Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Математическая теория захватывания

11651
знак
0
таблиц
21
изображение

Введение и краткое резюме


Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр  таким образом, чтобы при  = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.


§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:



При  = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение


Рассмотрим случай, когда  бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:


Начальные условия выберем так:

F2 - степенной ряд по 12,  начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):




Сравнивая коэффициенты при 12,  получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).



Решая задачи Коши, получим:



Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы


Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:



Если в этой системе можно 12 представить в виде функции  так, чтобы 12,  исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых  служит неравенство 0 Якобиана.


В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых  и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.


§ 2 Исследование устойчивости периодического решения


Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) +  ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени  и '.





Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:




Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по .



будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим:


Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим


Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:


(14)


Решение (13) можно найти при помощи квадратур:


(15)


Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:



S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). 1, 2 - характеристические показатели.

Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:


=0 (16) Полагаем ;



Тогда определитель будет:



Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (), или что все равно   . Если   < 1 имеет место устойчивость   = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса.  > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае -комплексные; 2 =q; (20) если q1 - неустойчивость.

Случай второй -  - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени  из формул (19) (12).


(22)

Если принять во внимание (15)


(22a)


(23)


Мы видим, что при достаточно малом  и n; n  Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

(23a)


§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда о; 2 = 1+ aо , (24) (aо ,  - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо  0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :


(25)


При  = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:


(27);


Начальные условия возьмем как и раньше:



Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при 12,  и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).


(29)


Запишем условия периодичности для (27):


Делим на :


( 30a )


Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :


(31)


Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).



D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить 1,2, в виде рядов по степеням . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.


(33)


P,Q-определяются формулами (31) (32).


§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса


Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).



Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22) (34) , тогда  - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:



(36)


;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить  в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:


; (37)


Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых )


1) p2 - q

2) p2 - q > 0

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.

Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а  > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0,  > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).


§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin 1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

(39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения .

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

(41)


А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если  > 1, т.е. о > 1, то разность фаз равна 0, если  < 1, то разность фаз равна . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).


(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.


В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.



Или преобразовав их, получим следующее:



Полагая Р = R sin ; Q = R cos . Далее найдем для амплитуды R и фазы  для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :


Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,  > 0. Считаем b и  через формулы (35-37).

(46)



Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.


1)

a0 - является общим корнем уравнений


2)


Сама ширина , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом:  = aо2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) 2о


Информация о работе «Математическая теория захватывания»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11651
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 21

Похожие работы

Скачать
11391
0
4

... р2; В первом случае l -комплексные; Ѕ l 2 Ѕ =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость. Случай второй - l - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12). (22) Если принять во внимание (15) (22a)(23) Мы видим, что при достаточно малом m и w № n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и ...

Скачать
70148
0
1

... и важные моменты мышления не могут быть представлены в виде кусочков следующих друг за другом во времени. Этот парадокс должен быть разрешен. И это, наверное, одна из важнейших проблем теории деятельности на современном этапе. Мне представляется, что решение ее во многом связано с указанным уже выше различением формы и содержания. Мне даже кажется иногда, что эта проблема – чисто формальная и ...

Скачать
97308
1
0

... смещает внутреннюю в кислую сторону, и ориентируют макромолекулы организма в пространстве в неблагоприятную для их функционирования сторону. 9 СУТОЧНЫЕ БИОРИТМЫ ПОДДЕРЖАНИЕ СИНХРОННОСТИ С ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ Каждый организм, существующий на Земле, является своеобразными часами. Все ...

Скачать
133847
28
7

... методы математической статистики, с помощью определения достоверности различий по критерию Стьюдента в программе Excel. 2.4 Методы оценки эффективности физических качеств опорно-двигательного аппарата   После реализации программы занятий коррекции нарушения осанки и плоскостопия у детей младшего школьного мы провели оценку физических качеств опорно-двигательного аппарата Сначала мы ...

0 комментариев


Наверх