Міністерство Освіти України
Одеський державний університет
ім. І.І.Мечнікова
Інститут математики, економіки та механіки
Атомічні розкладення функцій
у просторі Харді
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий керівник
Вартанян Г.М.
Одеса - 2000
Содержание
Введение.................................................................................... 3
Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах 
, 
и 
................................. 8
§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8
§I.2.
Пространства ....................................................... 12
§I.3.
Пространства и .........................................
17
§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная функция............................................... 22
Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство ВМО........................................ 26
§II.1. Пространство , критерий принадлежности
функции из 
пространству ....................... 26
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,
двойственность и ВМО.................................. 32
Литература.................................................................................. 37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства 
, 
, 
и 
, раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из 
пространству 
и двойственность пространств и .
В работе мы рассматриваем случай 
периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:
- пространство периодических, непрерывных на 
функций;
- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;
- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых 
, 
;
- пространство периодических ограниченных на функций;
- носитель функции 
.
В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции называется функция
¦r ( x ) = 
,
где 
, t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а) 
;
б) 
;
в) для любого d>0
Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона 
при 
:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции 
( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из 
. Тогда
для п.в. 
.
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция 
называется аналитической в точке 
, если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух действительных переменных 
называется гармонической в области 
, если 
и удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции и 
, связанные условиями Коши-Римана : 
, 
, называются гармонически сопряженными функциями.
Определение4. Под нормой пространства понимается
, 
.
Определение5. Под нормой пространства понимается
, 
.
Определение6. Пусть 
( или 
,). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством
,
.
(
, ).
Определение7. Последовательность 
функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если 
для почти всех 
, т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию 
(
) можно предсавить в виде
,
, 
,
где 
для п.в. , при этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная 
, что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками 
выполнено неравенство 
.
Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого 
найдется число 
такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов 
, 
с суммой длин, меньшей 
: 
, выполняется неравенство 
.
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и . Пространство () представляет собой совокупность тех функций 
, , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из, т.е. представимы в виде (
). Здесь мы получаем следующие результаты: при 
пространство совпадает с 
, а при р=1 уже, чем , и состоит из функций 
, для которых и 
.
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции 
, аналитической в круге 
с нулями 
, 
(
) с учетом их кратности:
,
где 
- кратность нуля функции 
при 
.
Здесь доказывается, что каждая функция 
представима в виде
, где 
не имеет нулей в круге и 
, 
,а 
- произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть 
, 
, - произвольное число. Обозначим через 
, , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки 
к окружности 
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при 
вырождается в радиус единичного круга). Для 
положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция 
называется нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке 
: если 
(), , то 
и 
.
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция 
называется атомом, если существует обобщенный интервал 
такой, что
а) 
; б) 
; в) 
.
Атомом назовем также функцию 
, . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из 
, либо множество вида 
(
).
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция 
тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде
,
, где 
, 
, - атомы. (*)
При этом 
, где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С 
- абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций 
, удовлетворяющих условию
, (91)
где 
, а sup берется по всем обобщенным интервалам 
. А затем доказываем теорему о том, что 
.
Глава I.
Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и
§I.1.Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку
f*g(x) =
dt
Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× c-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где { cn ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn (f)= 
-i n tdt , n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r ( x ) = 
n ( f ) r|n | ei n x , x Î [ -p, p ] . ( 2 )
Так как 
для
любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд 
сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций 
стремятся к нулю при 
), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны cn ( fr ) = cn (f)× r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :
¦r ( x ) = , ( 3 )
где
, t Î [ -p, p ] .
( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = 
, 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )
Если ¦Î L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = 
, n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) = 
=
,
( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2 
( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = 
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда
u (z) = 
( z = reix
, | z | < 1 ) ( 10 )
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
, | z | < 1+ e .
Но тогда коэффициенты Фурье функции 
связаны с коэффициентами Фурье функции 
следующим образом :
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ; (11)
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
.
( 12 )
Для любой функции 
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что
. Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
.
Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
ОпределениеI.1.
Пусть функция 
, суммируема на любом интервале (a,b), a<b, 
. Максимальной функцией для функции называется функция
,
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение I.2.
Оператор 
называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
, 
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и 
,
( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть
- такое число, что
.
Тогда
для
.
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора 
. Используя его, найдем такую последовательность функций 
,что
,
( 14 )
для п.в. 
.
