Інтегральне числення

МІНІСТЕРСТВО ФІНАНСІВ УКРАЇНИ

БУКОВИНСЬКА ДЕРЖАВНА ФІНАНСОВА АКАДЕМІЯ

Кафедра ВМКТІС

ІНДИВІДУАЛЬНЕ НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНЕ ЗАВДАННЯ

З ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ»

на тему: «ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ»

Виконав:

Студент І курсу

Групи ФК-15

фінансово-економічного

факультету

Воронюк В.М.

Науковий керівник:

Головач В.М.

Чернівці-2008

ЗМІСТ

Інтеграли, що «не беруться»

Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Невласні інтеграли. Ознаки збіжності невласних інтегралів

Ефективність реклами логістична крива

Список використаної літератури

1.Інтеграли, що «не беруться»

Як видно було з диференціального числення, похідна від довільної елементарної функції є також функцією елементарною. Інакше кажучи, операція диференціювання не виводить нас із класу елементарних функцій. Цього не можна сказати про інтегрування — операцію, обернену до диференціювання. Інтегрування елементарної функції не завжди знову приводить до елементарної функції. Подібне спостерігається й для інших взаємно обернених операцій: сума довільних натуральних чисел є завжди число Натуральне, а різниця — ні; добуток двох цілих чисел завжди є цілим числом, а частка — ні i т. п. Строго доведено, що існують елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Про такі інтеграли кажуть, що вони не обчислюються в скiнченному вигляді або не 6еруться.

Наприклад, доведено, що «не беруться» такі інтеграли:

 інтеграл Пуассона;

 інтеграли Френгеля;

 інтегральний логарифм;

 інтегральний косинус;

 інтегральний синус;

 еліптичний інтеграл;

 (α=0,1,2…) та ряд інших інтегралів.

Вказані інтеграли хоча й існують, але не є елементарними функціями. В подібних випадках первісна являє собою деяку нову, неелементарну функцію, тобто функцію, яка не виражається через скiнченне число арифметичних операцій i суперпозицій над основними елементарними функціями. Неелементарні (або так звані спецiальнi) функції розширюють множину елементарних функцій.

Зрозуміло, що інтеграл, який не обчислювався в класі елементарних функцій, може виявитись таким, що обчислюється в розширеному класі функцій.

Таким чином, інтегрування в порiвняннi з диференціюванням — операція набагато складніша. Тому треба твердо володіти основними методами інтегрування i чітко знати види функцій, інтеграли від яких цими методами знаходяться. Крім того, виявляється, що треба розрізняти також інтеграли, які «не беруться». Тому в iнженернiй практиці широко користуються довідниками, в яких мстяться докладні таблиці iнтегралiв, що виражаються через елементарні i неелементарні функції.

 

2.Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Нехай треба обчислити визначений інтеграл , де f(х) — неперервна на вiдрiзку [a; b] функція. Якщо можна знайти первісну F (х) від функції f (х), то цей інтеграл обчислюється за формулою Ньютона — Лейбнiца: I = F (b) - F (a). Якщо ж первісна не є елементарною функцією, або функція f (х) задана графіком чи таблицею, то формулою Ньютона — Лейбнiца скористатись вже не можна. Тоді визначений інтеграл обчислюють наближено. Наближено обчислюють визначений інтеграл i тоді, коли первісна функція F (х) хоч i є елементарною, але точні її значення F (а) і F (b) дістати не просто.

Наближені методи обчислення визначеного інтеграла здебільшого ґрунтуються на геометричному змiстi визначеного інтеграла: якщо f(х)0, то інтеграл I дорівнює площі криволiнiйної трапеції, обмеженої кривою y = f (х) i прямими х = a, х = b, у = 0.

Ідея наближеного обчислення інтеграла полягає в тому, що задана крива y = f(х) замінюється новою лiнiєю, «близькою» до заданої. Тоді шукана площа наближено дорівнює площі фігури, обмеженої зверху цією лiнiєю.

1. Формули прямокутників. Нехай треба обчислити визначений інтеграл  від неперервної на вiдрiзку [а; b] функції f(х).

Поділимо вiдрiзок [а; b] на n рівних частин точками

 

= a +

 

рис. 2.1 рис. 2.2

і знайдемо значення функції f (х) в цих точках:

 

f (.

Замінимо задану криволiнiйну трапецію (рис. 2.1) ступінчатою фігурою, що складається з n прямокутників. Основи цих прямокутників однакові i дорівнюють , а висоти збігаються із значеннями  в початкових точках частинних iнтервалiв. Площа ступінчатої фігури i буде наближеним значенням визначеного інтеграла:

(1)

Якщо висоти прямокутників є значення  в кінцевих точках частинних iнтервалiв (рис. 2.2), то

 (2)

Можна довести, що похибка наближеної формули зменшиться, якщо висотами прямокутників взяти значення функції в точках  (середини відрізків , (рис. 2.3); тоді

 (3)

Формули (1)-(3) називаються формулами прямокутників.

