Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)Мр = 2р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М11=2047=23 .89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31- простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка
установил, что число
3)М127=170141183460469231731687303715884105727
- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М216091 имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.
Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р.
Евклид доказал, что если р и 2р-1 - простые числа, то число 4)Рр=2р-1(2р-1)=2р-1Мрявляется совершенным.
Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2р-1,Мр,2Мр, ... ,2р-1Мр.
Их сумма Sp=(1+2+ ... +2р-1)(Мр+1)=(2р-1) . 2р=2 . 2р-1 Мр. Вычитая из S само число Рр , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр равна этому числу, следовательно Рр - совершенное число.
Числа Р2=6 и Р3=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5=496 и Р7=8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:
6)Р13=33550336, Р17=8589869056, Р19=137438691328, Р31=2305843008139952128.
Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рримеют очень много цифр.
До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17, Р19, Р31являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17, Р19нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.
Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Рр начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:
7)Р2=110, Р3=11100, Р5 =111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.
Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.
Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1 . Мр, где Мр-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.
Похожие работы
... Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). ...
... об остатках (КТО). Теорема. Пусть – попарно взаимно простые числа, = , , , …, подобраны так, что 1, = , . Тогда решение системы , , будет иметь вид: . Эта теорема лежит в основе метода ортогональных базисов при переводе из системы остаточных классов в позиционную систему счисления. Пусть основания системы остаточных классов ; = = – объем диапазона системы. С выбором системы определяются ее ...
... реальности в науке, стили мышления, которые формируются в контексте культуры и испытывают воздействие самых различных ее феноменов. Это воздействие может быть представлено как включение различных социокультурных факторов в процесс генерации собственно научного знания. Однако констатация связей объективного и субъективного в любом познавательном процессе и необходимость комплексного исследования ...
... кружки математиков и естествоиспытателей. Возможность практического применения научных открытий обращала к науке взоры правителей. В Англии и во Франции возникали официально признанные сообщества ученых - прообразы ны- нешних академий наук. Рене Декарт родился в Лаэ (городок в провинции Турень) в семье служилого дворянина 31 марта 1596 г. В 1606 г. он был отп- равлен отцом в коллегию Ла Флеш - ...
0 комментариев