Согласно (13) при xÎ (-p,p)
Учитывая , что по теореме 1 
для каждого xÎ [-p, p] и (14)
из последней оценки получим
при r®1.
Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] 
, когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности 
пути.
§I.2.Пространства Hp.
Определение I.3.
Пространство 
- совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма
. (15)
Пусть комплекснозначная функция 
удовлетворяет условиям
(16)
тогда функция F (z) , определенная равенством
(17)
принадлежит пространству , причем
. (18)
Действительно,
аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства 
мы имеем
(*)
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)
. Отсюда 
(**)
Учитывая (*) и (**) , получим (18).
Ниже мы докажем, что любую функцию 
можно представить в виде
(17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и
(19)
Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что
j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если
- характеристическая функция замкнутого множества 
.
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,
,
(20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем 
и
. Тогда для всякого 
, существует функция 
вида
, (21)
обладающая свойствами:
а) 
;
б)
;
(22)
в) 
.
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть 
, где 
- конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для 
.
Очевидно, что 
- открытое множество и 
.
Рассмотрим для данных 
функцию 
, построенную в лемме 1 для числа e и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если 
,
а 
, то разность
. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)
,
и мы получаем равенство (20).
Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
, где 
, 
, 
- ядро Дирихле,
, - ядро Фейера.
Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) 
, ; б) 
,
Мз которых вытекает, что для и
,
Также известно [3], что средние Фейера 
равномерно сходятся к 
.
Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой
и
Так как средние Фейера 
равномерно сходятся к и
, то существует тригонометрический полином
(24)
такой, что
(25)
Пусть 
. Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию 
, что
, 
(функцию
можно построить следующим образом: взять замкнутое множество 
с мерой 
, достаточно близкой к 2p, и положить
).
Так как 
(здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых d>0 функция 
удовлетворяет соотношениям
(26)
При этом 
, если 
. Тогда средние Фейера 
функции h(t)
имеют вид
и при достаточно большом N
(27)
Положим
, 
(28)
Так как h(t) - действительная функция, то 
, n=0,±1,±2,¼. Поэтому
и 
. (29)
Определим искомую функцию g(t) :
Ясно, что 
, а из (24) и (28) следует, что 
при n<0,
т.е.
(30)
В силу соотношений (25), (27) и (29) для 
,
а для 
.
Наконец, для любого 
.
Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.
Теорема 4.
Пусть функция 
. Тогда для п.в. существует предел
(31)
При этом
1) ,
, ;
2) ;
3) .
Доказательство:
Нам достаточно доказать, что для каждой функции 
найдется функция 
такая, что имеет место 1).
Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом 
и по теореме 1
. Наконец, из 1) следует, что
а тогда
.
Пусть . Для построения искомой функции положим
,
, .
Функции 
, , имеют равномерно ограниченную по r вариацию на 
:
.
Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации 
и последовательность 
, такие, что 
в каждой точке и
(32)
для любой функции 
. При этом для n=1,2,...
(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует функция , для которой
,
Тогда
, (33)
Зафиксируем число 
. Функция 
, аналитична в круге 
, поэтому согласно
утверждению 1
,
.
В пределе при 
из последнего равенства вытекает, что
, , .
Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.
§I.3.Пространства 
и 
.
Обозначим через класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде
для п.в. , .
В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 
и каждая функция 
удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной 
с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Следовательно,
.
(34)
Из (34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство пространства , а - банахово пространство с нормой (15).
Пусть . Положим
,
, (35)
ОпределениеI.5.
Если функция 
, то сопряженной к ней функцией называется функция 
, ,
где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при интегралов 
.
В дальнейшем нам понадобится
Утверждение2.
Для любой функции сопряженная функция 
существует и конечна п.в. на 
; при этом
а) 
, y>0;
б) если 
, , то 
и 
.
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны :
а) 
;
б) , 
, 
,
;
в) 
;
г) 
, где
- такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :
. (36)
Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :
, имеют место равенства
, 
(37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
, 
, 
,
. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.
Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим
, 
,
где , 
, 
.
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций 
(наличие этих свойств мы установим ниже):
1) 
, , ;
2) при функции
, 
, сходятся по мере к
;
3) 
, , ,
где С - абсолютная константа.
Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что 
, где 
, поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций 
,:
по мере 
.
(38)
Для произвольного 
найдем тригонометрический полином 
такой, что
,
.
(39)
Тогда согласно 3)
(40)
и при 
. (41)
Так как - полином, то 
и
. (42)
Учитывая, что 
, и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим 
, ,
что вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как 
.