2. Формула трапецій. Замінимо криву f(х) не ступінчатою лiнiєю, як у попередньому випадку, а ламаною (рис. 2.3), сполучивши сусiднi точки (). Тоді площа криволiнiйної трапеції наближено дорівнюватиме сумі площ прямокутних трапецій, обмежених вверху вiдрiзками цієї ламаної.

рис. 2.3 рис. 2.4

Площа k-ї трапеції дорівнює  , де і  —

основи трапеції, а - =  - її висота. Тому

 (4)

Формула (4) називається формулою трапецій.

3. Формула Сiмпсона. Під час виведення формули трапеції криву, яка є графіком функцій у = f(х), замінювали ламаною лiнiєю. Щоб дістати точніший результат, замінимо цю криву іншою кривою, наприклад параболою.

Покажемо спочатку, що через три рiзнi точки , які не лежать на одній прямій, можна провести лише одну параболу .

Справді, підставляючи в рівняння параболи координати заданих точок, дістанемо систему рівнянь:

 (5)

визначник якої

,

оскільки числа  за умовою рiзнi. Отже, ця система має єдиний розв’язок, тобто коефiцiєнти a, b i c параболи визначаються однозначно.

Зокрема, розв’язуючи систему (5) для точок А (-h; ), В (0; ), С (h; ), дістанемо

рис. 2.5 рис. 2.6

Знайдемо площу S криволiнiйної трапеції, обмеженої параболою, яка проходить через точки А, В, С, і прямими х = -h, х = h, y =0 (рис. 2.5):

Розглянемо тепер криволiнiйну трапецію , обмежену кривою у = f(х) (рис. 2.6). Якщо через точки  цієї кривої провести параболу , то за формулою (6)

 (7)

Однак, якщо вiдрiзок [a;b] досить значний, то формула (7) матиме велику похибку. Щоб збільшити точність, розіб’ємо вiдрiзок [a;b] на парне число 2n однакових частин, а криволiнiйну трапецію — на n частинних криволiнiйних трапецій. Застосовуючи до кожної з цих трапецій формулу (7), дістанемо

Додамо почленно ці наближені рiвностi:

Ця формула називається формулою парабол або формулою Сiмпсона. Формули (1), (2), (3), (4) i (8) називаються квадратурними.

Різницю між лівою i правою частиною квадратурної формули називають її залишковим членом i позначають через . Абсолютна похибка квадратурної формули, очевидно, залежить від числа n — кiлькостi частинних вiдрiзкiв, на які розбивається вiдрiзок інтегрування [а;b]. Наведемо формули, які дозволяють, по-перше, оцінювати абсолютні похибки квадратурних формул, якщо задано n, і, по-друге, визначати число n так, щоб обчислити заданий інтеграл з наперед заданою точністю.

Якщо функція f (х) має на вiдрiзку [а; b] неперервну похідну  i , то абсолютна похибка наближених рівностей (1) — (4) оцінюється формулою

(9)

Для функцій f(x), які мають другу неперервну похідну і , виконується нерівність

 (10)

яка справедлива для формул прямокутників і трапецій.

Абсолютна похибка в наближеній рівності (8) оцінюється формулою

 (11)

Якщо функція f(x) має на відрізку [a;b] четверту неперервну похідну і то для формули Сiмпсона справедлива оцінка:

 (12)

 

Приклад:

1. Обчислити інтеграл .

Це інтеграл від біноміального диференціала, який в елементарних функціях не обчислюється. Обчислимо його наближено. Розіб’ємо відрізок [0;1] на 10 рівних частин точками .

Знайдемо значення функції  в цих точках:

За формулою прямокутників маємо

Оскільки  то залишковий член формули прямокутників

Отже, І=1,069900,03536.

За формулою трапецій (4) дістанемо

Оскільки , то залишковий член формули трапецій

Отже, І=1,090610,00236.

За формулою Сiмпсона (2n=10)

Оскільки то залишковий член формули Сiмпсона

Таким чином, І=1,089490,000012, тобто формула Сiмпсона значно точніша формули прямокутників і трапецій.

 

Невласні інтеграли. Ознаки збіжності невласних інтегралів

Раніше було введено визначений інтеграл як границю інтегральних сум, передбачаючи при цьому, що вiдрiзок інтегрування скiнченний, а пiдiнтегральна функція на цьому вiдрiзку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то наведене вище означення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можна розбити на п частинних вiдрiзкiв скiнченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно не має скiнченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на ці випадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції на необмеженому проміжку або від необмеженої функції.