Евклид и Лобачевский

(план урока по теме:”Евклидова и неевклидова геометрия”)

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики, получившим название „евклидова геометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду ..Начала". В школах всего мира, долгие столетия геометрия преподавалась по ..Началам" Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу самых популярных и распространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора ..Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам", деятельность Евклида проходила во время правления Птолемея Сотера 1 (305—282 гг до н.э.).

При этом царе, столица Египта Александрия стала центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила математики и среди них Евклид, который был одним из первых ее преподавателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свидетельствуют о том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математиков и философов, достиг высот тогдашних научных знаний. Действительно, произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка. Некоторый свет на Евклида как человека, математика и философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и правдивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.

Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей 1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил: В геометрии нет особых дорог даже для царей". В другом анекдоте говорится, чтр один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал невольника и распорядился. „Дай ему обола, ибо этот человек ожидает прибыли от науки". Математик Папп (320 г. н. э.) восторгается необыкновенной честностью, скромностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных трудов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории математики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедуктивный метод. ..Начала" носят характер учебника, в котором Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида трудно считать самостоятельным автором содержания „Начал", за небольшими исключениями, касающимися конусных сечений и сферической геометрии. Но в „Началах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. ..Начала" были написаны около 300 года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся рукописи на греческом языке восходят всего лишь к Х ве нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей эры хранилось только несколько отрывков папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие оригинг даря кропотливому труду ученых, сравнили внейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной достоверностью восстановить первоначальный текст замечательного труда Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на плоскости, в одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой приведены основы стереометрии, остальные книги ..Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных теорем — без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные — постулатами и ввел необходимое число определений. Опираясь на этой сиСтеме аксиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 теорем распределенных в цепочку, очередные звенья которой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая ,,Аксиома параллельности" на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приняли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.

Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..Площадь квадрата построенного на высоте прямоугольного треугольника опущенной из прямого угла на гипотенузу, равновелика площади прямоугольника со сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой" Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали свидетельствуют упоминания в трудах других математиков.

Историю древнегреческой математики можно подразделить на три периода: первый — необыкновенно буйное, почти стихийное развитие, второй — период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий — период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.

Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.

Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на протяжении свыше 2000 лет.

Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге “Начала” сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы геометрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых равноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиворечива.

Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым постулатом. Кто сформулирует эту аксиому?

Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.

Ведущий. У Евклида в “Началах” несколько иная формулировка, но суть та же. И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не опровергнешь, ведь на практике воспроизводимы лишь отрезки прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.

Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может быть, следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему, опираясь на остальные аксиомы?

Ведущий. Так оно и было. Веками длились попытки придумать доказательство — не удавалось никому. В тайну этих неудач именно и проник Н. И. Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недоказуем и от -господствовавшего бо лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная мыслимая система геометриче ского познания мира, необходимо от казаться.

1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида

И до этих вот снегов

Постулат, как черный идо

В жертву требует умов...

2-й ученик. “Постулат недоказуем!”

Даже страшно произнесть.

Ах, догматики! Грозу им

Принесет такая весть.

3-й ученик. На уроках геометрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал “неевклидову геометрию”, в которой через точку можно провести более одной линии, не пересекающей данную прямую.

Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой параллельности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ и -вне ее точку С. Пусть САВ прямой.

Построим луч СD, пересекающий прямую АВ в точке D, лежащей вправо от точки А, и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере вращения луча СD непосредственное наблюдение пересечения его с АВ становится неосуществимым. По этой причине будет логически правомерным изменить наше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч СD в какой-то момент своего вращения “отрывается” от прямой АВ, т. е. перестает иметь с ней общую точку.

Тогда “прямую” (аа'), содержащую луч, впервые “оторвавшийся” от АВ, назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.

Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть “прямая” (ЬЬ'), симметричная “прямой” {аа') и проходящая через точку С (рис. 39). Ясно, что и эту “прямую” (ЬЬ') следует считать параллельной АВ, но уже в направлении луча АВ'. Следовательно, через С проходят две “прямые”, параллельные прямой ВВ'.

С каждой из этих “прямых” луч СА, перпендикулярный прямой В'В, образует угол л(р), названный Лобачевским углом параллельности. Угол p (р) зависит от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и образующие с перпендикуляром СА угол, меньший л (р), пересекают В'В, все остальные “прямые”, проходящие через С , не пересекают В'В, их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В. Через С проходит бесконечное множество таких “прямых”.

В частном случае, когда p (р) ==90°, получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии, “употребительной”, как называл ее Н. И. Лобачевский.

Угол p (р) возрастает и приближается к прямому углу при приближении точки С к прямой В'В .

Из допущения, что p (р)<90° вытекают совершенно иные следствия, составляющие содержание но вой геометрии, так же непротиворечивой, как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем евклидова, отображающей пространственные геометрические и физические соотношения, например, за предела ми мировых областей “средней величины”.

