Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

13276
знаков
1
таблица
4
изображения
Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції Зміст

Вступ.

Формули прямокутників і трапеції.

Параболічне інтерполювання.

Дроблення проміжку.

Залишковий член формули прямокутників.

Залишковий член формули трапеції.

Залишковий член формули Сімпсона.

Додаток 1.

Додаток 2.

Висновки.

Література.

Вступ.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.

Формули прямокутників і трапеції.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ є деяка заданая на проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./як площу деякої фігури, яка обмежена кривою Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.

На практиці зазвичай беруть Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ якщо відповідну середню ординату Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ позначити через Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то формула перепишеться у вигляді

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. (1)

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, где Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що проміжок Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Мал. 2

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. (2)

Це так звана формула трапецій.

Можно показати, що при зростанні Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.

Параболічне інтерполювання.

Для наближеного обчислення інтеграла Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ можно спробувати замінити функцію Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ « близьким» до неї многочленом

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (3)

і покласти

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана « крива» Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ замінюється на « параболу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ - го порядку» (3), в зв' язку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго многочлена Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ частіше всього виконують наступним чином. У проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ беруть Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ значень незалежної змінної Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і підбирають многочлен Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ так, щоб при усіх взятих значеннях Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ його значення співпадало зі значенням функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Цією умовою, як ми знаємо, многочлен Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа:

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно їх використовувати для будь-якої функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в даному проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

В найпростішому випадку, при Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, функція Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ просто замінюється сталою Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ – будь-яка точка у проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, скажемо, середня: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тоді наближено

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (4)

Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

При Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ функція Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ замінюється лінійною функцією Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, яка має однакові з нею значення при Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ и Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Якщо взяти Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (5)

і, як легко обчислити,

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.

Менш тривіальний результат отримаємо взявши Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Якщо покласти Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то інтерполяційний многочлен Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ буде мати вигляд

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (7)

За допомогою легкого обчислення вираховуємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

і, аналогічно

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Таким чином, приходимо до наближеної формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.

Збільшуя степінь Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.

Дроблення проміжку.

При обчисленні інтегралу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ можно зроботи так. Розіб' ємо спочатку проміжок Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ на деяке число, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, рівних проміжків

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

в зв' язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (9)

Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8).

Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2).

Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище,

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Ми отримаємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (10)

Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.

Залишковий член формули прямокутників.

Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ функція Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (по формулі Тейлора) за степенями двочлена Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ міститься між Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ та Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і залежить від Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ до Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то другий член зправа зникне, бо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (11)

Таким чином, отримаємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Позначив через Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ у проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ міститься між точками Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ и Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ така точка Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, що Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, і остаточно

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. (12)

Якщо зараз розділити проміжок Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ на Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ рівних частин, то для кожного часткового проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ будемо мати точную формулу

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Додавнши ці равенства (при Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

де вираз

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

також знаходиться між Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то і він представляє одне із значень функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Тому остаточно маємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (13).

При зростанні Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ цей додатковий член спадає приблизно як Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Залишковий член формули трапеції.

Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Інтегруя цю формули від Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ до Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, знайдемо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

так що залишковий член формули (6) буде

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Нарешті, для випадку ділення проміжку на Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ рівних частин

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (14).

Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ він також зменьшуеться приблизно як Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.

Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (15).

Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тому ми зробимо інакше.

Вираз

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

яким би не було число Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, в точках Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, приймає одні і тіж значення, що і функція Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Легко підібрати число Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ так, щоб і похідна цього виразу при Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ співпадала з похідною Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Таким чином, при цьому значенні Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і двукратному вузлу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Тепер проінтегрувавши цю равність від Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ до Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./; ми знайдемо, що

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

так як

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Якщо припустити похідну Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді:

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Якщо проміжок Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ розділити на Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (16).

При зростанні Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ цей вираз зменьшується приблизно як Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.

Додаток 1.

Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC:

'Тут описуються сталі

e = 2.718281828459045#

pi = 3.141592653589793#

'Тут задається від під інтегральної функції

DEF fny# (x#) = e^ x# ^ 2

DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2

DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h#

DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2

DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2

DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2

CLS

'Тут вводяться межі інтегрування та

'кількість проміжків

INPUT “Введіть нижню межу інтегрування ” a#

INPUT “Введіть верхню межу інтегрування ” b#

INPUT “Введіть кількість проміжків ” n#

'Тут обчислюється крок

h# = (b# - a#) / n#

'Тут обчислюється наближене значення

'інтеграла за методом Сімпсона

integ# = 0

FOR i# = 1 TO ((2 * n#) - 1)

integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#))

NEXT

integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#)

integ# = integ# * (h# / 6)

