Частотные и переходные характеристики систем авторегулирования

Введение

 

Радиопередающие устройства (РПдУ) применяются в сферах телекоммуникации, телевизионного и радиовещания, радиолокации, радионавигации. Стремительное развитие микроэлектроники, аналоговой и цифровой микросхемотехники, микропроцессорной и компьютерной техники оказывает существенное влияние на развитие радиопередающей техники как с точки зрения резкого увеличения функциональных возможностей, так и с точки зрения улучшения ее эксплуатационных показателей. Это достигается за счет использования новых принципов построения структурных схем передатчиков и схемотехнической реализации отдельных их узлов, реализующих цифровые способы формирования, обработки и преобразования колебаний и сигналов, имеющих различные частоты и уровни мощности.

 

1. Частотные и переходные характеристики систем авторегулирования

 

Частотная и переходная характеристики замкнутой системы являются показателями качества при гармоническом и скачкообразном воздействиях. Если задающее воздействие гармоническое:

x_з(t) = Acoswt,

то выходной процесс линейной системы тоже гармонический:

y(t) = AK_з(w)cos(wt + j_з(w)),

где К_з(w) и j_з(w), соответственно, - АЧХ и ФЧХ замкнутой системы.

d(t) = x_з(t) – y(t) = Acoswt – AK_з(w)cos(wt + j_з(w))

будет равна нулю только при К_з(w) = 1 и j_з(w) = 0. Это требование к идеальной частотной характеристике замкнутой системы. Если все составляющие спектра задающего воздействия попадают в область частот, где частотная характеристика идеальна, то воздействие отрабатывается без ошибки. В противном случае возникает динамическая ошибка.Для оценки качества регулирования по АЧХ замкнутой системы используется показатель колебательности М = К_макс/К_з(0) (см. рис. 1). Обычно величина показателя колебательности меньше 2.

Рис.1

Так как АЧХ будет близка к 1, если К_р(w)>>1, независимо от вида частотной характеристики разомкнутой системы в этой области частот.

Для примера рассмотрим системы авторегулирования разного типа: статическую и астатические первого и второго порядка, передаточные функции которых описываются выражениями:

,

, .(1)

Рис.

Их логарифмические амплитудные характеристики, как видно из рис. 2, значительно отличаются в области нижних и верхних частот. Однако если запасы устойчивости в этих системах одинаковы, то различие в амплитудно-частотных характеристиках замкнутых систем невелико (см. рис. 3). Запас устойчивости по фазе для каждой из этих систем определяется выражениями:

Δφ₁ = 180 – arctg10ω_срT₁ – arctgω_срТ₁,

Δφ₂ = 90 – arctgω_срT₂, (2)

Δφ₃ = arctgω_срТ₃.

По форме АЧХ можно судить о переходной характеристике системы. Так, если АЧХ будет монотонной, то и переходная характеристика монотонна, если в АЧХ будет подъем в области верхних частот, то переходная характеристика будет колебательной.

Переходная характеристика является показателем качества при быстро изменяющемся воздействии. Для систем авторегулирования лучшей считается колебательная переходная характеристика с быстрым затуханием колебаний на вершине (рис. 4).

Рис.

Обычно используются следующие числовые параметры переходной характеристики:

время достижения первого максимума t_m,

время регулирования t_рег,

период колебаний на вершине Т_в,

перерегулирование Δh_m/h_уст.

Рис.

Так как частотная характеристика замкнутой системы однозначно связана с ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы, то можно установить связь, по крайней мере, качественную, между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и параметрами переходной характеристики замкнутой системы. Так, чем меньше запас устойчивости по фазе, тем больше перерегулирование и медленнее затухание колебаний на вершине. Существует следующая приближенная связь между запасом устойчивости по фазе и перерегулированием:

Δh_m(в %) = 70 – Δφ(в град)

при условии, что запас устойчивости по фазе 30⁰ < Dj < 70⁰.

Временные параметры переходной характеристики связаны с частотой среза w_ср.. Чем больше частота среза, тем шире полоса пропускания замкнутой системы и меньше все временные параметры.

Как правило, системы, обладающие удовлетворительным качеством регулирования, имеют запас устойчивости по фазе от 30 до 70⁰. Как можно обеспечить такой запас устойчивости по фазе? Если ЛАХ пересекает ось частот под наклоном -20 дБ/дек. и длина участка с таким наклоном достаточно велика, то запас устойчивости по фазе близок к 90⁰. Такую связь можно установить, например, по логарифмическим частотным характеристикам интегрирующего звена. Во всем диапазоне частот его ЛАХ идет под наклоном –20 дБ/дек., а фазовый сдвиг равен –90⁰. Если же ЛАХ пересекает ось частот под наклоном –40 дБ/дек. и длина участка с таким наклоном достаточно велика, то запас устойчивости по фазе близок к нулю. Поэтому такой наклон ЛАХ при пересечении оси частот нежелателен.

Наиболее легко обеспечиваются приемлемые запасы устойчивости по фазе, если ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось частот под наклоном –20 дБ/дек. и длина участка с таким наклоном составляет около 1,5 декады. С этим участком сопрягаются участки ЛАХ с наклонами –40 или –60 дБ/дек. Можно выделить 4 типа ЛАХ в окрестности частоты среза, отличающиеся наклонами: 1) -40, -20, -40; 2) -40, -20, -60; 3) -60, -20, -40; 4) -60, -20, -60. Если ЛАХ продлить в области нижних и верхних частот без изменения наклона, то передаточная функция разомкнутой системы для каждого из этих типов ЛАХ запишется, соответственно:

,	,
		(3)
,	,

где Т₁ = 1/ω₁, Т₂ = 1/ω₂, К = 10^L/20, L – значение ЛАХ на частоте ω₁.

Запас устойчивости по фазе зависит как от длины участка с наклоном –20 дБ/дек., так и от соотношения сопрягающих частот ω₁ и ω₂ и частоты среза ω_ср, а также от типа ЛАХ. Для соответствующего типа ЛАХ он определяется выражениями:

Δφ₁ = arctgω_срT₁ – arctgω_срТ₂,

Δφ₂ = arctgω_срТ₁ – 2arctgω_срТ₂, (4)

Δφ₃ = -90⁰ + 2arctgω_срТ₁ – arctgω_срТ₂,

Δφ₄ = -90⁰ + 2arctgω_срТ₁ – 2arctgω_срТ₂.

Сравним запасы устойчивости по фазе для первого и четвертого типов ЛАХ при одинаковой длительности участка с наклоном –20 дБ/дек., равном 1,5 декады (см. рис. 5). ЛФХ, соответствующая ЛАХ первого типа, получается сложением ЛФХ двух интегрирующих звеньев, форсирующего звена с постоянной времени Т₁ и инерционного звена с постоянной времени Т₂. ЛФХ, соответствующая ЛАХ четвертого типа, получается сложением ЛФХ трех интегрирующих звеньев, двух форсирующих и двух инерционных звеньев.

Рис.

Видим, что с увеличением наклонов участков ЛАХ, сопрягаемых с участком с наклоном –20 дБ/дек., запас устойчивости по фазе становится меньше. Заметим также, что запас устойчивости по фазе уменьшается с приближением w_ср к w₁ или w₂. Для удобства сравнения процессов в системах, отличающихся друг от друга или передаточными функциями, или параметрами исследование проводится одновременно на трех моделях. Эти модели в изображении VisSim приведены на рис. 6.

Рис.

Каждая содержит три линейных звена, задаваемых передаточными функциями. При моделировании статической и астатических систем первого и второго порядка используются только два звена. При этом передаточные функции (6) целесообразно представить в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев: