Задачи Лоповок

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите наименьшее возможное значение п.

2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9, 13.

3. Пять прямых расположены на плоскости так что име­ется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?

4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Из­вестно, что АВ ==3-см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на части длиной по 1 см.

5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17 см. Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см.

6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).

7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки авто­буса расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.

8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19 км, ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.

9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, -Аз, -Аз, А^, ... так, что А\Ач== I» -Аг-Аа == 2, АзА^ == 3, .... Назовите отрезки с концами в указанных точках, имеющие длину 45.

10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол?

12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломер­ных инструментов (приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:

/- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите градусную меру угла КАС.

21. В одной полуплоскости с границей АВ построены непе­рекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказать­ся вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов за­писать только нечетными цифрами; только четными цифрами?

27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярны­ми сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как опреде­лить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые а\ и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовав­шихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении пря­мых СИ И &1?

32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости по­строены лучи ОС и 0В так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.

34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ — равные перпендикуляры к АВ. До­кажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ.

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпенди­кулярны ли I и ЕР

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точ­ка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ -1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А7

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС == ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Бис­сектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2ⁿ равных частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == ВN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = СD = DЕ = ЕА, ^ ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпенди­куляр- ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА\ == А. СВВ\ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2\, СгСа, СзСа,,..., С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис. 10),?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что

периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз >он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух

данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную

прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии я сумме боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведен­ной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других .'сторон.

70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить

отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии и разности боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, ес­ли обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Парал­лельны ли прямые АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треуголь­ники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить попо­лам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпен­дикуляр к данной прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе

угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там парал­лельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпенди­кулярны. Равны ли углы этих треугольников?

91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А\ и А-г симмет­ричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АА\Ау.—равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треуголь­ник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величи­ну третьего внешнего угла.

94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, прове­денные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.

97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отме­чены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС.

98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0\, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остро­угольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС.

99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.

100. Биссектриса угла при основании равнобедренного тре­угольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Опреде­лите градусные меры углов треугольника АВС.

101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.

103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.

104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.

105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренно­го треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треуголь­ных частей с такими же углами, как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник

106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедрен­ного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедрен­ного треугольника.

107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

108. Если острые углы прямоугольного треугольника относя­тся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.

109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.

110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2 ВС (рис. 14).

111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.

112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.

113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^- ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?

114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.

115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.

116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;

больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.

11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза

с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == ^д ~ ^с . &

125. Постройте две окружности с центрами на данной пря­мой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами 0\ и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух дан­ных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окруж­ности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию тре­угольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. 0\ и Оч — центры вписанной и описанной окружно­стей треугольника АВС. Зная, что ^- АО\В = //- АОчВ, най­дите /- С.

142. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по точкам А\, В\ и прямой АВ.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.

145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.

147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, най­дите величины остальных углов треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехуголь­ника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, от­личные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плос­кости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ. Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпен­дикулярны.

12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,

13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания высот, проведенных из вершины В.

14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равно­сторонние треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.

16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.

17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и МСВ — равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отноше­нии 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и —периметра прямоугольника. Как отно­сятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отло­жены равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущен­ный на АС. Найдите /- ВКЕ.

25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что /- АМВ == А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите вели­чины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равно­удалена от всех его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /- СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВDС параллелограмма АВСD пересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектри­сами углов АВВ и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры окружностей, описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпенди­куляры АВ, СЕ и ВР, причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со сторо­ной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадрат­ной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М ^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек нахо­дится на стороне ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С^::), и построены квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^ КАМ == 90° (рис. 23).

44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр квадрата, построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как по­строить через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. По­стройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ь.

48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с разностью длин Ь.

49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пере­секает сторону АВ в точке М и делит названную медиану по­полам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.

50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ : АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части. Докажите, что МО = МЕ.

51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отно­шении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты. Как по серединам этих высот построить паралле­лограмм АВСD7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот, проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна сере­дина стороны АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.

57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ пополам. Найдите длины сторон параллелограмма.

59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты. Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого параллелограмма.

60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центра­ми всех таких параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?

