Корневые критерии заключаются в вычислении корней

1.4.1 Корневые критерии заключаются в вычислении корней

характеристического полинома замкнутой системы.

1.4.2 Алгебраические критерии устойчивости не требуют выполнения вычислительной процедуры определения корней характеристического уравнения и при относительно невысоких порядках дифференциальных уравнений (до 15-го) позволяют находить условия устойчивости автономных замкнутых систем.

А(s)=a_nsⁿ + a_n-1s^n-1+ a_n-2s^n-2+…+a₀. (1.11)

Критерий Гурвица. Корни характеристического уравнения (1.11) n-го порядка будут иметь отрицательные действительные части, если составленный из его коэффициентов а_i> 0 определитель

(1.12)

и все его диагональные миноры

(1.13)

положительны.

Критерий Рауса. Зная коэффициенты характеристического уравнения, составляют таблицу Рауса(табл. 1.1). Для того чтобы замкнутая система была устойчива асимптотически, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты Рауса первого столбца таблицы при а_i>0 были положительны, т.е. с_i,1>0 (i=1,2,…). Для вычисления элементов табл. 1.1 можно использовать следующие рекуррентные формулы:

для первой строки таблицы

 

(1.14)

для второй строки таблицы

(1.15)

для остальных строк

(1.16)

Таблица 1.1

Номера строк	Номера столбцов
	1	2	3	…….	I
	Коэффициенты с четными индексами
	а0	а2	а4	…….
	Коэффициенты с нечетными индексами
	а1	а3	а5	……..
1	С11	С12	С13	……..	С1i
2	С21	С22	С23	……..	C2i
….	……	…..	…..	…….	……
к	Ск1	Ск2	Ск3	……..	Сiк

 

Критерий Шур-Кона. Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому полиному замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования. Для уравнения n-го порядка имеем

A(z)=a_nzⁿ+ a_n-1z^n-1+ a_n-2z^n-2+…+a₀. (1.17)

По уравнению запишем коэффициенты в виде определителя

(1.18)

где k=1,2,…,n; a^*- сопряженные значения тех же коэффициентов.

Корни характеристического уравнения (1.18) будут находиться внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения (1.17) удовлетворяют всем определителям Шур-Кона, имеющего D_k< 0 - для нечетных k и D_k > 0 для четных k. В этом случае система будет устойчива

Критерий Кларка. Представляет собой совокупность 3-х необходимых условий, и лишь выполнение всех этих условий является условием устойчивости системы:

1. А(1) > 0

2. (-1)А(-1) > 0

3. Необходимо вычислить определители матриц D⁺ и D^- , а также их внутренние матрицы. Внутренние матрицы получаются из исходных вычеркиванием окаймляющих строк и столбцов. Количество условий устойчивости зависит от порядка системы.

D⁺=C_n-1+B_n-1; D^-=C_n-1-B_n-1; (1.19)

(1.20)

Система устойчива, если определители матриц D⁺  и D^- , а также всех её внутренних матриц положительны. Система не устойчива, если не выполняется хотя бы одно из условий устойчивости Кларка.