Критерій жалю

5.    Критерій жалю.

Розрахуємо матрицю втрат за формулою:

Bij=Rij - min Rij

I

 

	S1	S2	S3
A1	23-15=8	35-20=15	12-10=2
A2	15-15=0	30-20=10	25-10=15
A3	40-15=25	20-20=0	10-10=0

Нова матриця втрат має вигляд:

	S1	S2	S3	maxBij
B1	8	15	2	15
B2	0	10	15	15
B3	25	0	0	20

Найкращою є та стратегія, яка забезпечує мінімальні втрати, тобто відповідає формулі:

min ( max Bij )

 j i

У нашій задачі це культура А1 або А2.

Методи теорії ігр призначені для вирішення проблем, пов'язаних з обранням оптимальної стратегії беручи в розрахунок як свої особисті дії, так і дії свідомого супротивника.

Теорія ігр - розділ прикладної математики, де вивчаються моделі і методи прийняття оптимальних рішень в умоах конфлікту.

Під конфліктом розуміється така ситуація, в якій стикаються інтереси двох чи більше сторон, що наслідують різні ( часто суперечні ) цілі. При цьому кожне рішення повинно прийматися в розрахунку на свідомого супротивника, який заважає другому учаснику досягти успіху.

Для дослідження конфліктної ситуації будують її формалізовану модель, яку називають грою.

Гра - це конфлік з чітко сформульованими умовами, серед яких необхідно:

1) уточнити кількість учасників ( гроків );

2) вказати усі можливі способи дій для гроків, які називаються стратегіями гроків;

3) уточнити до якого результату призведе гра, якщо кожний з граків обере стратегію ( виграш або програми ).

Завдання теорії ігор визначити, яку стратегію повинен застосувати розумний гравець у конфлікті з розумним супротивником, щобгарантувати кожному з них виграш. При цьому, відступ любого з гравців від оптимальної стратегії може тільки зменшити його виграш .

Парні ігри з нулевою сумою займають центральне місце в теорії ігор. Це ігри, в яких:

n приймає участь тільки дві сторони;

n одна сторона виграє стільки, скільки програє друга сторона.

Цей рівноважний виграш, на який може розрахувати кожна з сторон, якщо вони будуть додержуватися своїх оптимальних стратегій, називається ціною гри.

Вирішити парну гру з нулевою сумою - значить знайти пару оптимальних стратегій і ціну гри.

Дві компаніїY і Z з метою зростання обсягів продаж розробили наступні альтернативні стратегії:

Компанія Y: - Y1 ( зменшення ціни продукції );

n Y2 (підвищення якості продукції );

n Y3 (пропонування покупцям більш вигідних умов продажу ).

Компанія Z : -Z1 (підвищення витрат на рекламу );

n Z2 ( відкриття нових дистрибюторських центрів );

n Z3 ( працевлаштування більшого числа торгових агентів).

Вибір пари стратегій Yi i Zj визначає результат гри, який позначимо як Aij і назвемо його умовно виграшом компанії Y. Тепер результати гри для кожної пари стратегій Yi Z можливо записати у вигляді матриці, у якій m рядків і n стовпців. Рядки відповідаять стратегіям компанії Y, а стовпці - компанії Z.

Стратегії Y	Стратегії Z
	Z1	Z2	Z3
Y1	А11	А12	А13
Y2	А21	А22	А23
Y3	А31	А32	А33

Така таблиця називається платіжною матрицею.

Якщо гра записана у такому вигляді, значить воно призведена до нормальної форми.

Для вирішення гри необхідно знайти верхню і нижню ціну гри та сідловуточку.

Нижня ціна гри визначається шляхом відбору мінімальних значеньь по кожному рядку, а потім вибору серед них максимального значення a = max ( min Aij )

m n

Верхня ціна гри визначається шляхом відбору в кожному стовпці максимального числа, а потім вибору з цих значень мінімального b= min (max Aij )

n m

Вибір стратегій таким способом називається принципом міні - макса, який є в теорії ігор основним.

Якщо a=b, то такий елемент називається сідловою точкою, яка дає ціну гри.

Якщо матриця має сідлову точку, то гра має рішення в чистих стратегіях.

Чисті стратегії - це пара стратегій Yi і Zj , які перехрещуються у сідловій точці.

Ігри, які не мають сідлової точки (a # b ), зустрічаються частіше. Рішеня у цьому випадку теж є, але воно знаходиться в області змішаних стратегій. Це положення називається основною теоремою теорії ігор.

Вирішити задачу без сідлової точки - значить знайти таку стратегію, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечить гроку максимально можливий середній виграш.

