу по черзі, з якою заявка надійшла у СМО. Якщо заявка застане усі канали і усі місця у накопичувачі зайнятими, то вона втрачається. Потім припускатимемо, що вхідний потік заявок також пуассонівського з параметром , а потік обслугованих заявок також пуассонівський с параметром . Тоді система може знаходитись у станах  Причому  – це стани, коли немає черги, тобто відповідно  – всі канали вільні,  – один зайнятий, … ,  – усі  каналів зайняті,  - усі канали зайняті і одна заявка в черзі, … ,  – стан, коли всі  каналів і всі  місць у накопичувачі зайняті, тобто заявка, що надходить в такий момент втрачається. Можна графічно на рис. (1) стрілками вказати усі переходи від стану до стану, а над стрілками ймовірності переходів за час , якщо  малий.

Рисунок 1

Якщо порівняти СМО з відмовами і СМО з обмеженою чергою, то зрозуміло, що для ймовірностей переходу , коли , ми одержуємо такі ж диференціальні рівняння як і рівняння системи без черги.

Отже потрібно скласти рівняння для перехідних ймовірностей, коли .

Нехай . Враховуючи властивості простіших потоків і формулу Смолуховського-Чепмена

,(1)

де  – функція що задовольняє умові .

, (2)

, (3)

де як і раніше  число заявок, що надходять до СМО за час ,
а  – число заявок, що обслуговані за час .

 (4)

Тепер врахуємо (2), (3 і (4) до (1)

Віднімемо від обох частин останньої рівності  та розділимо на

Перейдемо до границі в обох частинах, коли

(5)

Тепер, продовжуючи аналогічні міркування, можна одержати рівняння для обчислення перехідних ймовірностей із стану до стану, коли , де

Враховуючи формулу Смолуховського-Чепмена, а також властивості простішого (пуассонівського) потоку можна записати:

 (6)

Далі за властивістю стаціонарності і ординарності, маємо:

, (7)

, (8)

. (9)

Врахуємо (7), (8) і (9) до (6).

В останній рівності віднімемо від обох частин  і розділимо на .

 

 

А тепер перейдемо до границі в обох частинах, коли , тоді

(10)

де .

Останнє рівняння системи, для визначення перехідних ймовірностей , містить :

Враховуючи ті ж самі властивості стаціонарності і ординарності простіших (пуассонівських) потоків, одержимо:

, (11)

. (12)

Якщо підставити (11) і (12) у рівність (10), тоді матимемо:

.

Якщо відняти від обох частин останньої рівності , а далі розділити на , тоді запишемо

Тепер обчислимо границі від обох частин, якщо :

(13)

Таким чином отримуємо систему диференціальних рівнянь для обчислення  – ймовірностей переходу від стану  до стану  СМО з чергою, що має скінченне число місць в накопичувачі:

(14)

Якщо спостерігати СМО достатньо довгий час , тоді розв’язок системи (14) можна знайти, якщо позначити  (фінальні ймовірності) у вигляді:

 (15)

Система (15) є лінійною, однорідною, алгебраїчною системою з невідомими . Для того, щоб знайти єдиний розв’язок системи (15) необхідно додати умову

.(16)

Раніше було доведено, що для усіх  діє формула:

, де  

Тепер розглянемо -е рівняння системи (15) і обчислимо ,

.

Отже, одержали зв’язок  і

 де (17)

Нехай формула (17) є правильною для . Необхідно довести, що вона правильна і для . Для цього із системи (15) візьмемо рівняння з номером , отже

,

тобто

.(18)

Тепер потрібно перевірити, що (18) правильна і для . Для цього необхідно взяти останнє рівняння системи (15), з нього маємо

.(19)

Таким чином, якщо порівняти (18) і (19), можна записати:

 .(20)

Отже, , звідки можна знайти , тобто, якщо врахувати формулу суми геометричної прогресії ,

(21)