61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ 90°, АВ == СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ являются вершинами квадрата.

62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов ограничивают четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.

63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены перпендикуляры к АВ. Касательная к полу­окружности в точке С пересекает эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и ОТ пересекаются в точке М. Параллельны ли АВ я ЕМ?

64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сто­рон — А\, В\, С\, В[. Середины сторон четырехугольника А\В\С\В\ — Л.2, В-г, Сч, Вч. Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д. Укажите точку, которая нахо­дится внутри всех таких четырехугольников.

65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов треугольника АВС.

66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке, в которой продолжение медианы АВ пересекает описан­ную окружность.

67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Бис­сектрисы углов В и САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N. Параллельны ли прямые МП и ВС?

Трапеция

68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треуголь­ников можно сложить трапецию?

69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.

70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно раз­резать на три части, имеющие форму трапеции.

71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как раз­резать ее на три равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины оснований 6 и 10 см?

72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как 3:5. Найдите углы трапеции,

73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны боковым сторонам. Найдите углы трапеции

74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.

75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника тра­пецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов трапеции.

79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каж­дая из которых имеет форму непрямоугольной трапеции?

81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований проходит через данную точку, а боковые сто­роны соответственно параллельны двум данным прямым.

Средняя линия трапеции

82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно пер­пендикулярны и равны, то ее высота равна средней линии.

83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из рисунков 25—31.

84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам при одном из оснований.

85. На окружности даны точки А и В. Постройте две парал­лельные хорды АС и ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь.

86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите угол между диагоналями трапеции.

87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М, что АМ = АВ. Через В проведена прямая, параллельная СВ, она пересекает АМ в точке Р. Докажите, что ВМ == РС.

88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего осно­вания меньшее видно под углом, вдвое меньшим угла, под кото­рым большее основание видно из середины меньшего. Найдите эти углы.

89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой боковой стороны. Докажите.

90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?

91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей трапеции.

92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?

93. Окружность, построенная на большем основании тра­пеции, как на диаметре, касается меньшего основания и про­ходит через концы средней линии. Найдите градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Бис­сектрисы углов А и С пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит через центр окружности.

95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО == СО. Зная, что около четырехугольника можно опи­сать окружность, найдите величину наибольшего угла четырех­угольника.

96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно опи­сать окружность.

97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае, когда окружности, построенные на боко­вых сторонах, как на диаметрах, касаются.

98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно пер­пендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпен­дикуляры на все стороны четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной окруж­ности.

99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности опущены перпендикуляры МЕ и МР на диаго­нали прямоугольника. Докажите, что расстояние между осно­ваниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.

100. АА\, ВВ\, СС\ — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи А\Н, В\Н, С\Н делят пополам углы треугольника А\В\С\.

101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА = /. МСВ == к. На стороны треугольника

АВС опущены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\. Докажите, что ? эти перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника А\В\С\ углы по ос.

192. Две окружности пересекаются в точках атл.в. Прямая, проходящая через А, пересекает окружности в точках С и О;

прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р. Докажите, что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ пересекаются?

103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на третьей окружности (рис. 32).

104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб. Докажите.

105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите, что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.

106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются окружности в точках К, Ь, М, N. Мож­но ли по углам А, В, С определить углы четырехугольни­ка кьмт

107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину четвертой стороны.

108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отно­шении делится точкой касания сторона АО'1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочислен­ными координатами может оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для между­народных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных пря­мых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если коор­динаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц ^и Ул 4- Ус ==' Ув + Ув > то ^этот четырехугольник — параллело­грамм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х² + 5 и у = х² — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у ко­торого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ———— получить график у == — —'

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных пря­мых, а центр — на данной окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают рав­ные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не па­раллельная АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпенди­кулярны. Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0. Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с цент­ром М. Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину век­тора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно по­строить пятиугольник, стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Дока­жите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма рас­стояний между серединами противолежащих сторон равна ^по­ловине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С == СВ\ '. В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треуголь­ника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый угол, косинус которого равен "

2я² — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь² + с² == 2о², то существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а² , б² „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о² , Ь² ^, ,. _