Відхиляючись від своєї мінімаксної стратегії в грі з сідловою точкою, гравець зменшує свій виграш або залишає його незмінним. В грі , де сідлової точки немає, гравець може виграти більше ніж нижча ціна гри, при відхиленні від мінімальної стратегії, але ця спроба пов‘язана з ризиком. Якщо другий гравець вгадає, яку стратегію застосував перший, він відступить від раніше прийнятої стратегії. В результаті виграш першого гравця стане менше нижньої ціни гри. Отже необхідно використати декілька чистих стратегії, щоб вгадати яку стратегію застосував противник. Звідси складається поняття змішаної стратегії.

 

Експертні методи прийняття рішень.

 

Експертні методи застосовуваються в умовах, коли не можливо скористатися кількісними методами, тобто при недостатньому обсязі інформації або її відсутності. На практиці користуються такими методами:

1)  метод простого ранжування;

2)  метод завдання вагових коефіцієнтів.

Метод простого ранжування складається з того, що кожний експерт розміщує ознаки у порядку віддання переваги. Цифрою 1 відмічається найменш важлива ознака, далі цифрою 2 - слідуюча за нею по важливості і т.д.

Здобуті дані зводяться в таблицю наступного вигляду.

 

Ознаки	Експерти
	1	2	...	m
x1	a11	a12	...	a1m
x2	a21	a22	...	a2m
...	...	...	...	...
xn	an1	an2	...	anm

 

В даному випадку значення a_ij показує порядок віддання переваги і-тої ознаки j-м експертом перед другими ознаками.

Далі визначається середній ранг, тобто середнє статистичне значення S_i і-тої ознаки за формулою:

m

Si = (Saij)/m

j=1

 

де j - номер експерта;

 і - номер ознаки;

 m - кількість експертів.

В результаті, найменше значення S_i вказує на саму важливу ознаку і т.д.

Метод завдання вагових коефіцієнтів скаладається з того, що усім ознакам надаються вагомі коефіцієнти наступними способами:

1)  усім ознакам надають вагові коефіцієнти так, щоб їх сума дорівнювала 1, 10 або100;

2)  найбільш важливій ознаці надають ваговий коефіцієнт, який дорівнює фіксованому числу, а останнім - коефіцієнти, що дорівнюють часткам цього числа.

Загальну думку експертів S_i по і-й ознаці розраховують за формулою:

m

Si=Saij/m

j=1

 

де a_ij - ваговий коефіцієнт, який надав j-й експерт і-й ознаці;

j- номер експерта;

і- номер ознаки;

m-кількість експертів, що оцінюють і-ту ознаку.

Чим більша величина S_i, тим більша важливість цієї ознаки.

 

IV. Задача.

Постійні витрати, пов’язані з виробництвом книг складають $200000

(витрати на редагування, набір, оформлення, утримання управлінського персоналу; частка орендної плати та амортизаційних відрахувань). Змінні витрати на одиницю продукції дорівнюють $6 (папір, обкладинка, збут, авторське винагородження іт.д.). Ціна реалізації одиниці продукції передбачається в розмірі $10.

Визначити обсяг тиражу, який необхідно виробити і реалізувати, щоб забезпечити беззбитковість функціонування видавництва. Побудуйте графік беззбитковості та розрахуйте розмір прибутку від реалізації тиражу у 100 000 примірників.

IV. Задача.

Керівництво супермаркету електроніки визначило, який може бути обсяг реалізації залежно від застосування трьох стратегій: введення більш гнучких знижок; збільшення реклами; розширення сфери післяпродажного обслуговування покупців при умові середніх і низьких темпів інфляції. Результатів розрахунків наведено у таблиці:

Стратегія	Темпи інфляції
	середні	низькі
Гнучкі знижки	1 500	1 700
Збільшення реклами	1 200	1 450
Післяпродажне обслуговування	1 400	1 800

Оберіть найкращу стратегію, якщо ймовірність середніх темпів інфляції - 0,7; а низьких - 0,3?

IV. Задача.

Відомо, що урожайність трьох різних сільськогосподарських культур в різних погодних умовах складає:

1) в умовах посушливого літа:

n пшениці - 20ц/га;

n жита - 15 ц/га;

n ячменю - 40 ц/га;

2) в умовах нормального літа:

n пшениці - 35ц/га;

n жита - 30ц/га;

n ячменю - 20ц/га;

3) в умовах холодного літа:

n пшениці - 15ц/га;

n жита - 25ц/га;

n ячменю - 10ц/га;

Керівник організації повинен прийняти рішення про те, який сільськогосподарській культурі слід віддати перевагу в умовах, коли прогноз погоди на майбутнє літо відсутній.(При виборі рішення слід скористатися усіма відомими критеріями).

V.    Задача

Компанії А і В конкурують у галузі збуту однакових товарів у трьох містах, які розташовані за такою схемою:

^{10 км10 км}