Уравнения движения сплошной среды

2.2. Уравнения движения сплошной среды

В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной точки:

,

где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее сил. Обобщим это уравнение на конечный объем сплошной среды, состоящей из частиц, как системы материальных точек, подверженных действию рассмотренных в разделе 2.1 объемных и поверхностных сил:

. (2.3)

Уравнение количества движения конечного объема сплошной среды (2.3), являющееся аналогом второго закона Ньютона, имеет такое же фундаментальное значение для описания любых движений сплошной среды. Оно справедливо и для разрывных движений, и для ударных процессов, характеризующихся разрывными функциями координат и времени (но не нарушениями гипотезы сплошности – см. раздел 1.1).

Заменив последнее слагаемое в (2.3) с помощью (2.2), получим:

,

левую часть которого преобразуем с помощью (1.12):

.

Это позволит записать равенство подынтегральных выражений для элементарного объема:

.

Левую часть этого уравнения в свою очередь можно преобразовать с помощью уравнения неразрывности (1.16):

Таким образом, получено основное дифференциальное уравнение движения сплошной среды:

, (2.4)

или в проекциях на оси декартовой системы координат:

(2.5)

где  – компоненты массовой силы .

Отметим, что уравнения (2.4) и (2.5) получены при следующих предположениях:

– непрерывность и дифференцируемость векторов напряжений ₁, ₂, ₃,

– неразрывность среды,

– непрерывность характеристик движения.

Итак, для описания движения сплошной среды имеются: скалярное уравнение неразрывности (1.16) и одно векторное (2.4) или три скалярных (2.5) уравнения движения. В этой системе уравнений при заданных внешних массовых силах (F_x,F_y,F_z) неизвестными функциями пространственных координат и времени являются: плотность r, скорость (V_x,V_y,V_z) и три вектора напряжений ₁(p₁₁,p₂₁,p₃₁), ₂(p₁₂,p₂₂,p₃₂), ₃(p₁₃,p₂₃,p₃₃) со своими девятью координатами. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то система незамкнута. Для ее замыкания необходимо использовать дополнительные соотношения между неизвестными. Такие соотношения может дать модель конкретной среды.

2.3. Виды сплошной среды

Экспериментальные данные показывают, что большинство сред обладает специфическим свойством: отсутствием или малостью касательных напряжений p_St, т.е. вектор _S можно считать перпендикулярным любой площадке взаимодействия dS и равным нормальному напряжению p_Sn. Среду, обладающую таким свойством называют идеальной жидкостью или идеальным газом. Близки к таковым обычные воздух и вода при малых скоростях.

Указанное свойство для любой площадки с нормалью можно выразить соотношением, вытекающим из (2.1):

,

где –p – общее значение скалярных произведений. Величину p называют давлением. Его особенность заключается в независимости от направления рассматриваемого взаимодействия частиц. При p > 0 среда, как показывает опыт, находится в сжатом состоянии, поэтому и использован знак минус. Таким образом, матрица компонент тензора внутренних напряжений в идеальной жидкости (газе) имеет вид:

, (2.6)

и тензор P целиком определяется скаляром p.

Понятно, что идеальная жидкость не единственно возможная модель сплошной среды, позволяющая определить компоненты тензора внутренних напряжений. Можно, например, рассматривать его компоненты как функции от деформации частицы: в этом случае среда называется упругой. В частном случае линейности это соотношение приобретает вид закона Гука. Изучением таких сред занимается теория упругости.

Особое место в механике сплошной среды занимает модель вязкой жидкости, предполагающая связь тензора внутренних напряжений с частными производными скорости по координатам. Имеется в виду эффект "трения" слоев вязкой жидкости между собой при наличии разности их поступательных скоростей. В частном случае линейности связь представляется в виде закона Навье-Стокса (или обобщенного закона вязкости Ньютона):

, (2.7)

где – элементы единичной матрицы (с единицами на главной диагонали и нулями на всех остальных местах), матрица размерности 3ґ3, обозначенная e_mn, называется тензором скоростей деформации, а тензорный коэффициент линейности B_ijmn описывает свойства вязкой жидкости.

Если свойства среды в разных направлениях одинаковы, то она называется изотропной, в противном случае – анизотропной. В изотропной среде B_ijmnпредставляется симметричной матрицей размерности 3ґ3ґ3ґ3, одинаковой в любой системе координат. Можно показать [1], что в этом случае все компоненты тензора B_ijmn выражаются всего лишь через два независимых параметра l и m, называемых коэффициентами Ламе, поэтому закон Навье-Стокса для вязкой изотропной жидкости имеет вид:

. (2.8)

В теории вязкой жидкости m называется коэффициентом внутреннего трения или динамическим коэффициентом вязкости, – кинематическим коэффициентом вязкости (коэффициен­том линейной вязкости), – вторым коэффициентом вязкости (коэффициентом объемной вязкости). Размерность m, l и z в СИ: .

Нетрудно видеть, что упомянутые модели для идеальной и вязкой жидкости вводят еще одну неизвестную – давление p. Т.е. для замыкания системы уравнений движения сплошной среды оказывается необходимым еще одно скалярное соотношение. В этом качестве чаще всего применяются уравнения, представляющие различные гипотезы связи плотности и давления:

.

Если такое соотношение можно ввести, то жидкость называется баротропной. Выделяются следующие частные случаи.

1. – случай несжимаемой жидкости, или .

2. , где C – постоянная, – случай изотермического процесса.

3. , где C и n – постоянные, – случай политропического процесса, n называется показателем политропы.

4. – уравнение Клапейрона-Менделеева для совершенного газа, где – универсальная газовая постоянная, – масса вещества в кг, численно равная молекулярному весу, T – абсолютная температура, которую необходимо задавать еще одним дополнительным соотношение

Похожие работы

Краткая история развития морской авиации

Скачать

26681

0

0

... на каждом флоте по две авиационные бригады и по несколько отдельных эскадрилий. Авиация Северного флота имела к началу войны 116самолетов, а Тихоокеанского флота –1183самолета. В общем морская авиация имела: 45%истребителей, 25%самолетов-разведчиков, 14%бомбардировщиков и 10%торпедоносцев. Надо признать, что значительная часть самолетов была устаревшей конструкции. Уже в ходе войны авиация ВМФ ...

Динамика твердого тела

Скачать

23459

55

11

... (3.2) Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки. К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии: 1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить ...

Физика и авиация

Скачать

138834

5

6

... аэродинамики, такие,как Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, Б. Н. Юрьев, В. В. Голубев, М. В. Келдыш, С. А. Христианович, Г. П. Свищев, В. В. Струминский и многие другие, находились во главе прогресса авиации. Трудность прикладного использования теоретических исследований состояла в том, что теоретические решения могли быть найдены только для отдельных форм профилей, крыльев, тел вращения. Это ...

Лекции по физике

Скачать

118786

4

0

праведливы соотношения ... Пусть высота тетраэдра равна ... . Тогда его объём равен ... . Воспользуемся вторым законом Ньютона и со- ставим уравнение движения тетраэдра: ... ... где ... - ускорение центра масс тетраэдра. Переходя к пределу (устремляя ... ), получим ... Получим формулу Коши, утверждающую, что напряжения на гранях образуют систему взаимно уравновешенных ...