Практическая обработка результатов измерений с многократными наблюдениями

Содержание:

1. Содержание – 1стр.

2. Введение -2стр.

3. Вариационный ряд – 3стр.

4. Статический ряд – 4стр.

5. Гистограмма. Полигон. – 6стр.

6. Критерий согласия x-квадрата - 7стр.

7. Вычисление дисперсии и СКО – 8стр.

8. Интервальная оценка – 9стр.

9. Вывод – 10стр.

10. Список используемой литературы – 11стр

1

Введение

Метод Пирсона.
При измерениях с многократными наблюдениями обработка результата проводится по-разному в зависимости от числа серий наблюдений, условий и числа измерений в каждой серии, значимости систематических погрешностей и ряда других факторов. В простейшем случае, когда выполнена одна серия наблюдений с числом измерений n<12, ограничиваются вычислением среднего арифметического результата наблюдений (математического ожидания) и оценки его среднеквадратического отклонения (СКО).

В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями регламентирует ГОСТ 8.207-76. При этом необходимо выполнить следующие операции:

1. Исключить систематические погрешности.

2. Исключить грубые погрешности (промахи) из результатов наблюдений.

3. вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, которое принимается за результат измерений.

4. Вычислить оценку СКО результата наблюдения.

5. Вычислить оценку СКО результата измерения.

6. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения.

7. Вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения.

8. Вычислить границу неисключенной систематической погрешности (не исключенных остатков систематической погрешности) результата измерения

9. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения. На практике наиболее важным и распространенным является случай, когда нет необходимости оценки неисключенных остатков систематических погрешностей.

Рассмотрим для данного случая порядок обработки результатов измере­ний на конкретном примере (например, на измерении напряжения на выходе электронного узла).

Покажем пример обработки результатов прямых измерений с многократ­ными наблюдениями. Для простоты, наглядности и обозримости вычисле­ний возьмем ограниченное количество величин n = 20, хотя для применения метода Пирсона необходимо, чтобы количество наблюдений было значитель­но больше (50 и более).

2

Таб.1

Вариационный ряд

Таб.2

3

2. Вычислим статистические оценки распределения случайной величи­ны: математическое ожидание m_y, дисперсию D_x, СКО 5_x величины X:

;

=98+98+100+100+100+100+102+102+102+102+102+102+102+102+104+104+104+104+106+106= = 102

= (16+16+4+4+4+4+4+4+4+4+16+16)=5,0326

Произведем проверку критерия согласия с (нормальным) законом распределения по методу Пирсона.

3. Построим статистический ряд, т.е. таблицу, в которой приведены длины разрядов J_iв порядке их соответствия оси абсцисс измеряемой величины X, количество n_iзначений величины x_iоказавшихся в том или ином разряде, а также статистические частоты Р*_iи вероятности Р_iпопадания измеряемой величиныХ интервал (x_i: x_i+1):

=

Вычисляем число разрядов kпо формуле Стерджесса:

k=3,322 lgn + 1 = 3,322 lg20 +1 = 3,322 x 1,3010 + 1 ≈ 5 = 5

Находим, что число разрядов k= 5.

Разделение интервалов (x_i: x_i+1) производится по желанию оператора, но рекомендуется выбирать равномерно для облегчения вычислений.

4

Статистический ряд

Обозначение	Разряды
	97-99	99-101	101-103	103-105	105-107
	2	4	8	4	2
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
	0,0779	0,2372	0,3436	0,2372	0,0779

Таб.3

= = = 0,1

= = = 0,2

= = = 0,4

= = = 0,2

= = = 0,1

4. Построим гистограмму (рис.1) и полигон (рис.2) как графическое представление статистической плотности распределения.

Вид гистограммы и полигона позволяет выбрать в качестве теоретичес­кой модели нормальный закон распределения, который принимаем за рабо­чую гипотезу для идентификации.

5

Рис.1Гистограмма

Рис.2Полигон

5. Определяем значение границ интегрирования и вычисляем значения функции Лапласа Ф для этих значений по сути существующим таблицам .

Вычисления теоретических вероятностей производим по формуле:

= -;

6

= =

= 0,0910 0,0131 = 0,0779

= =

= 0,3282 0,0910 = 0,2372

= =

= 0,6718 0,3282 = 0,3436

= =

= 0,9090 0,6718 = 0,2372

= =

= 0,9869 0,9090 = 0,0779

Результаты заносим в таб.3 (четвертая строка).

6. Вычисляем критерий согласия x-квадрат (Пирсона):

7

7. Находим число степеней свободы распределения x-квадрат с учетом того, что достаточное число независимых условий sдля нормального закона равно трем:

r=ks=53= 2.

8. Из таблицы распределения x-квадрата (для значения 0,6699 и r=2)

Находим вероятность согласия эмпирического и теоретического законов распределения P= 0,65, интерполируя между соседними величинами.

На основании полученной вероятности P= 0,65 можно сделать вывод , что гипотеза о соответствии эмпирического закона нормальному не противоречит экспериментальным данным.

9. Вычислим дисперсию и СКО результата измерений

8

10. Определим значения квантилей закона распределения при доверительной вероятности 0,95. Для нашего случая n1=201=19.

2,09

11. Произведем интервальную оценку результата наблюдения .

Вычислим доверительные границы и запишем результат в виде:

Это означает, что 95% всех наблюдаемых значений распределяются в пределах от 95,3 до 104,7.

12. Произведем интервальную оценку результата измерений , предварительно вычислив доверительные границы. Результат измерения представим в виде

, т.е.

9

Вывод

С достоверностью 95% можно утверждать, что математическое ожидание среднего арифметического результата наблюдений находится в пределах от 101 до 103 В.

10

Список используемой литературы:

1. «Метрология» Каратаев Р.Н., Гогин В.А. 2007г.

2. «Краткий справочник метролога» Брянский Л.Н., ДойниковА.С. 1991г.

3. Информационные материалы с сайта tso.ru, sonel.ru, metrologu.ru/info

11