Реферат
З геометрії
На тему:
"Геомтрія Лобачевського"
Виконав
Учень 10-А класу
Середньої школи № 96
Коркуна Дмитро
Львів 2000
Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ не перетинається з другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує, що не виконується п'яте правило: сума кутів ( і ( є менше розгорнутого кута, але прямі ОА і MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М до О, то найдеться така "критична" точка М0, що перпендикуляр M0Q0 до сторони OB поки що не перетинається зі стороною ОА, але для любої точки М`, яка лежить між О і М0, відповідаючий перпендикуляр М`Q` перетинається зі стороною ОА. Прямі ОА і M0Q0 все більше приближаються одна до одної, але спільних точок не мають. На рис.2 ці прямі зображено окремо; а саме такі необмежено наближаються одна до одної прямі Лобачевський в своїй геометрії називає паралельними. А два перпендикуляра до одної прямої, які необмежено віддаляються один від одного, як на рисунку Лобачевський називає прямими, які розходяться. Виявляється, що цим і обмежуються всі можливості розміщення двох прямих на площині Лобачевського: дві неспівпадаючі прямі, які або перетинаються в одній точці, або паралельні , або можуть бути такими, що розходяться (в цьому випадку вони мають єдиний спільний перпендикуляр)
На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не перетинається зі стороною ОА, а прямі ОВ` , М`Q` симетричні прямим ОВ і MQ відносно ОА. Дальше |ОА| = |MB|, так як MQ – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його середині і аналогічно M`Q` – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його середині. Ці перпендикуляри не перетинаються, тому не існує точки, одинаково віддаленої від точок О,В,В`, отже трикутник ОВВ` не має описаного кола.
На рис. 4 зображено цікавий варіант розташування трьох прямих на площині Лобачевського: кожні дві із них паралельні, тільки в різних напрямках. А на рис. 5 всі прямі паралельні одна одній в одному напрямку (пучок паралельних прямих). Лінія позначена пунктиром на рис.5 "перпендикулярна" всім проведеним прямим (тобто дотична до цієї лінії в любій її точці М перпендикулярна прямій, яка проходить через М.). Ця лінія називається граничною кола, або орициклом. Прямі розглянутого пучка ніби являються її "радіусами", а центр граничної кола лежить в нескінченності, оскільки "радіуси" паралельні. В той же час гранична кола не являється прямою лінією, вона "викривлена". І інші властивості, які в евклідовій геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського виявляються властивими другим лініям. Наприклад, з множини точок, які знаходяться на одній стороні від даної прямої на даній відстані від неї, в геометрії Лобачевського являють собою криву лінію, яка називається єквидистантою.
Ми коротко торкнулися деяких факторів геометрії Лобачевського, не згадуючи багатьох інших цікавих і змістовних теорем (наприклад, довжина кола і площа круга тут зростає в залежності від радіуса по показниковому закону). Виникає переконання, що ця теорія багата дуже цікавими і змістовними фактам, насправді не суперечлива. Але це переконання (яке було у всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не замінює доведення несуперечливості.
Щоб дістати таке доведення , треба побудувати модель. І Лобачевський це добре розумів і намагався її знайти.
Але сам Лобачевський вже не зміг цього зробити. Побудова такої моделі (доведення несупечливості геометрії Лобачевського) випало на долю математиків наступного покоління.
В 1868 р. італійській математик Є. Бельтрамі дослідив зігнуту поверхність, яка називалась псевдосферою, і довів, що на цій поверховості діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати найкоротші лінії ("геодезичні") і вимірювати по цим лініям відстані, складати з дуг цих ліній трикутники тощо, то вияявляється, що в точності реалізуються всі формули геометрії Лобачевського (зокрема сума кутів будь-якого трикутника дорівнює менше 1800). Правда, на псевдосфері реалізується не вся площина Лобачевського.
Клейн бере деякий круг К и розглядає такі проективні перетворення площини, які відображають круг К на себе. "Площину" Клейн називає внутрішність круга К, а вказані проективні перетворення вважає "рухом" цієї "площини". Дальше кожну хорду круга К (без кінців оскільки беруться тільки внутрішні точки круга) Клейн вважає "прямою". Оскільки, "рух" являє собою проективні перетворення, "прямі" при цих рухах переходять в "прямі". Тепер в цій "площині" можна роздивлятися відрізки, трикутники тощо. Дві фігури називаються рівними, якщо кожна з них може бути перетворена в іншу деяким "рухом". Так само введені всі поняття, які згадуються в аксіомах в цій моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, В проходить єдина пряма. Також , можна прослідкувати, що через точку А, яка не лежить на прямій , проходить нескінченно багато прямих , які не перетинають . Пізніша перевірка показує, що в моделі Клейна виконуються и всі інші аксіоми геометрії Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує "рух"., перетворюючи її в другу пряму l` з віміченою точкою А`. Це дозволяє перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.
Похожие работы
... 3. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г. 4. И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963г. Приложение 1 Николай Иванович Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря(20 ...
... , т. е. такие пары точек считаются за одну точку. Из этого определения следует, что при возрастании n число типов неевклидовых пространств также растет. Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространств определенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класс пространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускает ...
... метод координат. V. Аксіома паралельності Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії. У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так. V. Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и ...
... представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Появление неевклидовой геометрии Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в ...
0 комментариев