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде
, , 
. (43)
Из непрерывности функции 
легко следует, что
равномерно по . Поэтому при достаточно больших 
с учетом (43) мы будем иметь
, (44)
Кроме того, в силу 1) и (43)
;
из этого неравенства и (44) вытекает, что при 
.
Для доказательства оценки 3) заметим, что
,
где 
. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции 
и учитывая, что 
, получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть 
(
,
,
) и
. Тогда по теореме 4 , 
и надо доказать только, что 
для п.в. .
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и
,
.
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого 
,
, . (45)
Согласно теореме 1
. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости 
() следует сходимость по мере функций 
к . Таким образом,
по мере (),
а потому , учитывая (46), для п.в. .
Теорема 5 доказана.
Следствие 1.
а) Если , то 
;
б) если и 
, то 
;
в) если 
, 
, 
, , то
. (47)
Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы получить в), положим
,
.
Согласно теореме 5 
, 
, а следовательно, 
. Но тогда (для п.в. ) 
, и из определения класса 
мы получим, что
.
(48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и .
- банахово пространство с нормой
.
(49)
Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства : если 
при 
, то 
, 
, 
, и так как 
по мере при , то 
и 
при .
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , 
, , .
Отметим также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б), мы получим
, если . (50)
§I.4.Произведение Бляшке,
нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - 
удовлетворяет условию
,
, 
. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)
.
(52)
Для фиксированного 
, , при 
имеет место оценка
.
(53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством 
(
, ), мы находим
, . (54)
Допустим теперь, что 
() - нули некоторой функции с 
, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим
, 
Функция 
() аналитична в круге
радиуса больше единицы, и 
, если . Следовательно, 
и согласно п.3 теоремы 4 
. Но тогда
и
, (55)
Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения 
, а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть
- аналитическая в круге функция и , () - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение
(56)
называется произведением Бляшке функции .
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция представима в виде
,
где не имеет нулей в круге и
,
,
а - произведение Бляшке функции .
Доказательство.
Пусть , () - нули функции ( или, что то же самое, нули функции 
) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и
, . (57)
При этом функция 
также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и 
.
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):
, , .
Так как 
для любого , то по теореме 4
и
, если .
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что 
(
) равномерно по , мы получим
,
,
т.е. , .
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .
В силу теоремы 2
для п.в. .
(58)
Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции 
*) в точке х, т.е.
, . (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция 
, то для любого 
;
б) если функция 
,
то 
,
где 
- постоянная, зависящая только от числа р.
Пусть 
и 
. По определению интеграла Пуассона
Положим 
. Тогда будем иметь
и, в силу неравенства 
, , и периодичности 
,
. (60)
Так как обе функции 
и 
положительны при 
и отрицательны при 
( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что 
, мы получим
. (61)
Для 
имеют место оценки
,
.
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что
при
, (62)
если 
. Пусть 
, тогда
.
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции , ,
,
(63)
где 
- постоянная, зависящая только от 
.
Теорема 7.
Пусть (), и
, .
Тогда и
.
(64)
Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , 
, если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция 
такая, что 
, и, следовательно из (64) при р=2, получим
.
Оценка снизу для 
вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.
Глава II. Атомические разложения функции
в пространстве 
, пространство ВМО.
§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из 
пространству .
Рассмотрим () - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :
для п.в. , . (65)
Ранее мы доказали, что
, , (66)
и что - банахово пространство с нормой
;
(67)
при этом, если в (65) 
, то
() . (68)
В замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что
().
Последнее соотношение теряет силу при 
- нетрудно проверить, что при 
,
где
и, следовательно, существует функция 
, для которой 
. Таким образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .
ОпределениеII. 8.
Множество 
мы будем называть обобщенным интервалом, если 
- дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо множество вида
(). (69)
Точку 
назовем центром обобщенного интервала , если 
- центр дуги 
. Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину
Определение II.9.
Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, что
а) ;
б) ;
в) .
Атомом назовем также функцию , .
Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде*)
,
,
(70)
где , , - атомы. При этом
, (71)
где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С - абсолютные константы.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и 
. Для этого достаточно проверить, что для любого атома 
имеет место неравенство
. (72)
Пусть - такой обобщенный интервал, что
,
, (73)
(случай 
тривиален). Так как 
, то нам остается доказать, что
. (74)
Для любого измеримого множества 
, применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим
,
(75)
откуда сразу вытекает (74), в случае, когда 
.