Оказалось также, что взаимосвязь пространства и времени, от крытая X. Лоренцом, А. Пуанкаре, А. Эйнштейном и Г. Минковским и описываемая в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Такую геометрию Лобачевский сначала назвал “воображаемой”, а потом (в конце жизни)—“пангеометрией”, т. е. всеобщей геометрией. Теперь ее во всем мире называют “геометрией Лобачевского”.

Ученик.

Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

Ведущий. Из понимания параллельности “по Лобачевскому” вйтекает много диковинных на первый взгляд, но строго обоснованных следствий.

Ученик. Каких?

Ведущий. Например, в пространстве Лобачевского параллельные прямые неограниченно сближаются в направлении параллельности и потому существуют “бесконечные треугольники”, стороны которых попарно параллельны , но нет подобных многоугольников.

Ученик.

Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.

Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.

После встал, потянулся устало.

Вечность тайну тебе нашептала,

И душой изумленной увидел ты то,

Что доселе не знал и не ведал никто:

Параллели стрелою нацелены в высь,

Параллели пронзают межзвездные дали.

Параллели — ты, чуешь? — стремятся ойтись,

Только сразу такое постигнешь едва ли.

Ведущий. В геометрии Лобачевского интересна и важна такая теорема: “Сумма углов треугольника всегда меньше 180°”.

Ученик. Позвольте на минутку перебить Вас. У Данте есть такие строки:

Как для смертных истина ясна,

Что в треугольник двум тупым не влиться.

Теперь-то нам понятно, что не может быть двух тупых углов не только в нашем “земном” треугольнике, но и в “звездном” треугольнике геометрии Лобачевского...

Ведущий. Очень интересно, но задержимся еще немного на треугольнике в геометрии Лобачевского.

Пусть a ,b и g — углы треугольника, тогда число d = 180°— (a +b +g ) называют “дефектом треугольника” и справедлива поразительная формула выведенная Н. И. Лобачевским d = S/R2, где где S—площадь треугольника, а R— число, одинаковое для всех треугольников Величину К, имеющую размерность длины, называют радиусом кривизны, пространства Лобачевского, а отрицательную величину k = 1 / R2 кривизной этого пространства.

В евклидовом пространстве d =0 (так как a +b +g =180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.

Получается так, что наша “употребительная” геометрия является предельным (при d à 0) случаем геометрии Лобачевского.

1-й ученик.

В мире все криволинейно.

Прямота лишь сферы часть.

И Евклидово ученье

В космосе... теряет власть.

Ученик. Послушайте стихотворение поэта Александра Лихолета (Донецк), напечатанное в альманахе “Истоки” (М.: Молодая гвардия, 1983).

Лобачевский

“Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

О чем он думал во вчерашнем?

О звездном облаке, летящем

Из ниоткуда в никуда?

О том, что станет новым взглядом:

Две трассы, длящиеся рядом,

Не параллельны никогда?

Что постоянному движенью

Миров сопутствует сближенье,

И, значит, встретятся они:

Его земная с неземными

Непараллельными прямыми

Когда-нибудь, не в наши дни?..

Ведущий. Открытие Лобачевского настолько опередило развитие математической мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире почти никто из математиков—его современников — не был готов к восприятию идей “воображаемой геометрии”. Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое положение “непризнанного ученого”. Приведу один любопытный факт общественной жизни того времени.

Могучий “властитель дум” передовой интеллигенции — Н. Г. Чернышевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в утверждениях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания веками укоренившейся системы восприятия пространства. Увы, так не случилось. Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сыновьям: “Что такое “кривизна луча” или “кривое пространство”? Что такое геометрия без аксиомы параллельных?” Он сравнивает это с “возведением сапог в квадраты” и “извлечением корней из голенищ” и говорит, что это столь же нелепо, как “писать по-русски без глаголов”, (А ведь Фет писал без глаголов и получалось здорово: “Шелест, робкое дыханье, трели соловья”.)

1-й ученик.

Отшатнулись коллеги, отстали друзья…

Может, в партии жизни зевнул ты ферзя ?

2-й ученик

Чушь,— кричат,— Лобачевский,—нелепица, бред

Ничего смехотворней и в мире-то нет!

Параллели не встретятся — это же просто,

Как дорога от города и до погоста!

Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,

Хоть сто лет рассекая раздольное поле?

3-й ученик.

Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,

Окунутся с разбега в иные законы.

Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,

Мировые законы пока потаенны.

4-й ученик.

Проплывают в ухмылке ученые лица,

И насмешек у сердца стоит ледостав.

Так неужто же он, Лобачевский, смирится?

Нет, он целому миру докажет, что прав!

Ведущий. Потребовалось полвека для того, чтобы идеи Лобачевского сделались неотъемлемой частью математических наук, проникли в механику, физику, космологию, стали общекультурным достоянием. Так, в “Братьях Карамазовых” Иван, обладающий, по словам автора романа, “евклидовским” характером ума, .говорит: “Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму...” Это значит, что Достоевский имел отчетливое представление о новой геометрии.