PRINT "Simpson = "; integ#

'Тут обчислюється наближене значення

'інтеграла за методом трапецій

integ# = 0

FOR i# = 1 TO (n# - 1)

integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))

NEXT

integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2

integ# = integ# * h#

PRINT " Trapeze = " ; integ#

'Тут обчислюється наближене значення

'інтеграла за методом лівих прямокутників

integ# = 0

FOR i# = 0 TO (n# - 1)

integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))

NEXT

integ# = integ# * h#

PRINT "L Rectangle = "; integ#

'Тут обчислюється наближене значення

'інтеграла за методом центральних прямокутників

integ# = 0

FOR i# = 0 TO n#

integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#))

NEXT

integ# = integ# * h#

PRINT "C Rectangle = "; integ#

'Тут обчислюється наближене значення

'інтеграла за методом правих прямокутників

integ# = 0

FOR i# = 1 TO n#

integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#))

NEXT

integ# = integ# * h#

PRINT "R Rectangle = "; integ#

Додаток 2.

Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1.

1) Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./в межах від 0 до Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

n=1000

Метод Сімпсона -8.742278155181581D-08

Метод трапецій -8.742270585611512D-08

Метод лівих прямокутників 3.141505318306509D-03

Метод центральних прямокутників -3.14167628761223D-03

Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03

2) Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./в межах від 0 до Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

n=1000

Метод Сімпсона 2.000000000000067

Метод трапецій 1.999998355065565

Метод лівих прямокутників 1.999998355202888

Метод центральних прямокутників 1.999995887392223

Метод правих прямокутників 1.999990952591778

3) Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в межах від 0 до 1

 

n=1

n=10

n=100

n=1000

n=10000

М-д Сімпсона

,33333333333

,3333333333333

,3333333333333

,3333333333

,3333333333333

М-д трапецій

,5

,335

,33335

,3333334999999

,3333333349999

М-д лів. прямокутників

0

,2850000000000001

,32835

,3328334999999

,3332833349999

М-д центр. прямокутників

2,5

,44275

,34342525

,33433425025

,3334333425002

 

М-д правих прсмокутників

2,25

,4425000000000001

,3434249999999

,33433425

 

,3334333424999

 

4) Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона .7468241385662959

Метод трапецій.7468240772530558

Метод лівих прямокутників.7471401375268841

Метод центральних прямокутників.7471916808878213

Метод правих прямокутників.7461916811378212

5) Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в межах від 0 до Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

n=1000

Метод Сімпсона .8323745796964475

Метод трапецій.8323723082182791

Метод лівих прямокутників.8325874590746988

Метод центральних прямокутників.8319367429487694

Метод правих прямокутників.8319318081462942

Висновки.

У данній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона.

Література. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979. Математический практикум. М.: 1960.
Информация о работе «Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./»
Раздел: Иностранный язык
Количество знаков с пробелами: 13276
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
218746
21
0

... нтуватися на використання підручників [53; 54; 5]. У класах фізико-математичного спрямування доцільно орієнтуватись на використання підручників [53; 54; 5; 1].   РОЗДІЛ 2 ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ У ПРОФІЛЬНИХ КЛАСАХ В СУЧАСНИХ УМОВАХ 2.1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРОФІЛЬНОЇ ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ Математика є універсальною мовою, яка широко застосовується в усіх ...

Скачать
14611
0
7

... . Тоді, якщо існує скінченна границя  (13), її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:  (14) Таким чином, за означенням  (15) У цьому випадку інтеграл (14) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) – інтегрованою на проміжку (а;+). Якщо ж границя (13) не існує або нескінченна, то інтеграл (14) називають також невласним але розбіжним, а функція f(x) – ...

Скачать
25474
0
2

... ів Стілтьєса Доведемо наступну теорему: 1.      Якщо функція f(x) інтегрована в сенсі Рімана на проміжку [a, b], a g(x) представлена інтегралом     де функція  абсолютно інтегровна в [а,b], то   (11) Існування інтеграла Стілтьєса при зроблених припущеннях уже було доведено вище. Залишається лише з’ясувати рівність (11). Без зменшення загальності можна припустити, ...

Скачать
266076
11
92

... Методичні вказівки до лабораторної роботи № З «Тепловіддача горизонтальної труби при вільному русі повітря». Тернопіль 2003 У даних методичних вказівках подані теоретичні основи, опис експернментальної установки і практичні рекомендації лля проведення лабораторної роботи і обробки дослідних даних Мета роботи - засвоїти знання з теорії" конвсктивнот теплообміну при ...

0 комментариев


Наверх