Допустим теперь, что 
, и обозначим через 
обобщенный интервал длины 
с тем же центром, что и . Из (75) следует, что
.
Нам остается оценить интеграл 
. Мы воспользуемся очевидным неравенством
, 
,
где 
- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки и , а 
- абсолютная постоянная. В силу (73) при 
мы имеем
где 
- центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что и 
, мы находим
, , где 
.
Следовательно,
.
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции разложение (70), для которого
.
Пусть функция с такова, что выполнено соотношение (65), и пусть 
(
) - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.
, ,
(75')
где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что 
, поэтому нам достаточно найти такое разложение функции на атомы (70), что
, (76)
где постоянные С и () не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, 
. Не ограничивая общности, мы можем считать, что
. (77)
Рассмотрим на отрезке множества
,
, (78)
Так как при любом 
множество точек единичной окружности 
открыто, то ясно, что при множество 
(если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:
,
при 
, 
, 
. (79)
Положим
и при
(80)
Так как конечна для п.в. , то из определения функций 
, , следует, что для п.в. 
при 
, а значит, для п.в.
.
Отсюда, учитывая, что 
, а следовательно из (80), 
при 
, мы находим, что
, (81)
где 
- характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:
для п.в. , (82)
где
,
, 
(83)
С помощью функций 
мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,
, 
. (84)
Докажем теперь, что для п.в.
, , (85)
где постоянная 
зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75') 
для п.в. , то из (77) следует, что
.
Пусть теперь , 
- один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) 
, и если 
, 
- концевые точки дуги 
(
) , то 
, а значит,
,
. (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
при 
. (87)
Легко видеть (учитывая, что 
и ) , что множества 
и 
пересекаются в одной точке:
с 
, 
.
(88)
Пусть 
, 
, - отрезок, соединяющий точки 
и . Так как 
, , то из непрерывности функции при 
и неравенства (87) вытекает, что , если 
, , и . Поэтому , учитывая (88)
, ,, . (89)
| Рассмотрим область отрезками пусть, далее, для
|
|
, ограниченную 
и 
и дугой 
,
, 
По теореме Коши [5] 
.
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги 
справедливо равенство 
,
мы получим
.
Но в силу теорем 4 и 5
,
,
и так как 
, , то мы находим, что
.
(89')
Легко видеть, что отношение 
ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому
, . (90)
Так как 
, то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для 
, , справедливо неравенство (85). Для п.в. 
неравенство (85) сразу следует из определения функций 
и множеств 
.
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что 
, а это значит, что функции
, , ,
являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:
для п.в. ,
где 
, 
.
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем
.
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.
Дадим описание пространства 
, сопряженного к банахову пространству 
. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию
, (91)
где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
.
(92)
Ясно, что 
. В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция 
.
Теорема 9.
, т.е.
а) если 
, и для произвольной функции 
рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):
,
, , - атомы*) (93)
и положить
,
(94)
то сумма 
ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на
;
б) произвольный ограниченный линейный функционал 
на представим в виде (94), где . При этом
(С, С1 - абсолютные постоянные).
Лемма 2.
Пусть функция 
такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная 
, для которой
,
где М не зависит от . Тогда 
и 
.
Доказательство.
Для любого обобщенного интервала мы имеем
,
откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если , то 
и
. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для произвольного обобщенного интервала .
Доказательство теоремы 9.
а) Пусть . Положим
Так как всегда 
, то, учитывая равенства
,
, 
,
мы с помощью следствия 2 находим
,
(96)
Допустим, что 
( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение
,
, (97)
где функции 
являются атомами и 
, и при 
,
, 
. (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.
Отсюда, учитывая, что функции 
, , по модулю не превосходят суммируемой функции 
и для п.в. 
, мы получим, что
.
Таким образом, равенством
, 
, (99)
определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в 
линейном многообразии (плотность функций из 
в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции 
частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал 
можно единственным образом продолжить на все пространство :
,
. (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна 
. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :
.
б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции 
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на 
, а следовательно, найдется функция 
с
,
(101)
для которой
, . (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что
.
(103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, 
- произвольная функция с 
. Тогда функция
, ,
является атомом и в силу теоремы 8 
. Поэтому
.
Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I
,
что с учетом соотношения 
доказывает оценку (103).
Таким образом, для значение функционала 
совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,
для любой функции .
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.
*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если |x| > p .
*) Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .
*) В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.
*) Возможен случай, когда при .
0 комментариев